(完整word版)经济体系中消费与储蓄的决策(二)

经济体系中消费与储蓄的决策（二）

三、用Ramsey模型来构建消费与储蓄的决策

在用Ramsey模型来构建消费与储蓄的决策模型的时候，首先需要对现实世界做一些简化假设，并遵循由简到繁的原则，逐步加入更多的约束条件，从而使构建的模型能够更好的贴近于真实世界，反映出真实世界的运行情况。下面我们设计四种假设情况来构建模型：

一、居民拥有资本，企业不拥有资本（简化社会模型）

我们从最简单最基本的假设开始构建模型：不考虑政府的行为，假设初始状态只有居民拥有资本（居民的资本来自于居民的储蓄），企业不拥有资本。第一期期初，居民拥有劳动和初始的资本，居民租借资本和提供劳动给企业。

企业在获得居民的劳动和资本后形成产出，企业在每期形成产出后支付工资给居民，由于企业不积累资本,因此企业在第一期期末会清算并将全部剩余产出归还给居民。这样，在第一期期末，居民的全部收入为第一期的工资收入和资本回报，同时居民在第一期会进行消费，在第一期期末，居民消费后剩余的部分会成为储蓄，这个储蓄作为初始资本投入到下一期。下一期，居民和企业再次重复上述过程周而复始，假设模型为两期，我们可以做出一个简化的模型示意图：

根据上面的示意图，可以构建居民的消费与储蓄的决策模型以及整体经济的一般均衡情况。

1.居民的消费与储蓄的决策模型：

●设劳动为L，资本为K，工资率为W，资本回报率为R，居民的消费为C。那么居民的工资收入为W×L，

资本回报为K×R，居民的消费与储蓄的关系式为：

第一期：C1+K1≤W1×L+K0×R1+K0(注释：居民在第一期的最大消费量必须小于或等于其在第一期获得的总收入，居民消费后的剩余部分成为储蓄K1同时转化为第二期的初始资本)

第二期：C2≤W2×L+K1×R2+ K1(注释：居民在第二期的最大消费量必须小于或等于其在第二期获得的总收入，同时由于模型在第二期就结束了，因此居民在第二期将不会储蓄，而会将第二期全部的资本K1进行消费)

●居民的消费与储蓄的决策：储蓄是未来的消费，居民的消费与储蓄的决策问题，实际上是一个跨时资源

分配的问题。换句话说，在“今天”消费或是“明天”消费的问题上，居民最终考虑的是“今天”消费和“明天”消费总的效用的最大化。因此，居民总消费效用的函数关系式可写成：U=u(c1)+βu(c2)，其中0<β<1是主观折现因子，它体现的是“人性的不耐”，也就是说“今天”消费的效用将大于“明天”消费的效用，居民消费与储蓄的决策问题就转化为求解居民总消费效用函数U的最大值问题：max U。

●居民总消费效用函数U的最大值求解：居民消费效用最大化maxU=max〔u(c1)+βu(c2)〕，由于C1和C2

的消费与储蓄的关系式已经得出，设定拉格朗日函数为：

L= u(c1)+βu(c2)+λ1（W1×L+K0×R1+K0- K1- C1）+λ2（W2×L+K1×R2+ K1- C2），其中λ1和λ2为辅助求解的拉格朗日乘子，c1、c2、K1为居民可以控制的内生变量，将拉格朗日函数分别对c1、c2、K1求取一阶最优条件，求得：

d L/d c1=0 u’(c1)=λ1

d L/d c2=0 βu’(c2)=λ2

d L/d k1=0 (1+ R2) λ2=λ1

消去拉格朗日乘子可得：u’(c1)= βu’(c2) (1+ R2)

这就是求解出的居民跨期消费效用函数最大化的优化条件，也称为“欧拉方程”，也是居民的消费与储蓄决策模型的数学表达式。

●对居民消费与储蓄决策模型的说明：上述求解出的“欧拉方程”左边的u’(c1)代表了把第一期的消费C1

增加一个单位，居民在第一期获得的总效用增加的幅度。等式右边的βu’(c2) (1+ R2)代表了把这第一期的一个单位产品储蓄起来留到第二期消费，居民在第二期获得的总效用增加的幅度。具体的来说，第一期的一个单位的产品储蓄起来留到第二期将会获得(1+ R2)个单位的产品，而在第二期消费掉这(1+ R2)个单位的产品,第二期总效用会增加βu’(c2) (1+ R2)这么多。当这两种选择相等的时候，也就是说居民无论是在第一期消费这一个单位的产品还是储蓄起来留到第二期消费，两期增加的总效用都相等，在这种情况下，居民将不再需要做出选择，这样就达到了居民消费和储蓄的最优水平。因此“欧拉方程”实际上体现的是居民在现实生活中的一种权衡：是将手中的钱现在花掉好，还是储蓄起来留到以后再花掉更好。而当这两种选择无差异的时候，就达到了居民消费和储蓄的最优水平。

