圆的相关概念及性质复习导学案

一、中考要求（复习目标）

1.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；

2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；

3.掌握垂径定理及推论的应用；

4.了解点与圆的位置关系。

5.圆的对称性（轴对称和中心对称）；

二、复习重点

1.垂径定理及推论；

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；

3.圆周角的定理及其推论；

4.与性质相关的计算

三、复习难点

1.垂径定理及推论；

2.圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质；

3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

4.与性质相关的综合计算

四、知识回顾

考点一：圆

1.在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；

2.连接圆上任意两点的线段叫_______；经过圆心的弦叫______;圆上任意两点间的部分叫_______;大于半圆的弧叫_______;小于半圆的弧叫_______.

考点二：圆的对称性

圆是一个特殊的图形，它既是一个____对称图形，又是一个____对称图形。

考点五：垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分弦所对的________；

2.推论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

考点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组两相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点四：圆心角与圆周角

1.圆心角定理:圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；

2.圆周角定理：________________________________________。

3.（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；（3）如果三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

五、基础训练

1.下列命题：（1）圆既是轴对称图形又是中心对称图形；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；（4）90°的角所对的弦是直径。其中正确的命题有（）

A .0 B. 1 C .2 D .3

2.如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，EF=3，DE=1.则AB= 。

3.如图，在⊙O中，弦AB= AD= CD，弦AB、DC的延长线交于点P.

若∠ABD=55°，则∠AOD= ，∠P= 。

第2题第3题

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=3，AC=4，则CD的值是多少？

5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是BC边上的高。已知BD=8，CD=3，AD=6，则直径AM的长是多少？

六、当堂检测

1.已知⊙O 的直径是4cm ，弦AB= cm ，则∠AOB=

，若点P 是⊙O 上异于

A 、

B 两点外的一点，则∠APB=

2.如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB

长的取值范围是……（）

A .３≤ＯＭ≤５

B.４≤ＯＭ≤５

C.３＜ＯＭ＜５

D.４＜ＯＭ＜５

3.如图，A （3，0），B （0，-4），点M 是x 轴上的一点，以M 的圆记为⊙M ，N 为⊙M 上的一点,若四边形ABMN 是平行四边形，则点M 的坐标是，点N 的坐标是。

4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求BD 的长。

5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥弦CD 于点E 。

①若AE ：BE ＝4：1，且CD 的长是8，则⊙O 的半径是_____。 ②若CD 的长是6cm ，BE 的长是1cm ，则⊙O 的半径是_____。

6.已知∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径的作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，交AM 于B 、C 两点.问AD 为何值时，∠BOC=90°.

七、收获与感悟

32B B M

N A

圆的基本概念和性质教学设计

圆的基本概念和性质教学设计教学设计思想圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。教学目标圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。第一课时教学目标知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；情感态度价值观：经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。教学重难点重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。学情分析

圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

201x版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.1 圆的基本性质导学案沪科版

2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.1 圆的基本性质导学案（新版）沪科版【学习目标】 1．圆的定义、点与圆的位置关系及相关概念． 2. 经历探索圆的定义及相关概念的过程，进一步体会理解研究几何图形的各种方法． 3．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． 4. 培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【学习重难点】重点：圆的轴对称性，及相关概念。难点：圆的相关概念的理解。【课前预习】 1．圆的半径为r ，直径为R ，则半径与直径的关系为R ＝2r . 2．圆的半径为r ，直径为R ，则圆的周长为2πr ＝πR ，面积为πr 2 ＝14πR 2. 3．在平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，则另一个端点P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径． 4．圆可以被看成：平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r )的所有点组成的图形． 5．平面上一点P 与⊙O(半径为r )的位置关系有以下三种情况： (1)点P 在⊙O 上?OP ＝r ； (2)点P 在⊙O 内?OP ＜r ； (3)点P 在⊙O 外?OP ＞r . 6．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 7．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 8．同圆中：(1)半径相等；(2)直径等于半径的2倍． 9．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 10．由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形． 11．能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等． 12．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

