磁场中两类粒子源问题

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磁场中两类粒子源问题

高中物理关于带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动习题中，有两类带电粒子比较特殊：第一类是在同一平面内沿某一方向发射的速率不同的同种带电粒子（异值型）；第二类是在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子（异向型）。 为了讨论方便，我们把它们称之为两类粒子源问题。

第一类粒子源，能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子（如质子），这些带电粒子垂直于磁感线射入布满空间的匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动，有下列特点（如图1）：①各带电粒子的圆轨迹有一个公共切点，且各圆的圆心分布在同一条直线上。②各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等。③速率大的带电粒子所走过的路程大，对应大圆。

第二类粒子源，能在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子，这些带电粒子垂直于磁感线射入布满空间的匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动，有下列特点（如图2，设粒子源在中心O 点，带电粒子带正电）： ①各带电粒子的圆轨迹半径相等，运动周期相等。 ②各带电粒子圆轨迹的圆心分布在以粒子源O 为圆心，R 为半径的一个圆周上（虚线所示）。 ③带电粒子在磁场中可能经过的区域是以粒子源O 为圆心，2R 为半径的大圆（黑体实线所示）。④ 如图3所示，由几何知识很容易证明当r ＝mv

qB ＝R 时，相同带电粒

子从P 点沿纸面内不同方向射入圆形匀强磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。（典型应用见《系统集成》作业本P289第9题）

1.如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面

向里，磁感应强度大小B =0.6T ，磁场内有一块平面感光板a b ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l =16cm 处，有一个点状的放射源S ，它向各个方向发射正粒子，粒子速度都是v =3.0×106m/s ，已知粒子的电荷量与质量之比q/m =5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求ab 上被粒子打中的区域的长度。

L a b S

v

图1

O

O 1

O 2

O 3 O 4

O 5

v 1 v 2

v 3 v 4 v 5

图2 图3

2. 如图所示，MN是匀强磁场的左边界(右边范围很大)，磁场方向垂直纸面向里，在磁场中有一粒子源P，它可以不断地沿垂直于磁场方向发射出速度为v、电荷为＋q、质量为m的粒子(不计粒子重力)。已知匀强磁场的磁感应强度为B，P到MN的垂直距离恰好等于粒子在磁场中运动的轨道半径。求在边界MN上可以有粒子射出的范围。

M

B

P

N

3.如图所示，质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v0．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：

(1)荧光屏上光斑的长度；

(2)所加磁场范围的最小面积。

2

4. 人们到医院检查身体时，其中有一项就是做胸透，做胸透所用的是X光，我们可以把做胸透的原理等效如下：如图所示，P是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子（不计重力），而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达。假若放射源所放出的是质量为m、电量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是v，M与放射源的出口在同一水平面，底片MN竖直放置，底片MN 长为L。为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场。求：

（1）匀强磁场的方向；

（2）画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示；

（3）匀强磁场的磁感应强度B的大小以及最小圆形匀强磁场的面积S。

M

P

5.在xOy平面内有许多电子(质量为m，电荷量为e)从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限，如图所示。现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积。

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6.(2009·海南)如图所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

(2)此匀强磁场区域的最小面积。

7．如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍已知。该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。

y

（1）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角；

（2）沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率

弹回，且其电荷量保持不变。若从O点沿x轴正方向射入磁场

的粒子速度已减小为v/2，求该粒子第一次回到O点经历的时间。O x

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磁场中两类粒子源问题答案

1.解：粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，

用R 表示轨道半径，有R

v m qvB 2

= ①

由此得B

m q v

R )/(=

代入数值得R =10c m 可见，2R>l >R.

因朝不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是粒子能打中的左侧最远点.为定出P 1点的位置，可作平行于ab 的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1.

221)(R l R NP --= ②

再考虑N 的右侧。任何粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，以2R 为半径、S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，此即右侧能打到的最远点.

由图中几何关系得

222)2(l R NP -= ③

所求长度为 2121NP NP P P += ④ 代入数值得 P 1P 2=20cm ⑤

2.[解析] 在图中画出两个过P 且半径等于R 的圆，其中的实线部分代表粒子在磁场中的运动轨迹，下面的圆的圆心O 1在p 点正下方，它与MN 的切点f 就是下边界，上面的圆的圆心为O 2，过p 点的直径的另一端恰在MN 上(如图中g 点)，则g 点为粒子射出的上边界点．

由几何关系可知：cf ＝R ，cg ＝(2R )2－R 2＝3R

即可以有粒子从MN 射出的范围为c 点上方3R 至c 点下方R ，fg ＝(1＋

3)R.

