离散数学复习要点

离散数学复习要点第一章命题逻辑

一、典型考查点

1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1

2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5

3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5

4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9

5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。

6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15

7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B)

8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。

9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。

注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16

11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。

重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论

文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21

二、强化练习

1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗?

2.下列式子为重言式的是( )

A.P→P∨Q

B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q)

C.┐ (P Q)

D.(P∨Q) (P→Q)

3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（）

A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q

4．下列语句中是真命题的是（）

A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的

5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）

A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q）

6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式

7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（）

A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无

8．设P ：他聪明，Q ：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（ ）

A ．? P ∧Q

B ．P ∧? Q

C ．P →? Q

D ．P ∨? Q

9．下面联结词运算不可交换的是（ ）A ．∧ B ．→ C ．∨ D ．

10下列命题公式不是重言式的是（ ）

A ．Q →（P ∨Q ）

B ．（P ∧Q ）→P

C ．?（P ∧? Q ）∧（? P ∨Q ）

D ．（P →Q ）（? P ∨Q ）

11.设命题变元为P ，Q ，R ，则小项m100=________，大项M010=________。

12.置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都可以________，记为________规则。

13.请用联结词┐，∧表示联结词∨和联结词 ：________，________。

14．两个重言式的析取是________式，一个重言式与一个矛盾式的析取是________式。

15．命题公式（P ∧Q ）→? P 的成真指派为__________，成假指派为__________。

16.用等值演算求(P →Q)→R 的主合取范式。17.列出(P →(Q ∨R)) (P →Q)的真值表。

19．构造命题公式（（P ∧Q ）→P ）∨R 的真值表。

20．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P ∨（? P →（Q ∨（? Q →R ）））

21．构造命题公式（R Q Q P ∧→∨）→P ∧? R 的真值表。

22．求下列公式的主析取范式和主合取范式：（P →（Q ∧R ））∧（? P →（? Q →R ））。

23.用推理方法证明：P ∨Q ，P →R ，Q →S├R ∨S 。

24．构造下面推理的证明。如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去。

25．构造下面推理的证明。只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就犯了谋杀罪。A 曾到过受害者房间。如果在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以A 犯了谋杀罪。

离散数学复习要点 第二章谓词逻辑

一、典型考查点

1、基本概念：个体词、个体域、谓词、特性谓词、辖域，详见P27；前束范式详见P36

2、谓词符号化 步骤：①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表达出来。②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。③找出恰当量词。应注意全称量词(?x)后跟条件式，存在量词(?x)后跟合取式。④用恰当的联结词把给定命题表示出来。详见P30

3、谓词公式类型的判定（永真式、永假式、可满足式） 方法：利用论域翻译成自然语言后进行判断。详见P34

4、自由变元与约束变元的判定 方法：按定义，关键是要看它在A 中是约束出现，还是自由出现，若与量词的指导变元相同，就是约束出现，不同就是自由出现。详见P31。

5、等价式 (1)量词否定等价式：(a)?(?x)A ?(?x)?A(b)?(?x)A ?(?x)?A

(2) 量词辖域缩小或扩大等价式

(a) (?x)(A(x)∧B)?(?x)A(x)∧B (b) (?x)(A(x)∨B)?(?x)A(x)∨B

(c) (?x)(A(x)→B)?(?x)A(x)→B (d) (?x)(B →A(x))?B →(?x)A(x)

(e) (?x)(A(x)∧B)?(?x)A(x)∧B (f) (?x)(A(x)∨B)?(?x)A(x)∨B

(g) (?x)(A(x)→B)?(?x)A(x)→B (h) (?x)(B →A(x))?B →(?x)A(x)。

(3) 量词分配律等价式：

(a) (?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) (b)(?x)(A(x)∨B(x))?(?x)A(x)∨(?x)B(x)其中，A(x)，B(x)为有x 自由出现的任何公式。详见P3435

6、蕴含式(a)(?x)A(x)∨(?x)B(x)?(?x)(A(x)∨B(x))

