《大学、中庸》知识讲解

《大学、中庸》知识讲解
《大学、中庸》知识讲解

大学、中庸

学习目标

1.积累文言知识,把握文意;

2.理解其中经典名句的含义;

3.了解文章的思想,并探讨这些思想的现代意义。

知识积累

文学常识

《大学》

《大学》原来不是一部书的名字,只是《礼记》中的一篇文章。《礼记》从“记”这个字来看,最初给这本书的定位是不高的。儒家文献一般分三个等级:经、传、记。经地位最高,如《诗经》:传地位其次,如《左传》;记地位最低,如《礼记》。

随着时代的发展,《礼记》先后两次提高地位。

第一次,《礼记》上升为经。东汉末年的经学家郑玄,把《仪礼》《周礼》《礼记》这三部书合并起来,称为“三礼经”,把《礼记》的地位提到了“经”的高度。

第二次,《礼记》中的两篇与《大学》《中庸》并称为“四书”。朱熹把《大学》《中庸》《论语》《孟子》合并起来,认为这四部书是儒者必须学习的教材;朱熹甚至认为儒者必须先学的是《大学》,而不是《论语》《孟子》。

《中庸》

《中庸》原是《小戴礼记》中的一篇。作者为孔子后裔子思,后经秦代学者修改整理。北宋程颢、程颐极力尊崇《中庸》,南宋朱熹又作《中庸章句》,并把《中庸》《大学》《论语》《孟子》并列称为“四书”。

字词汇总

通假字

在明明德,在亲民亲通新,革新。

此之谓自谦谦通慊,满足。

尧、舜帅天下以仁帅通率,率领。

上恤孤而民不倍倍通背,违背。《大学》莫见乎隐见同现,显现。

知者过之知同智,智慧。《中庸》词类活用

在明.明德形容词的使动用法,使显明,彰明。

如恶.恶臭,如好.好色形容词作动词,厌恶/喜欢。

上老.老而民行孝形容词作动词,尊敬。

上长.长而民行弟形容词作动词,尊重。

上老老.而民行孝形容词作名词,老人。

上长长.而民行弟形容词作名词,长辈。《大学》天地位.焉名词作动词,就其位。

亲.亲也形容词作动词,亲爱。

子.庶民名词活用为意动词,以……为子,可引申为“爱护”。

来.百工使动用法,使……来,可译为“招来”。《中庸》

古今异义

大学

之道,在明明德古义:古代天子所设学校,与小学相对而言;今义:实施高等..

教育的机构。

如好好色

..古义:美好的女子;今义:喜好美色。

孝者,所以

事君也古义:……的方式、途径;今义:因果关系连词。《大学》..

也古义:没有实行;今义:不可以。

道之不行

..

则知所以治人

..古义:治理百姓;今义;整治、惩罚人。

之者也古义:牢牢握住或坚守不渝,无贬义色彩;今义:坚持己见,择善而固执

..

不肯改变,常含贬义。《中庸》课文精要

理解主旨

《大学》

《大学》是儒家最全面、最系统申述治国平天下学说的一篇政治论文。它把先秦儒家的零散的道德政治学说,集中概括在一起,提出了一套自修身以至于齐家、治国、平天下的修己治人之道。其“三纲八目”超越了简单的文献学意义,不仅提炼出了王道政治的基本模式,而且指出了在变化了的历史条件下如何继承其精神的方法和途径。

《中庸》

《中庸》的主要内容中庸之道,是儒家论述的人生哲理,即为人处事的普遍原则。它以“天人合一”为理论基础,通过论证“天”“性”“道”“教”之间的关系,教育人们自觉地进行自我修养、自我监督、自我教育、自我完善,把自己培养成为具有理想人格、至诚至善、合外内之道的理想人物,以达到“极高明而道中庸”的理想境界。

把握重点

课文脉络

《大学》这篇文章有两千多字,被朱熹概括为:三纲八目。

三纲:明明德、亲民、止于至善;八目:格物、致知、诚意、正心、修身、齐家、治国、平天下。

三纲是三个纲领,人要想修养自己,成就事业,这三点是最重要的。

八目是具体做法,在这八个做法中,可以分成两个阶段。第一阶段:内圣——如何修养自己,使自己靠近圣人的修为:格物、致知、诚意、正心、修身;第二阶段:外王——如何影响别人,安百姓,平天下:齐家、治国、平天下。

(一)三纲

大学之道,在明明德,在亲民,在止于至善。

“大学”的意思是高深的学问,“道”指的是最终极的道理、宗旨、规律。

“明明德”就是使自己的澄明的品德彰显出来,是自我启蒙。

“亲民”就是亲近百姓,宋代的程颐说“亲,当作新”。如果是亲近百姓的意思,还是“明明德”的范畴,属于自我的修养;如果解释成“新”,这个字便是使动用法,使民新。通过孔圣人及其弟子的教化,让老百姓不断突破自己,不断进步。

从更抽象的层面上看,亲民,是自我启蒙;新民,则是启蒙他人。不但自己要不断修养,而且还要推己及人,也让他人、百姓不断提高修养。亲民是内圣,新民则是外王。

“止于至善”是讲的是人生目标。至善,就是最完善的意思。只有达到最完善了,才会停下追求的脚步;但是,没有人能达到至善。要想内圣外王,只要生命不息,就得学习、修养不止。