2021版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.4 圆的基本性质导学案 (全国通用版)沪

（全国通用版）沪科版的基本性质导学案（全国通用版）沪科版【学习目标】 1．经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程。 2．了解不在同一条直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。 3.进一步体会解决数学问题的策略。【学习重难点】重点：（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。（2）三角形的外接圆、外心。难点：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。【课前预习】 1、圆的定义：_______________________________________________________。 2、圆的位置由________决定，圆的大小由__________决定。思考：要作一个圆的关键是什么？怎样确定圆心和半径？要确定一个圆需几个条件?过几点可以确定一个圆呢？【课堂探究】 1.如图，已知点A，经过点A画圆，能画多少个？结论：经过一点能作__________个圆。 2.如图，经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？分析：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的直线上? 因为这两点A、B在要作的圆上，所以它们到这个圆的圆心的距离要，并且都等于这个圆的，因此要作过这两点的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心，而这样的点应在这两点连线的上，而半径即为这条直线上的到点A或点B的距离。A．．B （图2）

（全国通用版）沪科版总结：经过两点能作_________个圆，这些圆的圆心在________________。 3.如图，作圆，使它经过已知点A、B、C，（A、B、C 三点不在同一条直线上），你能经过这三点作一个圆吗？假设经过A、B、C三点的⊙O存在（1）圆心O到A、B、C三点距离_______（填“相等”或”不相等”）。（2）连结AB、BC，过O点分别作直线MN⊥AB，EF⊥BC，则MN是AB的_______ ；EF是BC的_______。（3）AB、BC的中垂线的交点O到A、B、C的距离_______ 。所以，所要作的圆的圆心O即为_______ 和_______的交点，半径为点O 到的距离。总结：不在同一直线上的三点只能作________个圆。即：不在同一直线上的三个点______________。三、画一画：（自主完成）已知：不在同一直线上的三点A、B、C,求作：⊙O使它经过点A、B、C。思考：经过三点一定能够作圆吗? 经过如下在同一直线上的三点能不能作圆?为什么? 通过以上探究过程，总结自己发现的结论：四、课堂自主归纳：观察这个圆与的顶点的关系，得出：．A ．B ．C （图3）

圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质一本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。二重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算三知识框架圆的定义确定一个圆不在同一直线上的三点点与圆的位置关系圆的性质圆周角定理及其推论垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性四概念解析 1、圆的定义，有两种方式：错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径；错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、与圆有关的概念：错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示线段AB ，BC ，AC 都是弦；错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦；错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ；错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成

两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆；错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧；错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆；错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形；错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、圆的有关性质 ①圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等；错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。五例题讲解例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O

人教版初三数学圆的基本性质和函数综合

圆的基本性质和函数综合圆部分：姓名【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．变：1.已知⊙O 的弦 AB 所对的圆心角等于140O ，则弦AB 所对的圆周角的度数为__________. 2.已知⊙O 是?ABC 的外接圆，OD ⊥BC 且交BC 于点D ，∠BOC=40O ，则∠ 3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AB=2，CO ⊥AB, 在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数= 。 4.点p 到⊙O 的最大距离为6cm ，最小距离为2cm ，则⊙O 的半径.= 5.⊙O 的半径为5，已知平面上一点P 到圆周上的点的最短距离为3 6.已知半径为5cm 的⊙O 内有两条平行弦AB 、CD ，且AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 、CD 间的距离为= . 【例2】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ． 1．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．求线段OA 、OB 的长； 2. 如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 过点D 、H ，且DH ⊥x 轴，DH=8．（1）求点H 的坐标； (2)如图，点A 为⊙O 和x 轴负半轴的交点，P 为弧AH 上任意一点，连接PD 、PH ， AM ⊥PH 交HP 的延长线于M ，求 PM PH PD -的值； ⌒