(b) (?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)

(c) (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x)

(d) (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x)

其中，A(x)和B(x)为含有x 自由出现的任意公式。详见P35

6、前束范式 方法：①把量词全部通过等值演算化到整个谓词公式的前面②把量词前面的┐全部通过德摩根定律化到谓词公式的内部。详见P36

7、推理：方法：演绎（常用格式）、反证法、CP 规则即附加前提等。对于命题逻辑中的所有规则都可用。 特殊规则：(1)量词消去 (简称UI 或US 规则) (?x)A(x)?A(c) (?x)A(x)?A(y) (?x)A(x)?A(c)

量词产生规则(简称EG 或UG 规则) A(c)?(?y)A(y) A(x)?(?y)A(y) 详见P38

二、强化练习

1.下列式子不是谓词合式公式的是( )

A.(?x)(P(x)→(?x)(Q(x) ∧A(x ，y)))

B.(?x)∧(?y)∨P(x ，y)

C.(?x)P(x)→R(y)

D.(?x)P(x)∧Q(y ，z)

2.设个体域为实数集，特定元素a=0，函数f(x ，y)=x-y ，特定谓词F(x ，y)为x

A.(?x)(?y)F(x ，f(f(x ，y)，y))

B.(?x)(?y)(┐F(f(x ，y)，x))

C.(?x)(?y)(?z)(F(x ，y)→F(f(x ，z)，f(y ，z)))

D.(?x)F(f(a ，x)，a)

3.对于公式(?x)(?y)P(x ，y)∨Q(x ，z)∧(?x)P(x ，y)，下列说法正确的是( )

A.x 是自由变元

B.x 是约束变元

C.( ?x)的辖域是P(x ，y)∨Q(x ，z)

D.(?x)的辖域是P(x ，y)

4.设论域为{1，2}，与公式(?x)┐A(X)等价的是( )

A. ┐A(1) ∨┐A(2) B . ┐A(1)→┐(A2)

C. ┐A(1) ∧┐A(2)

D. A(1) →A(2)

5．在公式（x ?）F （x ，y ）→（? y ）G （x ，y ）中变元x 是（ ）

A ．自由变元

B ．约束变元

C ．既是自由变元，又是约束变元

D ．既不是自由变元，又不是约束变元

6．下列等价式不正确的是（ ）

A ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ?∨??∨?

B ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ?∧??∧?

C ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ?∨??∨?

D ．Q )(P )Q )(P (∧??∧?x x x x

7．设A （x ）:x 是人，B （x ）：x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（ ）

A ．))(

B )(A (x x x ∧? B ．?→?)(A (x x ? B （x ））

C ．?))(B )(A (x x x ∧?

D ．?∧?)(A (x x ? B(x))

二、填空题

8.一个公式，如果量词均在全式的________，其作用域延伸到整个公式的________，则该公式称为前束范式。

9．（?x ）（?y ）（P （x ，y ）Q （y ，z ））∧?xP （x ，y ）中?x 的辖域为________，?x 的辖域为________。

10．公式（x ?）（F （x ）→G(y)）→(y ?)(H(x)),,(L z y x ∧)中的自由变元为_________，约束变元为__________。

三、综合应用题

11．符号化下面命题，并构造推理证明：人是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。

离散数学复习第三章集合与函数

一、典型考查点

1、基本概念判断：函数的入射、满射、双射及定理、复合运算，详见P72，73，75。幂集、差集、对称差、笛卡尔积，详见P46，47，43，49。全序关系，详见P68.。方法：理解概念即可，按定义的步骤计算。

2、关系的相关概念判断：①特殊关系：若R=?，为空关系；若R=A ?B ，为全域关系。R={|x ∈A}为A 上的恒等关系，记为IA 。方法：根据定义判断。②定义域: D(R)={x|(?y)(xRy)} 值域:R(R)={y|(?x)(xRy)} 域:F(R)=D(R)+R(R),方法：定义域就是关系R 中第一位元素的集合，值域就是R 中第二位元素的集合，域就是定义域并上值域。③表示方法：集合列举法\关系矩阵\关系图 方法：根据题目条件，用列举法写出关系R ，画出关系图（有向图）或写出关系矩阵。详见P50,51,52.