以上讲的是大学的三纲,意思是说人要不断修正自己,彰显美好的品德,之后再推己及人,启蒙他人,治平天下。在这个过程中,要以高标准要求自己,不断朝着至善的方向努力。

知止而后有定

“定”在甲骨文里是“房中止息”的意思。这句话是说,人一旦有了高远的目标,就不会急功近利,便会把自己的皮囊安顿在一个能管束住物理欲望的房间里。

定而后能静

安顿了皮囊、管住了物理欲望后,人的心就能静了。这是皮囊安顿后的第二步,给自己的内心寻找到一个安静的处所。

静而后能安

心灵安顿下来之后,就不会被眼前的一得一失搅乱心绪。

安而后能虑

这句话之前,都是在做准备工作,前面工作都做好了,便可以虑了,便可以研习高深的学问了,便能够明明德、亲民、止于至善了。

虑而后能得。

“得”甲骨文里是“得到什么”的意思,就是能得大学之道了。这句话说的是结果,思虑了、学习了,肯定就能进步了,就能“得”了。

(二)八目

古之欲明明德于天下者,先治其国。

这句话把“明明德”和“平天下”直接联系起来,这两者不是并列关系。“明明德”,培养、激发、彰显自己的美德,这本是修身的问题,但是后面添加了状语“于天下”,便把“明明德”这个原本是个体的行为上升到如何治理天下的高度了。《大学》的作者认为,“明明德”本身并不是人的最终追求,而是实现天下大治的最基本的、也是最重要的基础。儒者的追求可以这样表述:通过内圣的手段,达到外王的目的。

“先治其国”,国比天下的范围小。儒者认为,要想干好大事,就必须从小事做起,“一屋不扫,何以扫天下”。

物格而后知至,知至而后意诚。

这句话是对前文的逆推。前文说儒者的最大理想是治天下,这里说的是要想治天下,第一步就要格物,然后致知,依次类推,最终实现治天下的理想。

自天子以至于庶人,壹是皆以修身为本。

这句话点出前面所讲道理的适用范围,从天子,皇帝到平头百姓,全都适用。无论你是什么样的职业,什么样的身份,处事的基础是个人的修养。《大学》所说的修养,首先是格物致知,是专业技术层面的;其次是道德修养,诚意正心,修养身心。道德修养是任何人处事的根本。

其本乱而末治者,否矣。其所厚者薄,而其所薄者厚,未之有也。

“本”的本义是树根,“末”的本义是树梢。本末,一般指根本的问题和枝叶的问题。在这里,“本”指的是个人的道德修为;“末”指的是利禄欲望。不能固本,就不能控制利禄欲望。

“其所厚者薄”,应该厚的心性灵魂不屈培元固本,应该薄的利禄欲望却不鄙薄摒弃。这样的结果,非但不能成为君子,更别谈治平天下了。

以上是对八目以及相互关系的一个概述。

1.格物,

2.致知

格物和致知缺失了,通过字面的提示,大概可以猜到:格物的意思是通过由外而内的顺序,探寻、把握客观事物的本质和规律;致知的意思是通过上面的过程,获得知识,获得智慧。

3.诚意

所谓诚其意者:毋自欺也,如恶恶臭,如好好色,此之谓自谦。故君子必慎其独也!

这里提出了毋自欺的要求:慎独。慎独就是在别人看不见、不知道的时候、场合,仍然

能做到和人前一样有修养、有原则。

接下来,文章用一个小人不能慎独从反面论证。

小人闲居为不善,无所不至,见君子而后厌然,掩其不善,而著其善。人之视己,如见其肺肝然,则何益矣!此谓诚于中,形于外,故君子必慎其独也。

小人不能慎独,要掩盖自己独处时的过失,所以人前一套,背后一套,表里不一。《大学》中说,别人看自己的时候,其实自己就是一个玻璃人,心肝五脏都能被看见。人和人相处,会长时间交往,路遥知马力,日久见人心。所以,君子要引以为戒,要慎独。人前不伪善,人后不为恶。这便是诚意,是修养。

