高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共 小题，每题 ，共 ）

?

)

1ln(41222

2

-++--=

y x y

x z ，其定义域为

?????????????????????????????????（?）

? {

}

41),(2

2<+

}

41),(2

2<+≤y x y x

{

}

41),(2

2≤+

}

41),(2

2≤+≤y x y x

?

设

y

x z =，则

=dz ???????????????????????????????????????????

?????????????????????????????（ ） ? dy yx xdx x y y

1

ln -+ ? dy x dx yx y y +-1

xdy x xdx yx

y y ln ln 1+- ? xdy x dx yx y y ln 1+-

? 由椭圆

116

252

2=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为 ?????????????（ ? ） ? 520

2y dx π

?

? 520

4y dx π? ? 4

20

2x dy π? ?

4

20

4x dy π?

? 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c

，则.)(c b a ??为

???????????????????（?）

? 5- ? 1- ? 1 ? 5

? 设05432:=+++∏z y x ，4

1

321:-=

=-z y x L ，则∏与直L 的关系为 ??（ ?）

? L 与∏垂直 ? L 与∏斜交 ? L 与∏平行 ? L 落于∏内

? 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}

40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2

2y x f +为

D

上的连续函数，则

σ

d y x f D

)(22??

+可化为

?????????????????????????????????????????????? ????（ ） ?

σd y x f D )(1

22??

+ ? σd y x f D )(21

22??+

σd y x f D )(

4

1

22??+ ? σd y x f D )(81

22??+

? 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 ?????????????????????????????????????????????（ ?）

? x

e cx y += ? x e

c y x

c +=+21

x c e c y x

21+= ? )(21x

e x c c y +=

?

下

列

哪

个

级

数

收

敛

?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????（ ） ?

∑∞

=-1

)

1(n n

?

∑

∞

=+1

1001

n n ? ∑∞

=+1100n n n ? ∑∞

=1100100

n n

? 若

??=D

d 4

σ，其中

ax

y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数

=a ????????????????????（ ?）

? 3

22 ? 2 ? 3

42 ? 2

32

?? 若幂级数

∑∞

=-1

)1(n n

n

x a

在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为 ????????????????（ ?）

? 1 ? 2 ? 3 ? 4

二、计算题（本大题共 小题，每题 ，共 ）

? 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求

.,2y x z

x z ????? 解： ,cos 1xf x

z

=??

=???y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-?=???? ? 设)sin(2

2

y x z +=，求??

D

zdxdy . D 22224ππ≤+≤y x

解：

??

D

zdxdy )4cos (cos 22πππ-

? 设曲线x

e y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积

解D 的面积

2ln 2)1(2

12

-+e ? 解微分方程.2x e x y dx

dy

x -+=

解：x xe y x

dx dy -=-1

x xe x Q x

x P -=-=)(,1

)(

?-=∴x dx x P ln )(， x x x dx

x P e dx e xe dx e x Q ----=?=?

??

ln )()(

故通解为)(C e

x y x

+-=-

三、计算题（本题 ）设??

=20

2sin π

πy y

dx x

x

dy I ，（ ）改变积分次序；

（ ）计算I 的值

解：?

?

=

20

2

sin π

πy

y

dx x

x

dy I =πππ

π

π

2

1)2(sin sin 2022022-=-=???dx x x x x dy x x dx x

x 四、证明题（本题 ）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在

各坐标轴上的截距之和等于a

解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，

则切平面方程为：

+

-)(2100

x x x +

-)(2100

y y y 0)(2100

=-z z z

令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++

同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y

因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000

。

五、计算题（本题 ）求1

1

(1)n n

n x n +∞

=-∑的收敛域及和函数

解：解：x x n x n n n n n n =?+?-++-++++∞→1

1

)1(1

11

)1(1

)1()1(lim

故12)1(1

21

+-+∞

=∑n x n n n

的收敛半径为

易知当1=x 时，1)1(11+-+∞

=∑n x n n n

收敛；当1-=x 时，1)1(11

+-+∞

=∑n x n n n 发散 因此1)1(1

1

+-+∞

=∑n x n n n

在]1,1(-收敛。

六、计算题（本题 ）设)(x f y =是第一象限内连接?)1,0(， )0,1(的一段连

续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点 为 在x 轴上的投影， 为坐标原点 若梯形

???的面积与曲边三角形 ??的面积之和为

3

1

63+x ，求)(x f 的表达式 解：?+=

++133

1

6)1(2x x ydx y x 11

122)1(2122++=?-=-'?=-'++Cx x y x

x y x y x y y x y 由20)1(-=?=C y ，故 2

)1()(-=x x f

七、应用题（本题 ）设生产某种产品必须投入两种要素 1x 和2x 分别为两种

要素的投入量 产出量为 3

223

1

12x x Q = 若两种要素的价格之比为

42

1

=p p 试问 当产出量12=Q 时 两种要素的投入量21 , x x 各为多少，可以使得投入总费用最小？

解 ．该题为求费用函数 221121),(x p x p x x C += 在条件1223

223

11=x x 下的最小值问题 为此作拉格朗日函数 )212(),,(3223

112211x x x p x p x x L -++=λλ

令??

???

12

20340

3232

23113123112322321121==-==-=-

-

x x x x p L x x p L x x λλ?????==?122832231112x x x x

???==?2432

1x x ，即两种要素各投入 ???可使得投入总费用最小