3．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为． 4.如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为．函数部分：中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋m －2的图象与x 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2．（1）若x 1x 2＜0，且m 为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x 1＜1，x 2＞1，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使得过A 、B 两点的圆与y 轴相切于点C （0，2），若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；题型二、抛物线与x 轴两交点之间的距离问题例2 已知二次函数y= x 2 +mx+m-5，（1）求证：不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点；（2）求当m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短．题型三、抛物线方程的整数解问题例1．已知抛物线()2212m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m ＜5，则整数m 的值为_____________ 例2．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋4m －8．（1）当x ≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（2）以抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正AMN ?（M ，N 两点在拋物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m 的最小值．

2021年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第 8讲圆的基本性质

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人教版九年级数学上册圆的基本性质练习题一.doc

初中数学试卷鼎尚图文**整理制作圆的基本性质知识点（一）知识点一: 圆的定义第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。注：弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,；即：∵AOB ∠=∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、所对的___相等, 所对的________也相等；。推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的________相等、所对的_____相等,所对的_____也分别相等。 3. 圆周角与圆心角的关系（1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，都等于这条弧所对的圆心角的_________；即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴_________________ （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90度的圆周角所对的弦是_______,弧是________；即：在⊙O 中, ∵ AB 是直径 ∴_________ , 或∵90C ∠=? ∴___________ B A B A

上海市金山区山阳镇九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.1圆的基本性质导学案新版沪科版

上海市金山区山阳镇九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.1 圆的基本性质导学案新版沪科版 24.2.1圆的基本性质【学习目标】 1．圆的定义、点与圆的位置关系及相关概念． 2. 经历探索圆的定义及相关概念的过程，进一步体会理解研究几何图形的各种方法． 3．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． 4. 培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【学习重难点】重点：圆的轴对称性，及相关概念。难点：圆的相关概念的理解。【课前预习】 1．圆的半径为r ，直径为R ，则半径与直径的关系为R ＝2r . 2．圆的半径为r ，直径为R ，则圆的周长为2πr ＝πR ，面积为πr 2＝14πR 2. 3．在平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，则另一个端点P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径． 4．圆可以被看成：平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r )的所有点组成的图形． 5．平面上一点P 与⊙O(半径为r )的位置关系有以下三种情况： (1)点P 在⊙O 上?OP ＝r ； (2)点P 在⊙O 内?OP ＜r ； (3)点P 在⊙O 外?OP ＞r . 6．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 7．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 8．同圆中：(1)半径相等；(2)直径等于半径的2倍． 9．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 10．由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形． 11．能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等． 12．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．【课堂探究】

数学人教版九年级上册圆的基本性质复习课教案

圆的基本性质复习课教案学习目标： 1．进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2．进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理. 3．通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。学习重点：圆的对称性、垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论。学习难点：相关性质的应用学习过程：一基础过关 1、圆的对称性（1）、圆是______图形,圆的对称轴是______________,它有_____条对称轴. （2）、圆是___________图形，它的对称中心是________. （3）、圆具有_____________. 垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径弦，并且平分弦所对的两条弧．中考链接（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=_______ 变式训练：一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（） A.16 B.10 C.8 D.4 3、圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等． (2)推论：同圆或等圆中,两个_____、两条___、两条___中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等. 4、圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是．中考链接： 1、（2015湖南娄底）如图4，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度. 2、（2016湖南娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（） A．20° B．40° C．50° D．70° 二典例精析例1、如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证： CD=BD （学生以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等分组交流，派学生代表汇报成果。）

【重点梳理】-初三数学-圆的基本概念和性质(1)

作业帮一课初中独家资料之【初三数学】 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 每周六 10 点，【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料，等你来抢~~~ 核心知识点二：与圆有关的概念 1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦. 2.弧

新人教版九年级数学上册第24章：圆的复习学案1(无答案)