●决定居民消费与储蓄决策的因素：如果把“欧拉方程”稍稍做一个变形u’(c1)/βu’(c2)= (1+ R2)，那么可以

看出居民消费和储蓄决策取决于两个因素：一个是u’(c1)/βu’(c2)——居民在第一期和第二期的边际消费效用比，这是居民对不同时期消费的主观评估，它代表了居民的主观偏好；另一个是储蓄（投资）的回报率R2，它代表了居民所面临的客观外部环境。

●居民消费与储蓄决策模型的结论：居民消费和储蓄的决策，是主观因素与客观因素综合影响的结果。当

居民觉得当前消费的享受比未来消费的享受要大时，他们倾向于当前的消费，例如当通货膨胀上升，真

实利率下降时，居民倾向于当前的消费。当居民觉得储蓄的收益比当前消费的效用要大时，他们倾向于储蓄，例如当提高利率，储蓄的收益上升时，居民倾向于进行储蓄。

2.整体经济的一般均衡：

上面我们已经求解出了居民的消费和储蓄决策模型，根据模型我们知道居民的消费和储蓄决取决于两个因素：一是居民在不同时期对消费的主观偏好——边际消费效用比；二是居民所面临的客观外部环境——储蓄（投资）的回报率R2。这个储蓄（投资）的回报率R2是居民自身所不能决定的，它取决于居民所面临的客观外部环境——整体经济的一般均衡——所谓整体经济的一般均衡就是指经济中整体的消费和储蓄的状况。那么整体经济的一般均衡又是怎样确定的呢？我们知道经济体系中的行为主体是居民、政府、企业，但是政府的收入并不是直接来自于市场的交换，所以假设先不考虑政府，只考虑市场中居民和企业的行为，上面已经构建出了居民的消费和储蓄决策模型，因此只要再考察经济中企业的行为，就可以确定出整体经济的一般均衡所成立的条件。

●同样设劳动为L，资本为K，工资率为W，资本回报率为R，居民的消费为C。由于第一期期初的资本投

入是在当期之前就已经确定的，所以称为“前定变量”记为K0，同样第二期期初的资本投入记为K1。而居民在第一期期末的消费是在当期确定的，所以称为“控制变量”记为C1,同样居民在第二期期末的消费记为C2。工资率W也是在当前由市场确定的，因此一期的工资率记为W1, 二期的工资率记为W2。同样一期的资本回报率记为R1, 二期的储蓄回报率记为R2。假设居民每期都无弹性的提供所有的劳动，也就是说充分就业情况，那么假设居民每期都无弹性的提供所有的劳动，也就是说充分就业情况，那么每期的劳动就为L。我们可以把模型示意图的内容用字母来表示：

●企业的行为分析：按最简化社会模型的假设，企业不积累资本，企业也不持续存在，每期结束后企业将

全部清算，然后在第二期重新开始。因此，在每期期初，企业向居民租用资本K，并购买劳动L组织生产。

在得到产出后，企业向居民提供资本的回报K*R和劳动的回报W*L，然后再清算。由于假定企业的生产技术规模报酬不变，又由于企业不积累资本，因此企业的产出将完全被资本和劳动所瓜分，企业不产生利润，企业的所有权问题也暂不考虑，可以建立企业产出和分配的模型。

●企业产出的函数表达式：根据柯布-道格拉斯生产函数，企业第一期的产出增值Y1=AF(K0,L), 企业第二

期的产出增值Y2=AF(K1,L)，因此企业任一期的产出增值为：Y t=AF(K t-1,L)。

●企业分配的表达式：企业第一期支付工资= W1*L，资本回报=K0* R1；企业第二期支付工资= W2*L，资本

回报=K1* R2，因此企业任一期的分配为：W t*L+R t* K t-1。

●企业的最优化目标：企业的目标是利润，企业的最优化目标就是利润的最大化。企业利润=产出增值-分

配，因此企业利润的表达式为：利润P t= AF(K t-1,L)- W t*L-R t* K t-1。企业的最优化问题就是求上式的最大值MAX〔AF(K t-1,L)- W t*L-R t* K t-1〕,由于K t-1和L是企业可选择的内生变量，而R t和W t是企业所面临的客观环境，企业无法选择，因此对K t-1和L分别求取一阶最优条件，求得：