4.正心

正心首先是心不能乱,不能被各种情绪扰乱自己。

所谓修身在正其心者:身有所忿懥,则不得其正;有所恐惧,则不得其正;有所好乐,则不得其正;有所忧患,则不得其正。

《大学》认为:鲁莽武断、畏首畏尾、玩物丧志、患得患失这四种非常态的情绪,都是影响人的判断力的因素。非常态情感因素,会左右人的理性判断。

心不在焉,视而不见,听而不闻,食而不知其味。此谓修身在正其心。

心不在焉,今天是说一个人精神溜号;这里的意思却是一个人的内心始终保持一个中正平和的心态。

5.修身

所谓齐其家在修其身者:人之其所亲爱而辟焉,之其所贱恶而辟焉,之其所畏敬而辟焉,之其所哀矜而辟焉,之其所敖惰而辟焉。

修身,这里讲的是要公正地对待别人,不能因为自己的好恶、亲疏而影响如何做事。

故好而知其恶,恶而知其美者,天下鲜矣。

这句话非常发人深省。人们经常党同伐异:因为讨厌一个人,便对他的一切都加以否定;因为喜欢一个人,便容忍他的毛病错误。

故谚有之曰:“人莫知其子之恶,莫知其苗之硕。”此谓身不修不可以齐其家。

正如谚语所说:孩子都是自己的好,是因为太过于亲近;庄稼都是别人的好,是因为别人的东西总是好的。总觉得自己拥有的不如别人的多,不如别人的好。

其实,对事不对人是非常难做到的。连孔子也做不到,他就说,父为子隐,子为父隐。这是正常的人伦要求。

6.齐家

所谓治国必先齐其家者,其家不可教而能教人者,无之。故君子不出家而成教于国:孝者,所以事君也;弟者,所以事长也;慈者,所以事众也。

国是家的扩大版,家是国的迷你版。治理的道理是相通的,更是相同的。

一家仁,一国兴仁;一家让,一国兴让;一人贪戾,一国作乱;其机如此。此谓一言偾事,一人定国。

这些话的意思是强调齐家具有推广性。

尧、舜帅天下以仁,而民从之;桀纣帅天下以暴,而民从之;其所令反其所好,而民不从。是故君子有诸己而后求诸人,无诸己而后非诸人。所藏乎身不恕,而能喻诸人者,未之有也。故治国在齐其家。

这段话是举例子论证上述观点。

7.治国,8.平天下

所谓平天下在治其国者:上老老而民兴孝,上长长而民兴弟,上恤孤而民不倍,是以君子有絜矩之道也。

治国和齐家逻辑推理相同,但是,更强调统治者、君子修养的示范性。

道得众则得国,失众则失国。有德此有人,有人此有土,有土此有财,有财此有用。

这里的国,指的是诸侯国。礼记反映是春秋战国时的思想。当时诸侯国有很多,为了扩大势力,要不断扩大地盘,地盘怎么能扩大,先吸引人口。所以就有了上面的说法。

德者,本也;财者,末也。

德行是根本,钱财是末流。中国的古人在思想上往往排斥财,重视德行。他们认为德行是人修行的根本。修行好了,自然有财;修行不好,有了钱也是不义之财。

小结

老羊曰:

《大学》者,内圣外王之经也。言终欲治平天下,皆应以明明德为始,救世良言也!今世风浇薄,是说可启浮浪小人之蒙。然蒙可启乎?知其不可为而为之也哉!

知识迁移

一.翻译下列句子

1.子曰:“中庸其至矣乎!民鲜①能久矣!”

注:①鲜:少,不多。

2.子曰:“道①之不行也,我知之矣,知者②过之,愚者不及也。道之不明也,我知之矣:贤者过之,不肖者③不及也。人莫不饮食也,鲜能知味也。”

注:①道:即中庸之道。②知者:即智者,与愚者相对,指智慧超群的人。知,同“智”。

③不肖者:与贤者相对,指不贤的人。

二.阅读下文,回答问题

中国总理温家宝在一次演讲中,在介绍中华民族的文化底蕴时,指出“‘和而不同’是其中一个伟大思想,和谐而又不千篇一律,不同而又不彼此冲突;和谐以共生共长,不同以相辅相成。用‘和而不同’的观点观察、处理问题,不仅有利善待友邦,也有利国际社会化解矛盾”。

根据本文内容,联系总理温家宝的话,你认为“中庸之道”有怎样的现实意义?

参考答案

一.1. 孔子说:“中庸可以说是最完美的道德了,然而人们很少能够长久地实行它的。”

2. 孔子说:“中庸的道理不能够施行,我知道原因了,这就是聪明的人做得过头,愚笨的人达不到它的要求。中庸的道理不能昭示于世,我知道原因了:这就是贤能的人做得过头,不贤能的人又达不到它的要求。就像人们没有不吃不喝的,但很少有人知道其中的滋味。”

二.所谓“中庸之道”,其实就是君子之道,君子模范遵守社会规则之道。

“中庸之道”是目前全世界最为重视的合理主义。它注重人在处世的行为及态度上的“适度”。要求人们时时检点自己的行为和心态,不断地反省自己的言行举止,辨察、修正其中的丑恶,提高自身的道德水准,以求在为人处事上达到最理想的效果!中庸之道的关键是对人的思想及精神世界的构建,重在时时刻刻对人的灵魂进行洗礼,让灵魂保持纯洁、高尚以及正直!

“中庸”不是教人软弱,而是教人自立、自强、自信、自息!

“中庸之道”实际上是一种理想状态。是做人的最高境界,也是完美境界,所以它是无法达到的,但是可以无限地接近。

拓展阅读

参考译文

《大学》节选

大学的宗旨在于弘扬光明正大的品德,在于使人弃旧图新,在于使人达到最完善的境界。知道应达到的境界才能够志向坚定;志向坚定才能够镇静不躁;镇静不躁才能够心安理得;心安理得才能够思虑周详;思虑周详才能够有所收获。每样东西都有根本有枝末,每件事情

都有开始有终结。明白了这本末始终的道理,就接近事物发展的规律了。古代那些要想在天下弘扬光明正大品德的人,先要治理好自己的国家;要想治理好自己的国家,先要管理好自己的家庭和家族;要想管理好自己的家庭和家族,先要修养自身的品性;要想修养自身的品性,先要端正自己的心思;要想端正自己的心思,先要使自己的意念真诚;要想使自己的意念真诚,先要使自己获得知识;获得知识的途径在于认识、研究万事万物。通过对万事万物的认识、研究后才能获得知识;获得知识后意念才能真诚;意念真诚后心思才能端正;心思端正后才能修养品性;品性修养后才能管理好家庭和家族;管理好家庭和家族后才能治理好国家;治理好国家后天下才能太平。上自天子,下至平民百姓,一切都要以修养品性为根本。若这个根本被扰乱了,家庭、家族、国家、天下要治理好是不可能的。所看重的反而疏远了,所疏远的却厚待于他,这样的事情是没有的。