新人教版九年级数学上册圆复习导学案1 学习目标：1.掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、切线的性质与判定以及与圆有关的计算。2.会用圆的知识解决问题重点、难点：综合应用圆的知识解决问题知识梳理 (一)与圆有关的性质 1.垂径定理及推论垂径定理：推理形式：推论： 2.圆心角、弧、弦之间的关系圆心角的定义：顶点在的角叫做圆心角。定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量，它们所对应的其余各组量也分别。推理形式：在⊙O 中，∵AOB A OB ∠=∠'', ∴AB ______A B '',AB ______A B ''. 3.圆周角定理及推论圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角圆周角定理：一条弧。推论：(1)同弧或等弧。 (2)半圆（或直径）所对， 90°的圆周角所对的弦。推理形式：。 (3)圆内接四边形的性质：。（二）与圆有关的位置关系 1．（1）点与圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有 ①点P 在圆内?d r ；②点P 在圆上?d r ； ③点P 在圆外?d r ．（2）直线和圆的位置关系（在图中画出）设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心的距离OP=d ，则有 ①直线与圆相交?d r ； ②直线与圆相切?d r ；③直线与圆 ?d r ． A B M O C A′ B′o A B O o B c

L 2.三角形的外接圆与内切圆 (1)作出△ABC 的外接圆和△DEF 的内切圆叫三角形的外心,它是三角形的交点，它到三角形的距离相等；叫三角形的内心它是三角形的交点；它到三角形的距离相等. 3.切线的判定与性质（1）切线的判定定理：。 ①如图，已知直线l 经过⊙O 上点A ，如何证直线l 是⊙O 的切线 ②如图，若没有指明直线l 经过⊙O 上一点，如何证直线l 是⊙O 的切线 (2)切线的性质定理：。推理形式：。（3）切线长定义：切线长定理：。推理形式：。三、与圆有关的计算 1.正多边形和圆我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的。正n 边形的中心角等于度. 设正多边形的半径为R,边长为a ，边心距为r,三者的关系：，正n 边形的周长L= ，面积S= 2.弧长与扇形面积计算设⊙O 的半径为R ，圆心角为n °，则弧长公式： l = 扇形面积公式：S 扇形= = 3.圆锥：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，圆锥侧面展开图扇形的圆周角为n °，则有：（1）l 、r 、h 之间的关系：（2）圆锥的侧面积s= （3）圆锥的全面积s= L A B P O B C O B O A

人教版九年级上册圆的基本性质练习题一

圆的基本性质知识点（一）知识点一: 圆的定义第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。注：弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,；即：∵AOB =∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、所对的___相等, 所对的________也相等；。 B A

【人教部编版】2021年中考数学专题《圆的基本性质和圆的有关位置关系》(含解析)

【人教版】中考数学精选真题专题1 圆的基本性质和圆的有关位置关系学校：___________姓名：___________班级：___________ 1.【辽宁阜新中考数学试卷】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C．【解析】考点：圆周角定理． 2．【湖北襄阳中考数学试卷】点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 【答案】C．【解析】试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．

考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论． 3.【浙江省杭州市中考模拟】如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（） A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B. 【解析】考点：圆周角定理． 4.【湖南省邵阳市中考二模】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，EA是⊙O的切线．若∠EAC=120°，则∠ABC的度数是（） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】C.

【解析】试题解析：∵EA是⊙O的切线，AD是⊙O的直径， ∴∠EAD=90°， ∵∠EAC=120°， ∴∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ADC=180°-∠A CD-∠DAC=60°， ∴∠ABC=∠ADC=60°（圆周角定理），故选：C．考点：切线的性质． 5.【辽宁沈阳中考数学试题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm 为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．【答案】6．【解析】考点：切线的判定． 6.【黑龙江牡丹江中考数学试题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．