4、关系的运算：①关系的集合运算，按集合的运算规律即可：交、并、补、差、对称差等。②复合运算：按顺序运算，逆运算，交换每个元的第一、二位元素的位置即变。③闭包运算：即先判断R本身是否具有自反（对称、传递），若有，则自反（对称、传递）闭包就是R本身，即r(R)=R(或s(R)=R,t(R)=R),若没有，则增加R的元素，加到恰好满足自反性为止，既不能多，也不少。详见P55

5、等价关系和划分的判断及证明：①等价关系的证明：自反、对称、传递三个性质逐一验证。要注意给出的等价关系的条件的变通。②等价关系与划分一一对应，等价关系的等价类即为确定的划分的分块，即有关系的，划在同一块。划分中凡在同一个分块中的元，都写成满足关系的元，这样写出的关系R就是一个等价关系。

6、相容关系和覆盖的判断：相容关系两个性质：自反和对称，注意：相容关系图的画法省略了自反和对称。覆盖按定义判断即可。详见P61

7、偏序关系与哈斯图：①基本概念：三个性质：自反、反对称和传递；可比，就是有关系，a≤b∨b≤a；盖住，就是直接关系，中间没有第三个元，即若a

8、求偏序关系的特殊元：设为偏序集，B?A，b∈B，①若(?x)(x∈B→b≤x)为真，则称b为B的最小元。

②若(?x)(x∈B→x≤b)为真，则称b为B的最大元。③若?(?x)(b≠x∧x≤b)为真，则称b为B的极小元。

④若?(?x)(b≠x∧b≤x)为真，则称b为B的极大元。

根据定义判断时，最小（大）元与极小（大）元是有区别的，最小（大）元是B中最小（大）的元素，它与B中其他元素都可比；而极小（大）元不一定与B中元素都可比，只要没有比它小（大）的元素，它就是极小（大）元。对于有穷集B，极小（大）元一定存在，且可能有多个，但最小（大）元不一定存在，若存在则必唯一。若B中只有一个极小（大）元，则它一定是B的最小（大）元。详见P68

9、求上界下界上确界和下确界：设为偏序集，B?A，b∈A，①若(?x)(x∈B→b≤x)为真，则称b为B的下界。

②若(?x)(x∈B→x≤b)为真，则称b为B的上界。③若b是一下界且对每一个B的下界b’有b’≤b，则称b为B的最大下界或下确界，记为glb。④若b是一上界且对每一个B的上界b’有b≤b’，则称b为B的最小上界或上确界，记为lub。

判断时注意，上界下界上确界和下确界是A集合上来找的，B的上界，下界，最小上界，最大下界都可能不存在。若存在，最小上界和最大下界是唯一的。详见P69

二、强化练习

1.设Z+是正整数集，f：Z+×Z+→Z+，f(n，m)=nm，则f( ) A.仅是入射B.仅是满射C.是双射D.不是函数

]2.关系矩阵所对应的关系具有自反性( )

A.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1

1

1

1

1

1

B.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1

1

1

1

1

C.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1

1

1

D.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1

1

1

1

3.设R1和R2是集合A上的相容关系，不是相容关系( ) A.R1?R2 B.Rl?R2 C.R1-1 D.Rl R2 4．集合A={1，2，…，10}上的关系R={|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（）A．自反的B．对称的C．传递的、对称的D．反自反的、传递的

5．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（）

A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的B．若R和S是对称的，则R S是对称的

C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的

6．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是t（R）中元素的是（）

A．<1，1>B．<1，2>C．<1，3>D．<1，4>

7．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（）

A ．1∈A

B ．{1，2，3}?A

C ．{{4，5}}?A

D ．?∈A

8．设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0}，则方程f1(x)·f2(x)=0的解为（ ）

A ．M ∩N

B ．M ∪N

C ．M ⊕N

D ．M-N

9．设A-B=?，则有（ ）A ．B=? B ．B ≠? C ．A ?B D ．A ?B

10．A ，B 是集合，P （A ），P （B ）为其幂集，且A ∩B=?，则P(A)∩P(B)为（ ）

A ．?