使意念真诚的意思是说,不要自己欺骗自己。要像厌恶腐臭的气味一样,要像喜爱美丽的女人一样,一切都发自内心。所以,品德高尚的人哪怕是在一个人独处的时候,也一定要谨慎。

品德低下的人在私下里无恶不作,一见到品德高尚的人便躲躲闪闪,掩盖自己所做的坏事而自吹自擂。殊不知,别人看你,就像能看见你的心肺肝脏一样清楚,掩盖有什么用呢?这就叫做内心的真实一定会表现到外表上来。所以,品德高尚的人哪怕是在一个人独处的时候,也一定要谨慎。

之所以说修养自身的品性要先端正自己的心思,是因为心有愤怒就不能够端正;心有恐惧就不能够端正;心有喜好就不能够端正;心有忧虑就不能够端正。

心思不端正就像心不在自己身上一样。虽然在看,但却像没有看见一样;虽然在听,但却像没有听见一样;虽然在吃东西,但却一点也不知道是什么滋味。所以说,要修养自身的品性必须要先端正自己的心思。

之所以说管理好家庭和家族要先修养自身,是因为人们对于自己亲爱的人会有偏爱;对于自己厌恶的人会有偏恨;对于自己敬畏的人会有偏向;对于自己同情的人会有偏心;对于自己轻视的人会有偏见。因此,很少有人能喜爱某人又看到那人的缺点,厌恶某人又看到那人的优点。所以有谚语说:“人都不知道自己孩子的坏,人都不满足自己庄稼的好。”这就是不修养自身就不能管理好家庭和家族的道理。

之所以说治理国家必须先管理好自己的家庭和家族,是因为不能管教好家人而能管教好别人的人,是没有的,所以,有修养的人在家里就受到了治理国家方面的教育:对父母的孝顺可以用于侍奉君主;对兄长的恭敬可以用于侍奉官长;对子女的慈爱可以用于统治民众。一家仁爱,一国也会兴起仁爱;一家礼让,一国也会兴起礼让;一人贪婪暴戾,一国就会犯上作乱。其联系就是这样紧密,这就叫做:一句话就会坏事,一个人就能安定国家。尧舜用仁爱统治天下,老百姓就跟随着仁爱;桀纣用凶暴统治天下,老百姓就跟随着凶暴。统治者的命令与自己的实际做法相反,老百姓是不会服从的。所以,品德高尚的人,总是自己先做到,然后才要求别人做到;自己先不这样做,然后才要求别人不这样做。不采取这种推己及人的恕道,而想让别人按自己的意思去做,那是不可能的。所以,要治理国家必须先管理好自己的家庭和家族。

之所以说平定天下要治理好自己的国家,是因为在上位的人尊敬老人,老百姓就会孝顺自己的父母;在上位的人尊重长辈,老百姓就会尊重自己的兄长;在上位的人体恤救济孤儿,老百姓也会同样跟着去做。所以品德高尚的人总是实行以身作则,推己及人的“絜矩之道”。……得到民心就能得到国家,失去民心就会失去国家。所以,品德高尚的人首先注重修养德行。有德行才会有人拥护,有人拥护才能保有土地,有土地才会有财富,有财富才能供给使用。德是根本,财是枝末。

《中庸》节选

人的自然禀赋叫做“性”,顺着本性行事叫做“道”,按照“道”的原则修养叫做“教”。“道”是不可以片刻离开的,如果可以离开,那就不是“道”了。所以,品德高尚的人在没有人看见的地方也是谨慎的,在没有人听见的地方也是有所戒惧的。越是隐蔽的地方越是明显,越是细微的地方越是显著。所以,品德高尚的人在一人独处的时候也是谨慎的。喜怒哀乐没有表现出来的时候,叫做“中”;表现出来以后符合节度,叫做“和”。“中”,是人人都有的本性;“和”,是大家遵循的原则,达到“中和”的境界,天地便各在其位了,万物便生长繁育了。

仲尼说:“君子中庸,小人违背中庸。君子之所以中庸,是因为君子随时做到适中,无过无不及;小人之所以违背中庸,是因为小人肆无忌惮,专走极端。”

孔子说:“中庸大概是最高的德行了吧!大家缺乏它已经很久了!”

