高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章解三角形

1、正弦定理：

在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有：

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 2、正弦定理的变形公式：

①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c

C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④

sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想

画出图：法一：把a 扰着C

当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况：当ab 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：

111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ?AB =A ==B ．

4、余弦定理：

在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

5、余弦定理的推论：

222

cos 2b c a bc +-A =，

222

cos 2a c b ac +-B =，

222

cos 2a b c C ab

+-=．

(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：

设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B,

并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,

∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

练习题

一、选择题

1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（ B ）

A．3

10+B．

()1

10-C．1

3+D．3

2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760

x x

--=的根，则三角形的另一边长为

A．52 B．

C．16 D．4

3、在△ABC中，若)

(

)

)(

+，则A

∠=（ C ）

90 B0

60 C0

120 D0

150

4 、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ）

A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于( A )

A．1∶2∶3B．2∶3∶1

C． 1：3：2 D．3：1：2

6、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ）

A ． 5

B ．6

C ．7

D ．8 二、填空题（每题5分,共25分）

7、在ABC ?中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________ 8、在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则

sin sin sin a b c

A B C

++++=

9、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2

=AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72

c =，且60C ?=，

又ABC △a b +=________________

三．解答题（2小题，共40分）

13、在

?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13

.（I ）求sinA 的值； (II)设求?ABC 的面积.

知识点巩固练习（一）

一、选择题

1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-

2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．

tan 1

3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高及底边的夹角为060，则底边长为（）A ．2 B ．

C ．3

D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）

A ．006030或

B ．006045或

C ．0060120或

D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角及最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题

1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则

C =_____________。

三、解答题

1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？

2．在△ABC 中，求证：)cos cos (

b B

c a b b a -=-

3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

知识点巩固练习（二）

一、选择题

1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）

A ．1:2:3

B ．3:2:1

C ．2

D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2

4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．不能确定

D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．0150 6．在△ABC 中，若14

cos ,8,7=

==C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51- B ．61- C ．71- D ．8

二、填空题

1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ?∠===则

B A c

b a sin sin sin ++++=_______。

2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。 3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。 4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。 5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则,2

6,2,3_________。三、解答题

1．在△ABC 中，0120,,ABC

A c b a S

=>=，求c b ,。

2．在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >??C B A 。

3．在△ABC 中，求证：2

cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。

4．在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：

1=+++c

a b c b a 。

5．在△ABC 中，若2

23cos cos 222