B ．{?}

C ．{{?}}

D ．{?，{?}}

11．设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9，10}，以下关系是从A 到B 的入射函数的是

A ．f ={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,7>}

B ．f ={<1,7>,<2,6>,<4,8>,<1,9>,<5,10>}

C ．f ={<1,6>,<2,7>,<4,9>,<3,8>}

D ．f ={<1,10>,<5,9>,<3,6>,<4,6>,<2,8>}

12．下面关于关系R 的传递闭包t(R)的描述最确切的是（ ）

A ．t(R)是包含R 的二元关系

B ．t(R)是包含R 的最小传递关系

C ．t(R)是包含R 的一个传递关系

D ．t(R)是任何包含R 的传递关系

13.设A={l ，2，3，4}，A 上的二元关系R={<1，2>，<3，4>，<4，3>}，S={，<3，4>，<4，1>}，则R ?～S=________，(R ?S)-1=________。

14．设N 是自然数集合，f 和g 是N 到N 的函数，且f （n ）=2n+1，g （n ）=n2，那么复合函数（f f ）（n ）=________（g f ）（n ）=________。

15．设复合函数g f 是从A 到C 的函数，如果g f 是满射，那么________必是满射，如果g f 是入射，那么________必是入射。

16．设A={1，2}，B={2，3}，则A-A=________，A-B=________。

17．设A={1，2}，B={2，3}，则A ⊕A=__________，A ⊕B=__________。

18．设A={1，2，3，4}上关系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>}，则R 的自反闭包r(R)= _________，对称闭包S （R ）=__________。

19．设f :R →R,f (x)=x2-2,g :R →R,g(x)=x-1,那么复合函数))((x g f =__________，))((x f g =__________。

20．设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},那么dom(A ∪B)=_______,ran(A ∩B)= __________。

18．已知A={{?}，{?，1}}，B={{?，1}，{1}}，计算A ∪B ，A ○+B ，A 的幂集P （A ）。

21．设A={a,b,c,d}，R={，，，，}，求R 的传递闭包。

22.设A={2，3，6，12，24，36}，请画出A 上整除关系的哈斯图，并给出子集{6，12，24，36}的下界、下确界、极大元、最大元。

23．设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R 为A 上的整除关系，试画的哈斯图，并求A 中的最大元、最小元、极大元、极小元。

24．若集合A={1，{2，3}}的幂集为P （A ），集合B={{?，2}，{2}}的幂集为P （B ），求

P(A)∩P(B)。

25． X={1 2 3 4}，R={<1,1>,<3,1>,<1,3>,<3,3>,<3,2>,<4,3>,<4,1>,<4,2>,<1,2>}。

（1）画出R 的关系图；（2）写出R 的关系矩阵；（3）说明R 是否具有自反、反自反、对称、传递性质。

26．设A={a,b,c},P(A)是A 的幂集，R 为A 上的包含关系，试给出的哈斯图，并给出子集{{a,b},{a,c},{c}}的极大元、极小元、最大元、最小元。

27．设R 为N ×N 上的二元关系，对任意,∈N ×N ， R 的充要条件是b=d ，证明R 为等价关系。

28.设A={|a ，b ∈Z+，Z+为整数集}，A 上的关系R={<,>|ad=bc}，证明R 是等价关系。

29．R 是集合A 上自反和传递的关系，试证明：R R=R 。

离散数学复习第四章代数系统

一、典型考查要点：

1、运算的判断：方法：运算满足封闭性，即运算后产生的象仍在同一个集合中。详见P77

2、运算性质的判断：运算性质：封闭、结合、交换、分配、幂等、吸收、消去 方法：根据定义，在所讨论的集中任取元素，符合定义即可。在运算表中可以判断：1）运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A 。2）运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3）运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每