1)d P t/d K t-1= 0d AF(K t-1,L)/ d K t-1= R t（注释：前一个式子的意思是当每增加一单位的资本

K t-1，企业利润P t的增加为0时，企业的利润达到最大，企业达到了最优。后一个式子是由前一个

式子推导而来，当企业达到最优时，企业租用资本的边际回报率刚好等于外部的资本回报率，这就是企业对资本投入的最优化条件）

2)d P t/d L= 0d AF(K t-1,L)/ d L= W t（注释：前一个式子的意思是当每增加一单位的劳动L，

企业利润P t增加为0时，企业的利润达到最大，企业达到了最优。后一个式子是由前一个式子推导而来，当企业达到最优时，企业雇佣劳动的边际回报率刚好等于外部的工资率，这就是企业对劳动投入的最优化条件）

●整体经济的一般均衡：上面我们已经求得了居民消费与储蓄的最优化条件，又求得了企业的最优化条件，

那么居民与企业什么时候会同时达到最优化状态？这个最优化状态就是整体经济的一般均衡。对居民而言，居民提供劳动与资本给企业；对企业而言，企业租用居民的资本和雇佣居民的劳动组织生产。但是居民提供的资本和劳动的数量并不一定恰好是企业所需要的资本和劳动的数量，只有当居民提供的资本和劳动的数量刚好是企业所需要的资本和劳动的数量，并且居民和企业同时达到最优时，居民不会再提供更多的资本和劳动给企业，而企业也不需要居民的更多的资本和劳动，因为居民和企业都达到了其效用的最优化，会努力保持这个最优的状态，这时整体经济就达的了一般均衡。用数学式表示为：

L1(企业)= L2(企业)=L（居民）

K0(企业)= K0(居民)

K1(企业)= K1(居民)

将其代入企业最优化条件d AF(K t-1,L)/ d K t-1= R t和d AF(K t-1,L)/ d L= W t 可得

d AF(K0,L)/ d K0=R1

d AF(K1,L)/ d K1=R2

d AF(K0,L)/ d L= W1

d AF(K1,L)/ d L= W2

再将企业最优化条件代入居民最优化条件u’(c1)= βu’(c2) (1+ R2) 可得

u’(c1)= βu’(c2)〔1+ d AF(K1,L)/ d K1〕u’(c1)/βu’(c2)= 1+ d AF(K1,L)/ d K1

至此，模型求解完毕，上式即为整体经济的一般均衡模型。

●影响整体经济一般均衡的因素：从上面后式可以看出，整体经济的一般均衡不光取决于居民对不同时期

消费的主观评估——跨期边际消费效用比u’(c1)/βu’(c2)，还取决于企业的效率——资本边际回报率

d AF(K1,L)/ d K1，因此经济中企业的产出效率构成了达到整体经济一般均衡的客观外部条件。

●整体经济的一般均衡模型结论：从居民的最优化和企业的最优化我们得到了整体经济的最优化模型，这

个模型告诉了我们经济中最优消费、最优储蓄同时也是最优投资的决定机制，因此也就给了我们一个衡量现实世界的比较的基准。这个基准告诉我们，一个最优的经济不仅要达到居民效用也就是居民的福利的最优，而且要让经济中的企业的效率达到最优，只有当两者的目标整体都达到和谐统一时，整体经济才能达到一般均衡的状态。

●简化社会模型的问题：1.在模型的前提假设中，我们用的是最简单最基本的假设，但是现实世界的情况远

远复杂的多。在现实世界中，不光居民储蓄资本，企业也会大量积累资本；不光居民做消费与储蓄的决策，企业也会做大量的投资，而且是投资的主要决策者，这对于整体经济的一般均衡有什么影响？2. 整体经济的一般均衡模型给出了一个基准，但这个基准在现实世界中如何测量，又是怎样来分析现实世界？后续的文章我们将进一步深入分析这些问题。

谭杰

2017-09-20