圆基本概念和性质

_O _A 图1 C D 北辰教育学科教师辅导学案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型 T 圆的基本概念 C 圆的基本概念 T 圆的对称性授课日期及时段年月日 00:00--00:00 教学内容 —————圆的基本概念知识结构一、圆的基本概念： 1、圆的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。如图，把线段OA 绕着端点O 在平面内旋转1周，端点A 运动所形成的图形叫做圆.其中，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.记作⊙O ，读作“圆O ”. 2、 2、圆的半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。 3、圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。 4、点与圆的位置关系：点P 与圆心的距离为d ，半径为r,则点在直线外?r d >；点在直线上?r d =；点在直线内?r d <。注意：这里是等价关系，即由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边。二、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 1、弦：连接圆上任意两点的线段，如图1上弦AB ；直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦；从圆心到弦的距离叫做弦心距。 2、直径：经过圆心的弦，如图1上弦CD 。 3、圆心角：顶点在圆心的角，如图2上：∠AOB 。 4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，如图3上：∠BAC 。 3、 5、同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。图2

4、 6、等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。 5、 7、等弧：能够互相重合的弧。同圆或等圆的半径相等。注意：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 8、圆的任意一条直径的两个端点吧圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。题型1： 1、概念辨析：判断下列说法是否正确？（1）直径是弦；（ √ ）（2）弦是直径；（ × ）（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ √ ）（4）半径相等的两个半圆是等弧；（ √ ）（5）长度相等的两条弧是等弧；（ × ）（6）半圆是弧；（ √ ）（7）弧是半圆．（ × ） 2、如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心， AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 2、如图，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE ．（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形（1）连结oc ，交de 于m ， ∵四边形odce 是矩形 ∴om ＝cm ，em ＝dm 又∵dg=he ∴em －eh ＝dm －dg ，即hm ＝gm ∴四边形ogch 是平行四边形 3、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过CO 的中点D 作DE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接EO ，则∠EOC 的度数为_____度．答案：60 通过半径相等，把条件转化到Rt△ODE 中，OD=OE ，利用特殊直角三角形的性质求解解：∵OD= OC= OE ，OC⊥AB，DE∥AB， ∴在Rt△ODE 中，∠E=30°， ∴∠EOC=90°-30°=60° 图3

201x版九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.3圆的基本性质导学案新版沪科版

2019版九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.3圆的基本性质导学案新版沪科版【学习目标】 1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念； 2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并学会运用这些关系解决有关问题； 3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．【学习重难点】重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理的推论；难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．【课前预习】 1．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )． A．8 B．2 C．10 D．5 答案：D 2．圆是旋转对称图形，对称中心为圆心． 3．顶点在圆心的角叫做圆心角． 4．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． 5．定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都相等．这个定理可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等?弧相等?弦相等?弦心距相等．【课堂探究】 1．弧与它所对的圆心角之间的关系【例1】如图(1)，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于D，求AD的度数．

分析：要求AD的度数，根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出∠DCA 的度数．解：连接CD，如图(2)． ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°. ∵CD＝CA， ∴∠CDA＝65°. ∴∠DCA＝180°－65°×2＝50°. ∴AD的度数为50°. 点拨：在同圆或等圆中，解决有关弦、弧、圆心角的问题时，常常用到此三组量之间的对应关系． 2．弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理【例2】如图(1)，M、N分别为⊙O的非直径弦AB、CD的中点，AB＝CD.求证：∠AMN ＝∠CNM. 分析：利用弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理．因为M、N分别是AB、CD的中点，连接OM、ON，则有OM⊥AB，ON⊥CD，OM＝ON，故易得结论．证明：连接OM、ON，如图(2)． ∵M、N分别是⊙O的非直径弦AB、CD的中点， ∴OM⊥A B，ON⊥CD. 由AB＝CD，得OM＝ON.

初三数学圆的基本概念和性质知识点、

B C 鸣人教育学科教师讲义【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念，知道圆的对称性，了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。【知识梳理】 1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性： (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径：经过圆心的弦叫直径。注：圆中有无数条直径 5.圆弧： (1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ,读作“弧AB ”.

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: （1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角； 9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半；（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。【经典例题】【例1】下列判断中正确的是（） A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【例2】如果两条弦相等，那么（） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对【例3】如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠ E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______．【例4】（08山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图