一元素与它所在行（列）的表头元素相同。详见P79

3、代数系统中特殊元：么元（单位元）、零元、逆元判断方法：根据定义，在所讨论的集中找到特殊元，符合定义即可。在运算表中可以判断：1）A中关于运算*具有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同。2）A中关于运算*具有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。3）设A中关于运算*具有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行和b所在列的元素及b所在行和a 所在列的元素都是幺元。详见P80

4、子代数的判定：关键两个条件:B?A, 中的特殊元（么元或零元）与中相同。详见P82

5、特殊代数系统判定：（G， ）封闭→广群结合→半群么元→独异点可逆→群，根据定义，满足条件即可。详见P86

6、群的证明：方法：根据群的四个条件，逐一验证即可，注意：对于么元和逆元，先根据运算特点解出么元和逆元，再验证。详见P86

7、群的性质：1、是群∧|G|＞1?无零元。2、G，⊙>是群?中的唯一等幂元是幺元。3、群满足消去律：b⊙a=c⊙a?b=c 4、给定群，则a⊙x=b群中方程解是唯一的。5、是群(a⊙b)-1=b-1⊙a-1 详见P87

8、子群及判定：三个判定定理根据已知条件选择，给定群及非空H?G，则1、是的子群?a ⊙b∈H，a-1∈H 2、是的子群?(?a)(?b)(a，b∈H→a⊙b-1∈H)非空有限集H则a⊙b∈H

9、特殊群的判断：1、阿贝尔群即满足交换律的群2、循环群即群中每个元都由某一个元的n次幂生成，这个元就是生成元。3、同余类整数加法，乘法，构成群：[i] +m[j]=[(i+j)(mod m)] [i]×m[j]=[(i×j)(mod m)] 10、环、整环、域之间的关系及判定：1、，若①是Abel群，②是半群，③·对于+是可分配的，则称是环2、可交换含幺环，且无零因子，则称为整环。3、可交换环，若为群，则称为域4、环、整环、域之间的关系：域一定是整环，整环一定是环，反之不成立。详见P93

11、格、子格、分配格、有补格的判定：1、格：即偏序集中，任意两个元素都有最小上界和最大下界。2、子格：子集，运算∨,∧封闭即可。3、分配格：含有五角格和钻石格为子图的都不是分配格，但链是分配格。4、有补格：每个元素都至少有一个补元素的有界格。求补元时，满足：a∨b=1(即全上界)，和a∧b=0(即全下界) 详见P97

二、强化练习

1.在整数集上，不是二元运算( )A.加法 B.减法 C.乘法D.除法

2.设A是奇数集合，×为乘法运算，则是( )A.半群B.群 C.循环群D.交换群

3.不满足结合律是( )A.a*b=min(a，b) B.a*b=max(a，b)C.a*b=2(a+b) D.a*b=2ab

4．在N上，可结合的是（）A．a*b=a-2b B．a*b=min{a，b} C．a*b=-a-b D．a*b=|a-b|

5．整环和域是（）A整环一定是域B域不一定是整环C域一定是整环D域一定不是整环

6．设集合A={1，2，3，……，10}，A上是不封闭的是（）A．x*y=max{x,y} B．x*y=min{x,y}C．x*y=GCD{x,y},即x,y的最大公约数D．x*y=LCM{x,y},即x,y的最小公倍数

7．设H，K是群（G， ）的子群，下面代数系统是（G， ）的子群的是（）

A．（H∩K， ）B．（H∪K， ）C．（K-H， ）D．（H-K， ）

4．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（）

A．B．C．D．

8.代数系统是整环，则是________，是________，且无零因子。

9.在实数集R上定义运算a b=a+b+ab，则幺元为________，元素2的逆元为________。

10．设S是非空有限集，代数系统中，其中P（S）为集合S的幂集，则P（S）对∪运算的单位元是________，零元是________。

11．在中，2的阶是________。

12．设是格，其中A={1，2，3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则3的补元是________。