孔子说:“中庸之道不能实行的原因,我知道了:聪明的人自以为是,认识过了头;愚蠢的人智力不及,不能理解它。中庸之道不能弘扬的原因,我知道了:贤能的人做得太过分:不贤的人根本做不到。就像人们每天都要吃喝,但却很少有人能够真正品尝滋味。”

孔子说:“喜欢学习就接近了智,努力实行就接近了仁,知道羞耻就接近了勇。知道这三点,就知道怎样修养自己,知道怎样修养自己,就知道怎样管理他人,知道怎样管理他人,就知道怎样治理天下和国家了。”

治理天下和国家有九条原则。那就是:修养自身,尊崇贤人,亲爱亲族,敬重大臣,体恤群臣,爱民如子,招纳工匠,优待远客,安抚诸侯。修养自身就能确立正道;尊崇贤人就不会思想困惑;亲爱亲族就不会惹得叔伯兄弟怨恨;敬重大臣就不会遇事无措;体恤群臣,士人们就会竭力报效;爱民如子,老百姓就会忠心耿耿;招纳工匠,财物就会充足;优待远客,四方百姓就会归顺;安抚诸侯,天下的人都会敬畏了。

真诚是上天的原则,追求真诚是做人的原则。天生真诚的人,不用勉强就能做到,不用思考就能拥有,自然而然地符合上天的原则,这样的人是圣人。努力做到真诚,就要选择美好的目标执著追求:广泛学习,详细询问,周密思考,明确辨别,切实实行。要么不学,学了没有学会绝不罢休;要么不问,问了没有懂得绝不罢休;要么不想,想了没有想通绝不罢休;要么不分辨,分辨了没有明确绝不罢休;要么不实行,实行了没有成效绝不罢休。别人用一分努力就能做到的,我用一百分的努力去做;别人用十分的努力做到的,我用一千分的努力去做。如果真能够做到这样,虽然愚笨也一定可以聪明起来,虽然柔弱也一定可以刚强起来。

一元二次方程的解法详细解析

一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】:【要点综述】:一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前,先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程,一般式为:。一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程,要先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理,如能整理为的形式,那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”,将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。如下表:方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解,<0时无解。配方法二次项系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方。公式法≥0时,方程有解;<0时,方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0,另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1:已知,解关于的方程。分析:注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解:由得:或,当时,原方程为,即,解得.当时,原方程为,即,解得,.说明:由本题可见,只有项系数不为0,且为最高次项时,方程才

是一元二次方程,才能使用一元二次方程的解法,题中对一元二次方程的描述是不完整的,应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明,即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件,就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2:用开平方法解下面的一元二次方程。(1);(2)(3);(4)分析:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程,其解为。通过观察不难发现第(1)、(2)两小题中的方程显然用直接开平方法好做;第(3)题因方程左边可变为完全平方式,右边的121>0,所以此方程也可用直接开平方法解;第(4)小题,方程左边可利用平方差公式,然后把常数移到右边,即可利用直接开平方法进行解答了。解:(1)∴(注意不要丢解)由得,由得,∴原方程的解为:,(2)由得,由得∴原方程的解为:,(3)∴∴∴,∴原方程的解为:,(4)∴,即∴,∴,∴原方程的解为:,说明:解一元二次方程时,通常先把方程化为一般式,但如果不要求化为一般式,像本题要求用开平方法直接求解,就不必化成一般式。用开平方法直接求解,应注意方程两边同时开方时,只需在一边取正负号,还应注意不要丢解。例3:用配方法解下列一元二次方程。(1);(2)分析:用配方法解方程,应先将常数移到方程右边,再将二次项系数化为1,变为的形式。第(1)题可变为,然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方,即:,方程左边构成一个完全平方式,右边是一个不小于0的常数,即:,接下去即可利用直接开平方法解答了。第(2)题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解:(1)二

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似,记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。 注意:(1)相似比是有顺序的。 (2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 (3)顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,若△ABC ∽△A /B /C /, 相似比为k ,则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 (1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 (2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。 (3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念: 在比例式 ::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2 =AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质: a b c d ad bc =?= ②合比性质:±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质: ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

一元二次方程及解法经典习题及解析

┃知识归纳┃ 1.一元二次方程的概念 只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是的方程,叫做一元二次方程.[注意] 一元二次方程判定的条件是:(1)必须是整式方程;(2)二次项系数不为零;(3)未知数的最高次数是2,且只含有一个未知数. 2.一元二次方程的解法 一元二次方程有四种解法:法、法、法和法. [注意] 公式法其实质是配方法,只不过省去了配方的过程,但用公式时应注意:(1)将一元二次方程化为一般形式,即先确定a、b、c的值;(2)牢记使用公式的前提是b2-4ac≥0. 3.一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac (1)Δ>0?ax2+bx+c=0(a≠0)有的实数根; (2)Δ=0?ax2+bx+c=0(a≠0)有的实数根; (3)Δ<0?ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根. 4.一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=,x1·x2=. [注意] 它成立的条件:①二次项系数不能为0;②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法 一、开平方法 方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)

二、配方法 “配方法”的基本步骤:一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方,求解 三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零,至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧: 先考虑开平方法,

平行线的判定和性质知识点详解(推荐文档)

平行线的判定和性质(综合篇) 一、重点和难点: 重点:平行线的判定性质。 难点:①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。 二、例题: 这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特征,有时还需添加必要的辅助线,用以突出基本图形的特征。 上述类型题目大致可分为两大类。 一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”,即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。 另一类题目主要是“由角定线”,也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行,解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。 例1.如图,已知直线a,b,c被直线d所截,若∠1=∠2,∠2+∠3=180°,求证:∠1=∠7 分析:运用综合法,证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行,然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。 法(一)证明:∵d是直线(已知) ∴∠1+∠4=180°(平角定义) ∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知) ∴∠3=∠4(等角的补角相等) ∴a//c(同位角相等,两直线平行) ∴∠1=∠7(两直线平行,同位角相等) 法(二)证明:∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知) ∴∠1+∠3=180°(等量代换) ∵∠5=∠1,∠6=∠3(对顶角相等) ∴∠5+∠6=180°(等量代换) ∴a//c (同旁内角互补,两直线平行) ∴∠1=∠7(两直线平行,同位角相等)。 例2.已知如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF,求证:BC平分∠DBE。 分析:只要求得∠EBC=∠CBD,由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC,从而推出AE//FC,从而推出∠C=∠EBC而 ∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC,最后再运用平行线性质和已知条件便可推

