2012考研数学一真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线221
x x
y x +=-渐近线的条数为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在 （4）设2k
x k e
I e
=?
sin x d x (k=1,2,3),则有D
（A ）I 1< I 2
(B) I 2< I 2< I 3.
(C) I 1< I 3
（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-???????? ? ? ? ?===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
其中1234,,,c c c c 为任意常数，
则下列向量组线性相关的是（ ）
（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα
（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -??
?= ?
???
，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ） （A ）121?? ? ? ??? （B ）112??
? ?
???
（C ）212?? ? ? ??? （D ）221??
? ?
???
（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}= 112 4 () () () () 5 35 5A B C D （8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(2 1 )(2 1 ) (1)(-- D C B A 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸． 指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则 )(x f =________。 （10 ）2 0? ________。 （11）(2,1,1) grad z xy y ??+ ? ? ? ________。 （12）设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则??∑ =ds y 2________。 （13）设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T xx E -的秩为________。 （14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，1()2P AB =,1()3 P C =,则 ()P ABC - =________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 证明：2 1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<- （16）（本题满分10分） 求()22,2 x y f x y xe +=-的极值。 （17）（本题满分10分） 求幂级数0n ∞ =∑ 244321 n n n +++x 2n 的收敛域及和函数 （18）（本题满分10分） 已知曲线 ，其中函数)(t f 具有连续导数，且0)0(=f ，?? ? ? ?<<>200)(πt t f 。若曲线 L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数)(t f 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。 （19）（本题满分10分） 已知L 是第一象限中从点()0,0沿圆周222x y x +=到点()2,0，再沿圆周 224x y +=到点()0,2的曲线段，计算曲线积分()22=32L J x ydx x x y dy ++-?。 （20）（本题满分10分） 设 100 010 001 001 a a A a a ?? ? ? = ? ? ?? ， 1 1 b ?? ? - ? = ? ? ?? （Ⅰ）求A （Ⅱ）已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a，并求Ax b =的通解。 （21）（本题满分10分）三阶矩阵 101 011 10 A a ?? ? = ? ? - ?? ，T A为矩阵A的转置， 已知()2 T r A A=，且二次型T T f x A Ax =。 1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22）（本题满分10分） 已知随机变量,X Y以及XY的分布律如下表所示， 求：(1)() ρ. -与XY X Y Y 2 P X Y =； (2)() cov, （23）（本题满分11分） 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布()2,N μσ与 ()2,2N μσ，其中σ是未知参数且0σ>,设Z X Y =-, (1) 求z 的概率密度()2,f z σ； (2) 设12,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估 计量2 σ； (3) 证明2 σ为2σ的无偏估计量。 2012考研数学答案——数学一真题及答案