13．有理数集Q中的*运算定义如下：a*b=a+b-ab，则*运算的单位元是__________，设a有逆元，则其逆元

a-1=__________。

14．是一个群，其中Zn={0,1,2,……,n-1},x ⊕y=(x+y)mod n ，则在中，1的阶是__________，4的阶是__________。

15．设H 是形如??? ??101x 的2×2阶矩阵的集合，H 中定义通常的矩阵乘法运算。验证H 是群，1

101-??? ??x =??? ??-101x 。 16．在整数集Z 上定义：Z ,,2∈?-+=b a b a b a ，证明：是一个群。

17．设H 是G 的有限子集，则是群的子群当且仅当是群的子代数。

离散数学复习第五章图论

一、典型考查要点

1、图的基本概念：方法：度：点连接的边的条数，自环算2度；生成子图：点不减少，边减少；完全图：每个点都与余下的点有边；同构：两个图总可以画成相同的。详见P110

2、握手定理：结点度数总和等于边数的两倍，即∑deg(v)=2|E|，用于边点度之间的计算。

3、路的两个定理及证明： 1、在一个具有n 个结点的图中，如果从结点vj 到vk 存在一条路，则从结点vj 到vk 存在一条不多于n-1条边的路。推论：在一个具有n 个结点的图中，若从结点vj 到vk 存在一条路，则必存在一条从vj 到vk 而边数小于n 的通路。详见P115

4、连通图的判定及证明：1、无向连通图：任意两点都有路，即都走得通，只有一个连通分支。2、有向图中：强连通，任意两点都有路，即都走得通；弱连通，去掉方向后才连通；单侧连通， 每对点，只要一个点可达另一点。3、强连通的充要条件证明：一个有向图是强连通的充分必要条件是G 有一个回路，它至少包含每个结点一次。详见P116-117

5、边割集、点割集的判定及证明：点割集：图中去掉这些点及关联的边后，恰好不连通。定理：一个连通无向图G 中的结点v 是割点的充分必要条件是存在两个结点u 和w ，使得结点u 和w 的每一条路都通过v 。 边割集：图中去掉这些边后，恰好不连通，连通分支变为2。定理：G 的一条边e 不包含在G 的回路中当且仅当e 是G 的割边。详见P116-117

6、邻接矩阵、可达矩阵的表示：邻接矩阵：10i

j

ij i j v adj v a v nadj v ori j

?=?=?，表示图中点与点的关系，可以利用它的Ak 来求长度为k 的路的条数，即定理：设A 为简单图G 的邻接矩阵，则Ak 中的i 行j 列元素akij 等于G 中联结vi 到vj 的

长度为k 的链(或路)的数目。可达矩阵：1v 0v i j ij i j v P v ??=???从到至少存在一条路从到不存在路可以利用它来判定连通性，全为1，就是连通的。

详见P117-118

7、欧拉图及应用：欧拉路：边遍行且只能一次的路，点可以重复。欧拉回路：边遍行且只能一次的回路。判定：欧拉路存在当且仅当G 连通，且有零个或两个奇数度结点。欧拉回路存在当且仅当G 连通，并且所有点度数都为偶数。应用到一笔画问题，即有没有欧拉路。

8、汉密尔顿图及应用：汉密尔顿路：点遍行且只能一次的路。汉密尔顿回路：点遍行且只能一次的回路。判定：1、必要条件：若图有汉密尔顿回路，则V 的每个非空子集S 均有W(G-S)≤|S|，其中W(G-S)是G-S 的连通分支数。可以利用这个必要条件来判定有些图不是汉密尔顿图。2、充分条件：图G 有n 个点的简单图,如果每一对结点度数之和大于等于n-1,则G 中存在一条汉密尔顿路。若每一对结点度数之和大于等于n,则存在汉密尔顿回路。3、应用到网路连通、朋友开会排座位等，就是先利用题目中的联系，有关系就确定一条边，构造一个图，找一条汉密尔顿路或汉密尔顿回路即可。详见P121