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点1 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (2)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是360 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (3)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 (4)等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A D∥BE ∥C F, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由DE ∥B C可得: 知识点4 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为1得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程压轴题[含答案解析]

一元二次方程 1.(北京模拟)已知关于x的一元二次方程x2+px+q+1=0有一个实数根为2. (1)用含p的代数式表示q; (2)求证:抛物线y1=x2+px+q与x轴有两个交点; (3)设抛物线y1=x2+px+q的顶点为M,与y轴的交点为E,抛物线y2=x2+px+q+1的顶点为N,与y轴的交点为F,若四边形FEMN的面积等于2,求p的值. 2.设关于x的方程x2-5x-m2+1=0的两个实数根分别为α、β,试确定实数m的取值范围,使|α|+|β|≤6成立.

3.(湖南怀化)已知x 1,x 2是一元二次方程( a -6)x 2 +2ax +a =0的两个实数根. (1)是否存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请你说明理由; (2)求使( x 1+1)( x 2+1)为负整数的实数a 的整数值. 4.(江苏模拟)已知关于x 的方程x 2 -(a +b +1)x +a =0(b ≥0)有两个实数根x 1、x 2,且 x 1≤x 2. (1)求证:x 1≤1≤x 2 (2)若点A (1,2),B ( 1 2 ,1),C (1,1),点P (x 1,x 2)在△ABC 的三条边上运动,问 是否存在这样的点P ,使a +b = 5 4 ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 5.(福建模拟)已知方程组 ???y 2 =4x y =2x +b 有两个实数解 ? ????x =x 1y =y 1 和 ?????x =x 2 y =y 2 ,且x 1x 2≠0,x 1≠x 2. (1)求b 的取值范围; (2)否存在实数b ,使得 1 x 1 + 1 x 2 =1?若存在,求出b 的值;若不存在,请说明理由.

相似三角形知识点讲解及专项练习

相似三角形知识点讲解及专项练习 相似三角形的判定方法总结: 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.(SSS ) 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结: “反A”型与“反X”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型: 如图,已知△ABC ,∠ADE =∠C ,则△ADE ∽△ACB (AA ),∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ,进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型: 如图,已知角∠BAO =∠CDO ,则△AOB ∽△DOC (AA ),∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ,BC ,进而能证明△AOD ∽△BOC . “类射影”与射影模型 示意图 结论 相似三角形证明方法 模块一 相似三角形6大证明技巧 专题

类射影 如图,已知2AB AC AD =?,求证: BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ,∠ACB =90°,CH ⊥AB 于H ,求证:2AC AH AB =?,2BC BH BA =?,2HC HA HB =? 通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A 型,X 型,线束型),也离不开上述的6种“相似模型”. 但是,王老师认为,“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。 在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧. 技巧一:三点定型法 技巧二:等线段代换 技巧三:等比代换 比例式的证明方法 模块二

一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法(一)直接开平方法—知识讲解(提高) 【学习目标】 1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义,会把一元二次方程化为一般形式; 2.掌握直接开平方法解方程,会应用此判定方法解决有关问题; 3.理解解法中的降次思想,直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念: 通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程. 要点诠释: 识别一元二次方程必须抓住三个条件:(1)整式方程;(2)含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程,缺一不可. 2.一元二次方程的一般形式: 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,都能化成形如,这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项,是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常 数项. 要点诠释: (1)只有当时,方程才是一元二次方程; (2)在求各项系数时,应把一元二次方程化成一般形式,指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解: 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 (1)若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1;反之也成立,即若x=1是一元二次方程的一个根,则a+b+c=0. (2)若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1;反之也成立,即若x=-1是一元二次方程的一个根,则a-b+c=0. (3)若一元二次方程有一个根x=0,则c=0;反之也成立,若c=0,则一元二次方程必有一根为0. 要点二、一元二次方程的解法 1.直接开方法解一元二次方程: (1)直接开方法解一元二次方程:

《一元二次方程》知识讲解

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(提高) 【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念; 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程; 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念: 通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般式:   3.一元二次方程的解: 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根. 要点诠释: 判断一个方程是否为一元二次方程时,首先观察其是否是整式方程,否则一定不是一元二次方程;其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件:①一个未知数;②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0. 要点二、一元二次方程的解法 1.基本思想

一元二次方程??? →降次一元一次方程 2.基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 要点诠释: 解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法,再考虑用公式法. 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=?. (1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根; (2)当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根; (3)当△<0时,一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,, 那么a b x x -=+21,a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0, Δ≥0. 要点诠释: 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立.利用其可以解决以下问题: (1)不解方程判定方程根的情况; (2)根据参系数的性质确定根的范围; (3)解与根有关的证明题. 2. 一元二次方程根与系数的应用很多: (1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数; (2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数; (3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程. 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节: 一是整体地、系统地审题; 二是把握问题中的等量关系; 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤: 审 (审题目,分清已知量、未知量、等量关系等);

