湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)试题答案

高三理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.

3117 14.F+V －E=2 15.(,1]-∞

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、解：（1）∵ 2

2

2

2cos 4c a b ab C =+-= ∴ 2c = 故ABC ?的周长为5. ……………………………………………………………………………… 6分

（2） ∵1

c o s 4

C =

且C 为ABC ?的内角 ∴ sin C =

由正弦定理

sin sin a c A C =得sin A = ∴ 7

c o s 8

A =

∴11

cos()cos cos sin sin 16

A C A C A C -=+=…………………………………………………………………………12分 18、解：(1）依题知2

1()2

n n n S a a =+ ……………………………………………………………………………………………………① ∴ 2

1111()2

a a a =

+， 又0n a > ∴11a = 21111

(a a ),n 2

2

n n n S ---=+≥……………………………………………………………………………………………② 由①-②得22

111()2

n n n n n a a a a a --=-+-

∴22

111,0n n n n n a a a a a ---+=-->n 且a ,则11n n a a --=

∴{}n a 是等差数列，∴1(1)1n a n n =+-?=…………………………………………………………………………6分 (2) ∵ 11()()2

2

n

n

n n b a n ==， ∴2311112()3()222n T n =?

++?+???+?n 1（）2

，

∴2

3

4

11111()2()3()22

2

2

n T n =?++?+???+?n+1

1（）

2

，

两式相减得1

2

3

1

1

1111()()()-()

222

2

2

n n T n +=+++???+?n

1（）2

，

∴11()112()2(2)()12212

n

n n n T n n -=

-=-+-.…………………………………………………………………………12分 19．解：（1）证明：在梯形ABCD 中，因为0

//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，所以2AB =，所以22202cos 603AC AB BC AB BC =+-=，

所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE

平面ABCD AC =，

因为BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，

令(

0FM λλ=≤≤

，则(

))

()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C A

B λ，

∴()

()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-， 设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量， 由1100n AB n BM ?=??

=??得0

y x y z λ?+=??-+=??，取1x

=，则

()

11,3,n λ=，

．．．．．．．．．．．7分 ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

∴

1212

cos 1n n n n θ=

==

+

．．．．

．．．．．．．．

．．10分

∵0λ≤≤，∴当0λ=

时，cos θ，当λ=cos θ有最大值1

2

． ∴1cos 2θ?

∈??

．

．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20..解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1＋k 2＝k 3＋k 4＝0，即k 3＝－k 4， ∴l 2垂直于x 轴，得|AB |＝2a ＝23，|CD |＝2b 2a ＝43

3

，

得a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 2

2＝1. --------------------------------------------------------- 4分

(2)焦点F 1，F 2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，

当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)， ------------------------------------------- 5分 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由???

??x 23＋y 2

2＝1，y ＝m 1（x ＋1），

得(2＋3m 21)x 2＋6m 21x ＋3m 2

1－6＝0，

∴x 1＋x 2＝－6m 212＋3m 21，x 1x 2＝3m 21－62＋3m 21

， k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝m 1????x 1＋1x 1＋

x 2＋1x 2＝m 1????2＋x 1＋x 2x 1x 2＝m 1????2－2m 21m 21－2＝－4m 1m 21－2， ------------------ 7分 同理k 3＋k 4＝－4m 2

m 22－2， -------------------------------------------------------------------------------------------- 8分

∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2

m 22－2

，即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0，

由题意知m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0 --------------------------------------------------------------------------------- 9分 设P (x ，y )，则y x ＋1·y x －1＋2＝0，即y 22＋x 2

＝1(x ≠±1)， --------------------------------------------------- 10分

又当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴点P (x ，y )在椭圆y 22

＋x 2

＝1上，

存在点M (0，－1)和点N (0，1)，使得|PM |＋|PN |为定值，定值为2 2. ------------------------------ 12分 21、解（1）

1

0,(),x f x a x

'>=

-………………………………………………………………………1分 ()0,()0+f x f x '>∞若a<0,在（，）上单调递增,

3)0,0(),

ae x f x =->→→-∞3且f(e 时，此时，f(x)存在唯一零点；………………3分1

0,x a

'==1-ax 若a>0,f (x)=

x 1

1

(0,),()

,(,),()

x f x x f x a a

∈∈+∞ m a x

1

()()l n 4f x f a a

∴==-- -4ln 40,a>e a --<当即时，f(x)无零点； -4

当-lna-4=0,即a=e 时，f(x)有一个零点；

-4当-lna-4>0,即0

-4综上：a<0或a=e 时，f(x)有一个零点；-4a>e -40

…………………………………………………

6分

（2）22(

),(2)12

m

x x a x x x x m a x '++-++-3

g()=g ()=3 ()(,3)()(,3)g x a g x a ∴在上有最值，在上不单调，………………………………………………8分

(3)0(0)=10,()0g g g a '>?'-<∴?'

而恒成立。

………………………………………………10分 又119

[1,2],()05,2

a g a m a m a '∈

-?<-由 32(3)032660,3g m a m '>?++>?>-3219

.32

m -<<-故………………………………………………12分

22、解：（1）l 的直角坐标方程为260x y --=

曲线C 的普通方程为22

134

x y +=………………………………………………………………………………………………5分 (2)

设|4sin()6|

,2sin ),P d π

ααα--=则 sin()13d π

α-=-当时，最大

max 3

(,1),2

P d ∴-=10分

23、解：(1) ①1x ≥≤≤当时，解得1x 2 ②1,1x x ≤<≤<当0时解得0 ③00x x <≤<2

当时,解得-

3

-x ∴≤≤2

不等式的解集为{x|2}3

……………………………………………………………………………5分

(2) ①当x a ≥时，f(x)=3x-2a; ②当0x a ≤<时，f(x)=-x+2a; ③当0x <时，f(x)=-3x+2a;

所以f(x)的最小值为a ，∴≥a 4……………………………………………………………………………10分