3.【解析】(1)如图所示，要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可．初速度沿x 轴正方向的电子沿弧OA 运动到荧光屏MN 上的P 点；初速

R

R

2R

S N

P 1 P 2

a

b

c d

Q

度沿y 轴正方向的电子沿弧OC 运动到荧光屏MN 上的Q 点． 设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得：

ev 0B ＝m v 02R ，即R ＝mv 0

Be

由几何知识可得：PQ ＝R ＝

mv 0

Be

． (2)取与x 轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E (x ，y )，因其射出后能垂直打到屏MN 上，故有：

x ＝－Rsin θ y ＝R ＋Rcos θ 即x 2＋(y －R )2＝R 2

又因为电子沿x 轴正方向射入时，射出的边界点为A 点；沿y 轴正方向射入时，射出的边界点为C 点，故所加最小面积的磁场的边界是以(0，R )为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图乙中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：

S ＝34πR 2＋R 2－14πR 2＝(π2＋1)(mv 0

Be

)2． 4. （1）匀强磁场的方向为垂直纸面向外

（2）最小有界磁场如图所示，

（3）要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致 所以有：R=L/2

根据牛顿第二定律：R

mv Bvq 2= 得：Bq mv R =

联立解得：qL

mv

B 2=

如图所示，圆形匀强磁场的最小面积为：S=πL 2/4

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5. 解析：所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动，由ev 0B ＝m v 20

R ，得半径为R ＝mv 0eB .

设与x 轴正向成α角入射的电子从坐标为(x ，y )的P 点射出磁场， 则有x 2＋(R －y )2＝R 2①

①式即为电子离开磁场的下边界b 的表达式，当α＝90°时，电子的运动轨迹为磁场的

上边界a ，其表达式为：(R －x )2＋y 2＝R 2②

由①②式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示，其面积为

S ＝2????πR 2

4－R 2

2＝π－22????mv 0eB 2

.

6.【解析】(1)若要使由C 点入射的电子从A 点射出，则在C 处必须有磁场，设匀强磁场的磁感应强度的大小为B ，令圆弧 是自C 点垂

直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道，电子所受到的磁场的作用力f ＝ev 0B ，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外．圆弧 的圆心在CB 边或其延长线上．依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a ．按照牛顿定律有：

f ＝m v 02

a

联立解得：B ＝mv 0

ea

．

(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射的电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中，

因而，圆弧 是所求的最小磁场区域的一个边界．

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ(不妨设0≤θ＜π2

)的情形．该电子的运动轨迹QP A 如图乙所示．图中，圆弧

的圆心为O ，PQ 垂直于BC 边，由上式知，圆弧 的半径仍为a ．过P 点作DC 的垂线交DC 于G ，由几何关系可知∠DPG ＝θ，在以D 为原点、

AEC

AP AP

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DC 为x 轴、DA 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(x ，y )为：

x ＝asin θ，y ＝acos θ

这意味着，在范围0≤θ≤π

2内，P 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 ，它是电

子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界．因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 和 所围成的，

其面积为：

S ＝2(14πa 2－1

2a 2)＝π－22

a

2．

7.【解析】（1）设粒子飞出和进入磁场的速度方向之间的夹角

为φ，则

sin ,22x r ?

= x 是粒子在磁场中轨迹的两端点的直线距离．x 最大值为2R ，对应的就是φ最大值．且2R=r

所以

max

max 1

sin

,60.2

2R r ??=

==?

（2）当粒子的速度减小为2v

时，在磁场中作匀速圆周运动的半径为

R qB

mv

r ==

21 故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为90°时与边界相撞弹回，由对称性知粒子经过四个这样的过程后第一次回到Ｏ点，亦即经历时间为一个周期．

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期Bq

m

T π2=

． 所以从O 点沿x 轴正方向射出的粒子第一次回到O 点经历的时间是

Bq

m

t π2=

AFC