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识 知识点一:放缩与相似 1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形. 3.相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二:比例线段有关概念及性质 (1)有关概念 1、比:选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比是a :b =m : n (或n m b a = ) 2、比的前项,比的后项:两条线段的比a :b 中。a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。 说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如d c b a = 4、比例外项:在比例d c b a = (或a :b =c :d )中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项:在比例 d c b a =(或a :b =c :d )中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项:在比例 d c b a =(或a :b = c : d )中,d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为a b b a = (或 a:b =b:c 时,我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段:对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即 d c b a =(或a :b= c : d ) ,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。(注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位)

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识 知识点一:放缩与相似 1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形. 3.相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二:比例线段有关概念及性质 (1)有关概念 1、比:选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比是a :b =m : n (或 n m b a =) 2、比的前项,比的后项:两条线段的比a :b 中。a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。 说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如d c b a = 4、比例外项:在比例 d c b a =(或a :b =c :d )中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项:在比例d c b a = (或a :b =c :d )中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项:在比例 d c b a =(或a :b =c :d )中,d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项:如果比例中两个比例项相等,即比例为 a b b a =(或a:b =b: c 时,我们把b 叫做a 和 d 的比例 中项。

初一数学下册《相交线与平行线》知识点归纳上课讲义

相交线与平行线 一、目标与要求 1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认; 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程; 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力。 二、重点 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角; 两条直线互相垂直的概念、性质和画法; 同位角、内错角、同旁内角的概念与识别。 三、难点 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角; 对点到直线的距离的概念的理解; 对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质; 能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用。 四、知识框架 五、知识点、概念总结 1.邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。 3.对顶角和邻补角的关系

4.垂直:两条直线、两个平面相交,或一条直线与一个平面相交,如果交角成直角,叫做互相垂直。 5.垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。 6.垂足:如果两直线的夹角为直角,那么就说这两条直线互相垂直,它们的交点叫做垂足。 7.垂线性质 (1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简单说成:垂线段最短。 (3)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。 8.同位角、内错角、同旁内角: 同位角:∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角:∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角:∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 9.平行:在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时,称它们平行。 10.平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 11.命题:判断一件事情的语句叫命题。 12.真命题:正确的命题,即如果命题的题设成立,那么结论一定成立。 13.假命题:条件和结果相矛盾的命题是假命题。

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总 重点、难点分析: 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点. 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 (比例的有关性质): 二、有关知识点: 1.相似三角形定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理: 6.直角三角形相似: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质:c d a b = 更比性质:d b c a a c b d ==或 合比性质:d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a (比例基本定理)

相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A

一般的一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程的解法(二) 一般的一元二次方程的解法—知识讲解(提高) 【学习目标】 1.了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程,会用配方法和公式法解一元二次方程; 2.掌握运用配方法和公式法解一元二次方程的基本步骤; 3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,通过求根公式的推导,进一步体会转化的思想方法,并增强数学应用意识和能力. 培养学生数学推理的严密性及严谨性,渗透分类的思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的解法---配方法 1.配方法解一元二次方程: (1)配方法解一元二次方程: 将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①把原方程化为的形式; ②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数; ⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解. 要点诠释: (1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方; (2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. (3)配方法的理论依据是完全平方公式222 ±+=±. a a b b a b 2() 要点二、配方法的应用 1.用于比较大小: 在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小. 2.用于求待定字母的值: 配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值. 3.用于求最值: “配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值. 4.用于证明: “配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用

【精心整理】平行线的性质知识点总结、例题解析

平行线的性质知识点总结、例题解析 知识点1【平行线的性质】 (1)性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 简称:两直线平行,同位角相等. ∵AB∥CD ∴∠2=∠3 (2)性质2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补. 简称:两直线平行,同旁内角互补. ∵AB∥CD ∴∠2+∠4=180° (3)性质3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 简称:两直线平行,内错角相等。 ∵AB∥CD ∴∠1=∠2 【例题1】如图,已知DE∥BC,∠B=80°,∠C=56°,求∠ADE和∠AEC的度数。 【答案】∠ADE=80°;∠AEC=124°

【例题2】如图,平行线AB。CD被直线AE所截,若∠1=110°,则∠2等于() A、70 B、80 C、90 D、110 【答案】A 【例题3】如图,已知AB∥CD,∠1=150°,∠2=______ 【答案】30° 【例题4】在平面内,将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°,则∠2的度数是_______ 【答案】35°

【例题5】如图所示,已知∠AOB=50 °,PC ∥OB ,PD 平分∠OPC ,则∠APC=______ °,∠PDO=______° 【答案】50 ,50 ; 【例题6】如图所示,OP∥QB∥ST,若∠2=110°,∠3=120°,则∠1的度数为________ 【答案】10° 【例题7】如图,已知AB∥CD,AE∥CF,求证:∠BAE=∠DCF 【答案】证明:∵AB∥CD, ∴∠BAC=∠DCA.(两直线平行,内错角相等) ∵AE∥CF, ∴∠EAC=∠FCA.(两直线平行,内错角相等)

