复杂的鸡兔同笼问题

复杂的鸡兔同笼问题专题训练

一、知识要点和基本方法

1．鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只．

(1)解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：

先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔．

(2)解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)．

兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)．

注意，这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知总数，所以另一个也就知道了．

2．鸡兔同笼问题的变型有两类：

(1)将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况：

已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；

已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；

已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只．

(2)将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等．

注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决．

二、例题精讲

例1、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只

分析：题目中给出了鸡、兔共有40只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也捆起来，也看成是一只脚，那么兔子就成了2只脚(即把兔子都当成两只脚的鸡)．鸡兔总的脚数是40×2=80(只)比题中所说的130只要少

130-80=50(只)．

现在松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2，即80+2=82．再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，即82+2=84，…一直继续下去，直至增加到50．因此，兔子数是50÷2=25(只)．

实际上，这就是上述基本关系式(2)．

解：(130-40×2)÷(4-2)

=(130-80)÷2

=50÷2

=25(只)．

40-25=15(只)．

答：笼子中有兔子25只，有鸡15只．

例2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种小虫各几只

分析：此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，显然比例1复杂了．解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了．

突破口在于：蝉和蜻蜓都有6条腿．

解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成“8条腿”和“6条腿”

两种，利用基本关系式算出8条腿的

蜘蛛数=(140-6×21)÷(8-6)

=(140-126)÷2

=14÷2

=7(只)．

因此，知道了6条腿的昆虫共有

21-7=14(只)，

也就是蜻蜓和蝉共有14只．因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀，现在再用一次基本关系式，得蝉数=(14×2-24)÷(2-1)

=(28-24)÷1

=4(只)．

因此，蜻蜓数是14-4=10(只)．

答：有7只蜘蛛，4只蝉，10只蜻蜓．

例3、鸡与兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数少70，问鸡与兔各多少只

解：假设再补上70只鸡脚，也就是再有鸡70÷2=35(只)，则鸡与兔的脚数就相等，兔的脚数是鸡的脚数4÷2=2(倍)．于是鸡的只数是兔的只数的2倍．

因此，兔的只数是

(40+70÷2)÷(2+1)=25(只)，

鸡的只数是

40-25=15(只)．

答：鸡15只，兔25只．

例4、在一个停车场上，停放的车辆(汽车和三轮摩托车)数恰好是24．其中每辆汽车有四个轮子，每辆摩托车有三个轮子．这些车共有86个轮子．那么，三轮摩托车有多少辆

分析：我们可将汽车“看作兔子”，将三轮摩托车“看作鸡”，轮子“看作腿”，就可用鸡兔同笼的原理来解此题．

解：24辆车如果都算作汽车，那么将有24×4=96(个)轮子．比现有的86个多10个轮子．每一辆三轮摩托车比每一辆汽车少一个轮子，故要有10辆三轮摩托车来抵消10个轮子．答：共有10辆三轮摩托车．

公式套用：若用基本关系式，鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

“翻译”为摩托车车辆数计算公式(这里将摩托车看作“鸡”)：

摩托车数=(汽车轮子数×车辆总数-轮子总数)÷(汽车轮子数-摩托车轮子数)，

即有

摩托车数：(4×24-86)÷(4-3)=10(辆)．

三、专题特训

1．有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九。”问民谣中有多少个猎手和多少条狗

2．用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张

3．春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道倒扣3分，不做得0分，这3名同学都做了所有题．小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分．问他们三人一共答对了多少题

4．某班同学外出春游，买车票99张，共花280元，其中单程每张2元，往返每张4元，问单程票与往返票相差几张

5．某商场为招揽顾客举办购物抽奖，奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元，共有100人中奖，奖金总额为9500元．问其中二等奖有多少名

6．有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍，已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个

7．箱子里有红、白两种颜色的玻璃球．红球数是白球数的3倍多2个．每次从箱子里取出7

只白球，15只红球．若经过若干次取球以后，箱子里剩下3只白球，53只红球．那么箱子里原有红球多少只

8．甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发

9．姣姣和甜甜两位同学进行数学比赛，商定算对一题给20分，错一题扣12分．姣姣和甜甜各算了10道题，两人共得208分，姣姣比甜甜多得64分，问姣姣和甜甜各算对了多少道题

10．某种考试已举行了24次，共出了426题，每次出的题数有25道，或者16道，或者20道，那么，其中考25题的有多少次

答案与解析

参考答案

1．猎手有275人，狗有85人。

2．最多可买1角邮票6张。

3．共答对了20道。

解：三人共得87+74+9=170(分)，比满分少300-170=130(分)，因此3人共做错

130÷(10+3)=10(道)所以，共答对30-10=20(题)。

4．单程票比往返票多17张。

解：设99张均为往返票，应花99×4=396(元)，比实际多花396-280=116(元) ．因一张往返票比一张单程票多2元，所以单程票116÷2=58(张)，往返票有99-58=41(张)，两者相差17张。

5．二等奖13名。

设都是三等奖，奖金就多下9500-50×100=4500（元），一个一等奖要增加1000-50=950（元），一个二等奖要增加250-50=200（元）.因此

950×一等奖个数+200×二等奖个数=4500（元）.

很明显一等奖个数是偶数，2，4，6，….6×950＞×950余下的钱就不能被200整除，因此一等奖个数只能是2.

二等奖个数是

（4500－950×2）÷200=13（个）.

6．有5分硬币7个。

设2分硬币x个，则1分硬币11x个；1元＝100分，则100－（2x＋11x）能被5整除，试验可知当x＝5时，符合要求。那么，100－（2x＋11x）＝100－65＝35（分）。35÷5＝7（个）。

7．原有红球数为158只.

解：如果每次红球取3×7=21(只)，那么最后剩下的红球数仍应是剩下的白球数的3倍多2只，即3×3+2=11(只)，比现在少53-11=42(只)．这是由于每次多取了2l-15=6(只)红球．所以共取了42÷6=7(次)，因此，原有红球数为：7×15+53=158(只)。

8．甲中8发，乙中6发。

解：假设甲中10发,乙就中14-10=4(发).甲得4×10=40(分),乙得5×4-3×6= 2(分).比题目条件“甲比乙多10分”相差(40-2)-10=28(分),甲少中1发,少4+2=6(分),乙可增5+3=8(分).

28÷(6+8)=2.

甲中10-2=8(发).乙中14－8＝6（发）。

9．姣姣算对8道，甜甜算对6道。

解：姣姣得分（208＋64）÷2＝136（分）；甜甜得分208－136＝72（分）；假设她们都做对10道题，则每个人的总分各是200分。

姣姣差了200－136＝64分，姣姣错了64÷（20＋12）＝2（道），做对了10－2＝8（道）。

甜甜差了200－72＝128分，甜甜错了128÷（20＋12）＝4（道），做对了10－4＝6（道）。

10．其中考25题的有2次。

解：假设每次都考25题，则共考25×24＝600题，比实际情况多600－426＝174题。多的174题是因为有时考16道，有时考20题，那么考16道题一次相差25－16＝9题，考20道题一次相差25－20＝5题。试验174里面有多少个9有多少个5会出现两种情况：

第一种6个9，24个5 6＋24＞24 不符合题意

第二种16个9，6个5 16＋6＜24 符合题意那么出25题的有24－16－6＝2次。