高中数学易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类

表：

数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构

. 所以，数

学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 .

一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有

关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 .

1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确，

加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 .

2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，

而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 .

1. 数学概念的理解不透

数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ）

1

1 1

1 1

1 A.a ≤ - 或 a ≥

B.a <

C.-

≤ a ≤

D.a ≥

2 2

2

2

2

2

【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0

, 又与试题的难易程

易错题的分类解析

1

≥ ，所以选 A.

2

【错因分析】 对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握， 对题目的影响 .

正确解析】 D .不等式 ax 2 +x+a <0 的解集为 Φ，若 a=0,则不等式为 x<0 解集不合已知条

22

件，则 a 0 ；要不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则需二次函数 y=ax 2 +x+a 的开口向上

例 2. 命题“若△ ABC 有一内角为 ，则△ ABC 的三内角成等差数列” 的逆命题是 （ ）

3

A ．与原命题真值相异

B ．与原命题的否命题真值相异

C ．与原命题的逆否命题的真值不同

D ．与原命题真值相同

【错解】选 A. 因为原命题正确，其逆命题不正确 .

【错因分析】 本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误： 逆命题——将原命题的题设和 结论交换、 否命题——将原命题的题设和结论同时否定， 逆否命题——将原命题的题设和结 论交换后再同时否定， 原命题与逆命题、 否命题与逆命题是两对互为逆否的命题， 互为逆否 的命题是等价的 .

【正确解析】选 D.显然，原命题正确；其逆命题为： “若△ ABC 的三内角成等差数列，则 △ABC 有一内角为 3 ”.也正确，所以选 D.

1x

例 3.判断函数 f （x ）=（x － 1） 1 x 的奇偶性为 __________________

1x

(B )l 1 l 2， l / /l 3 l 1 l 3

f( x) 1 ( x)2 1 x 2

f （x ） ，所以 f （x ）为偶函数 .

【错因分析】上述解法有两个错误： 1 未考虑函数的定义域； 2.x-1<0 ，放入根号内后根号

前应添负号 .

【正确解析】非

奇 非 偶 函 数 .y=f （x ） 的 定 义 域 为

1 x 0 (1 x)(1 x) 0 1 x 1 ，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇

1 x 1 x 0

非偶函数 .

例 4. （2011 四川） l 1， l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

忽视了开口方向 且与 x 轴无交点，所以 a>0 且

a

2

1 4a

2 0 1

a . 2

错解】偶函数 . f(x)= (x

1) 11 x x

2

(1 x)(x 1)2

1x

(1 x)(1 x) 1 x 2 ，所以

(C) l1//l2 / /l3 l1，l2，l3共面

(D)l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面

【错解】错解一：选 A.根据垂直的传递性命题 A 正确；错解二：选 C. 平行就共面；

【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致.

【正确解答】选 B.命题 A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题 C 中这三条直线可

以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题 D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.

例 5.x= ab 是a、x、 b 成等比数列的( )

A. 充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

【错解】 C.当.x= ab 时，a、x、b成等比数列成立；当a、x、b 成等比数列时，x= ab 成【错因分析】对等比数列的定义理解不透.

【正确解析】选 D.若x=a=0，x= ab 成立，但a、x、b 不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b 成等比数列，则x2 ab x ab ，所以x= ab 不一定成立，必要性不成立.所以选 D.

例6．(1) 把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.

(2) 某种产品100 件，其中有次品 5 件，现从中任抽取 6 件，求恰有一件次品的概率. 分析: (1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2× 2=8 种，而出现两正一反是一种结果，

1

故所求概率P= 1.

8

【正解】在所有的8 种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，

3

正、反、正，反、正、正，因此所求概率P , 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解

8

不清，所有8 种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式P m自然就是错误的.

n

(2) 【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实

55 验概率公式，得：6件产品中恰有 1 件次品的概率为：P6 (1) C165 (1 5 )50.2321 .

6 6100 100

【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100 件产品，其中有 5 件次品与次品率为5% 是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100 件产品中任抽 6 件，可当作抽

反函数的图像大致是

2. 公式理解与记忆不准

数学公式众多， 学生在应用公式解决数学问题时， 由于理解不准确 (例如公式成立的条 件未考虑)或记忆不准确，极易导致运算失误

.例如公式 a b 2 ab(a 0,b 0, 当且仅

当 a=b 时“ =”成立)中极易忽略数 a,b 均为正和取等号的条件，还有学生把我们常用的一

1 u uv uv

些 公 式 记 成 下面 的 一 系列 错 误 公 式 ： x 2 x ， 1 1 x 1 ， (u ) uv 2uv ，

x v

v 2

log a (x y) log a x log a y 等等.

14

例 7.若 x 0, y 0,x y 1 ，则 1 4 的最小值为 __________________ .

xy

错解】 1 4 2 4

4 1

8 ，错解原因是忽略等号成立条件

(x 2y )2

x y

xy 正解】 1 4

= xy

4(x y) 5 y 4x 9

x y =

x

y x y

3

例 8. 函数 y=sin 4

x+cos 4

x － 的相位 ____________ ，初相为 ________ .周期为 _______ ，

4

单调递增区间为 ___________ .

31 【错解】 y=sin 4x+cos 4x － = cos4x ，所以相位为 4x ，初相为

0，周期为 ，增区间为 ?.

4 4 2

【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数 . 教材中关于相位、初相??的定义是在正弦型 函数的基础上 .

3. 审题不严

审题， 是解题的第一步， 考生在审题过程中可能发生读题不清楚、 未发现隐含条件及字 母的意义含混不清等错误

1)读题不清

了 6 次，每次抽 1 个，但每次抽到次品还是正品， 显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率， 次品就少了一个， 第二次再抽到次品的显然直接影响到下一次抽到次品还是正品， 具体地说， 如果第一次抽出的是次品， 那么 ? 这就是说各次实验之间并非独立的，

用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：

C 5C 5 95

C 1

6

00

0.2430 .

31 【正确解析】 y=sin 4x+cos 4x － = cos4x 44 2k 1 k 期为 ，单调递增区间为 [2k 1 ,k

](k 2 4 2

1 4 sin(4x

2) .相位为 4x 2 ，初相为 2

，周

Z).

例 9. (2011 四川 ) 已知 f(x) 是 R 上的奇函数，且当 x 0 时，

f(x) (12)x

1，则 f (x) 的