一元二次方程知识点复习及典型题讲解

一元二次方程复习课1)一元二次方程的概念: 中考常见题型: 例1、下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1(1)(2)(3)(4) 2bx+a=0, x —2、方程(2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一 —4)例次方程?2。,求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于,在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一的方程次方程? 2)一元二次方程的解法: 1)直接开平方法(换元思想): 2)配方法: 3)求根公式(符号问题): 4)因式分解法(十字交叉法): 中考常见题型: 例1:考查直接开平方法和换元思想。 1)(x+2)=3(x+2) (2)2y(y-3)=9-3y (3)( x-2) — x+2 =0 22( 249??1x?2x2 4)(2x+1)=(x-1) (5) 2( 2:用配方法解方程x+px+q=0(p2-4q≥0). 2例

例3:用配方法解方程: 22xx(1)-6x-7=0;(2)+3x+1=0. 2205x??2x?2x?7x?20?42(3)(50. 2x4 ())3x+-3= 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢?例4:能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时,关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根.有两个不相等的实数根; (2)有两个相等实数根; (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长,求证方程ax-(a+ba例6、已知,b,c是△222222没有实数根. 练习:222 +n=0无实数根.,求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m.若 1m≠n +m=0.求证:关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根. 7例: 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x)(2 1()()3 3)一元二次方程的应用(常见四类题型):

一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解1

中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解(提高) 【考纲要求】 1.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 2.会解分式方程,解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程. 它的一般形式为2 0ax bx c ++=(a ≠0). 2.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:把方程变成2 x m =的形式,当m >0时,方程的解为x m =±;当m =0时,方程的解1,20x =;当m <0时,方程没有实数解.

(2)配方法:通过配方把一元二次方程2 0ax bx c ++=变形为2 22 424b b ac x a a -??+= ?? ?的形式,再利用直接开平方法求得方程的解. (3)公式法:对于一元二次方程2 0ax bx c ++=,当2 40b ac -≥时,它的解为 242b b ac x a -±-= . (4)因式分解法:把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解. 要点诠释: 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法. 易错知识辨析: (1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断,注意一元 二次方程一般形式中0≠a . (2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. (3)用配方法时二次项系数要化1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负. 3.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为ac 4b 2 -=?. △>0?方程有两个不相等的实数根; △=0?方程有两个相等的实数根; △<0?方程没有实数根. 上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边. 要点诠释: △≥0?方程有实数根. 4.一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、,那么a c x x a b x x 2 121=?-=+,. 要点诠释: (1)对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0. (2)解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法,再考虑用公式法. (3)一元二次方程0c bx ax 2 =++(a ≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以①不解方程判定方程根的情况;②根据参系数的性质确定根的范围;③解与根有关的证明题. (4)一元二次方程根与系数的应用很多:①已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;②已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;③已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

平行线知识点+四大模型

平行线四大模型 平行线的判定与性质 I、平行线的判定 根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行. 判定方法I : 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简称:同位角相等,两直线平行. 判定方法2: 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简称:内错角相等,两直线平行, 判定方法3: 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 简称:同旁内角互补,两直线平行, 若已知/仁/2,则AB//CD(同位角相等,两直线平行); 若已知/仁/3,则AB//CD(内错角相等,两直线平行); 若已知/ 1+ / 4= 180。,贝U AB// CD(同旁内角互补,两直线平行). 另有平行公理推论也能证明两直线平行: 平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 2、平行线的性质 禾U用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质. 性质1: 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 简称:两直线平行,同位角相等 性质2: 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等 简称:两直线平行,内错角相等 性质3: 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简称:两直线平行,同旁内角互补

模型二“猪蹄”模型( M 模型) 点P 在EF 左侧,在 AB CD 内部 | “猪蹄”模型 结论 1 :若 AB// CD 则Z P =Z AEF +Z CFR 结论 2:若Z P =Z AEP Z CFP 贝U AB// CD 模型三 “臭脚”模型 A 3 A z C / c F 点P 在EF 右侧,在 AB CD 外^ “臭脚”模型 结论 1 :若 AB// CD 则 Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 结论 2 :若Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 贝U AB// CD 模型四“骨 折”模型 ”8 A _________ D C P 在EF 左侧,在 _________ 1 点 圧AB CD 外部 ? L F “骨折”模型 结论 1 :若 AB// CD 则 Z P =Z CFP Z AEP 或Z P =Z AEP Z CFP 本讲进阶 平行线四大模型 结论 2 :若/ P +Z AEP Z PF(= 360。,贝U AB// CD

中考数学综合题专题复习【一元二次方程】专题解析及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +k 2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k =2,求该矩形的对角线L 的长. 【答案】(1)k > 34;(2 【解析】 【分析】 (1)根据关于x 的方程x 2-(2k +1)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根,得出△>0,再解不等式即可; (2)当k=2时,原方程x 2-5x+5=0,设方程的两根是m 、n ,则矩形两邻边的长是m 、n , 利用根与系数的关系得出m+n=5,mn=5,利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】 (1)∵方程x 2-(2k +1)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=[-(2k +1)]2-4×1×(k 2+1)=4k -3>0, ∴k >34 ; (2)当k =2时,原方程为x 2-5x +5=0, 设方程的两个根为m ,n , ∴m +n =5,mn =5, ∴ = =. 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)△<0时,方程没有实数根. 2.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x 1,x 2,求a 的取值范围; (3)若方程两个实数根x 1,x 2满足[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,求a 的值. 【答案】(1)123,4x x =-=(2)54 a ≤(3)-4 【解析】 分析:(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案; (2)根据判别式即可求出a 的范围; (3)根据根与系数的关系即可求出答案.

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