9、平面图的判定：1、平面图：画在平面上，边不相交叉。判定：平面图不含与K3,3,或K5同胚的子图。K3,3,K5及彼得森图都不是平面图。2、欧拉公式：n-m+r=2,计算边点面之间的关系问题。面的次数即围着这个面的边的条数，单独的边要算2次。必要条件：给定连通简单平面图G=。若|V|≥3，则e ≤3v-6。详见P125

10、树的6个等价定义：(1)无回路的连通图(2)无回路且e=v-1 (3)连通且e=v-1(4)无回路，但增加一边后得到且仅得一个回路(5)连通，但删去任一边后就不连通(6)每一对结点间有且仅有一条通路。利用e=v-1和握手定理计算边点的数目。详见P128

11、最小生成树：连通图中权之各最小的生成树，利用避圈法：边的权由小到大依次画入生成树中，但不能形成回路，若有回路就不画入，这样直到形成生成树为止，最小生成树不唯一。应用在网络连通上，造价最少的问题中。详见P129

12、M 叉树详见P120，根树表示算式：根据算式运算的顺序，由内向外形成根树。详见P131

二、强化练习

13.13图的最小入度是( )A.0 B.1 C.2 D.3

2.下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图形是(

)

??????????1001001111011010

3.树有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，边是( ) A.17 B.18 C.19 D.20

5．G 是 n 个结点的简单图，有（ ）A ．Δ(G)＜nB ．Δ(G)≤nC ．Δ(G)＞nD ．Δ(G)≥n

6．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

7．简单图G 所有结点的度数之和为12，则G 边一定有（ ）A ．3 B4 C ．5 D ．6

8．下列不一定是树的是（ ）A ．无回路的连通图 B ．有n 个结点，n-1条边的连通图

C ．每对结点之间都有通路的图

D ．连通但删去一条边则不连通的图

9．欧拉回路是（ ）A ．路径 B ．迹C ．既是初级回路也是迹 D ．既非初级回路也非迹

10.若回路中，除________外________各不相同，则此回路称为圈(或初级回路)。

11.偶图记为Kn,m 那么当________时，Kn,m 是平面图，当________时，Kn,m 是非平面图。

12.若图中存在________，它经过图中所有的边恰好________次，则称该图为欧拉图。

13．在24图中，结点v2的度数是________。25．设图D=，V={v1，v2，v3，v4}，若D 的邻接矩阵A=，则deg-（v1）=________，从v2到v4长度为2的路有________条。

14．如14图的有补格中，c 的补元是____，b 的补元是_____。

15．在根树中，若每一个结点的出度___m,则称这棵树为m 叉树。如果每一个结点的出度_____m 或0，则称这棵树为完全m 叉树。

16．简单图G 有n 个结点，m 条边，设m>21

(n-1)(n-2)，证明：G 是连通的。

17.求30图所示格的所有5元子格。18.用矩阵的方法求31图中结点u2，u5之间长为2的路径的数目。19．28给出了一个有向图。（1）求出它的邻接矩阵A ；（2）求出A2，A3，A4及可达矩阵P 。

20．证明：一个图是强连通的，当且仅当图中有一个回路，它至少包含每个结点一次。

21．证明：边e 是图G 的一条割边，当且仅当图G 中不存在包含边e 的简单回路。

22．今有n 个人，已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n-2人。试证明：

（1）当n ≥3时，这n 个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边（或右边）的人的朋友。

（2）当n ≥4时，这n 个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友。

23．在某次国际会议的预备会中，共有8人参加，他们来自不同的国家。已知他们中任何两个无共同语言的人中的每一个，与其余有共同语言的人数之和大于或等于8，问能否将这8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。