专题21 解三角形(知识梳理)(新高考地区专用)(原卷版)

专题21 解三角形（知识梳理）

一、知识点

1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===。 (其中R 为ABC ?的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式：①A R a sin 2?=，B R b sin 2?=，C R c sin 2?=；

②R a A 2sin =，R b B 2sin =，R

c C 2sin =； ③C B A c b a sin :sin :sin ::=；

④C

c B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++； 2、三角形面积定理：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21?=?=?=

?； r c b a S ABC )(2

121++=?=?高底； (其中r 为ABC ?的内切圆的半径) 3、余弦定理：A bc c b a cos 22

22?-+=?bc a c b A 2cos 2

22-+=； B ac c a b cos 22

22?-+=?ac b c a B 2cos 2

22-+=； C ab b a c cos 22

22?-+=?ab c b a C 2cos 2

22-+=； 4、射影定理：B c C b a cos cos ?+?=，A c C a b cos cos ?+?=，A b B a c cos cos ?+?=

5、设a 、b 、c 是ABC ?的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ；

②若222c b a >+，则 90

③若222c b a <+，则 90>C 。

6、三角形解的个数的讨论

A ∠为锐角 A ∠为钝角或直角 b a A b < b a ≤

两解

一解 无解 一解 无解

处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度(几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解。

(1)三角形中的边角关系

①三角形内角和等于 180；

②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

③三角形中大边对大角，小边对小角；

(2)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知条件 应用定理 一般方法 解的情况

一边和两角 正弦定理 由π=++C B A 求第三角，由正弦定理求其它两边 一解

两边和夹角 余弦定理或 正弦定理 由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，由π=++C B A 求第三角

一解 三边 余弦定理

由余弦定理求两角，由π=++C B A 求第三角 一解

两边和其中 一边的对角 正弦定理或 余弦定理 ①由正弦定理求另一边的对角，由π=++C B A 求第三角，利用正弦定理求第三边 ②由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二次方程的解求c ，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素

两解 一解 或无解 常用方法是：①化边为角；②化角为边.

8、三角形中的三角变换

(1)角的变换

在ABC ?中，π=++C B A ，

则C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+； 2cos 2sin C B A =+，2

sin 2cos C B A =+； (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

面积公式：))()((sin 2

121c p b p a p p p r C ab ah S a ---=?=?==， 其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半；

(3)在ABC ?中，熟记并会证明：

①A ∠、B ∠、C ∠成等差数列的充分必要条件是 60=∠B ；

②ABC ?是正三角形的充分必要条件是A ∠、B ∠、C ∠成等差数列且a 、b 、c 成等比数列。

9、解答三角高考题的策略：

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解。

二、例题分析

1、三角形形状和解的个数的判断

例1-1．在ABC ?中，若18=a ，24=b ， 45=A ，则符合条件的三角形的个数为( )。

A 、0

B 、1

C 、2

D 、不确定

例1-2．若c

C b B a A cos cos sin ==，则ABC ?的形状为( )。 A 、等边三角形 B 、等腰直角三角形

C 、有一个角为 30的直角三角形

D 、顶角为 30的等腰三角形

例1-3．已知ABC ?的内角A 、B 、C 成等差数列，且A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列命题中正确的有 。(把所有正确的命题序号都填上) ①3

π=B ； ②若a 、b 、c 成等比数列，则ABC ?为等边三角形；

③若c a 2=，则ABC ?为锐角三角形； ④若CB CA BC BA AC AB AB ?+?+?=2，则C A =3； ⑤若03tan tan >++C A ，则ABC ?为钝角三角形。

2、正弦定理的应用

例2-1．设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A a B c C b sin cos cos ?=?+?，则ABC ?的形状为( )。

A 、锐角三角形

B 、直角三角形

C 、钝角三角形

D 、不确定

例2-2．在ABC ?中，4π=

∠ABC ，2=AB ，3=BC ，=∠BAC sin ( )。 A 、1010 B 、510 C 、10

103 D 、55 例2-3．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B a b sin 2?=，则角A 的大小为 。

3、余弦定理的应用

例3-1．在ABC ?中，3=a ，1=b ，2=c ，则=A ( )。 A 、 30 B 、 45 C 、 60 D 、 75

例3-2．设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且a c 2=，则=B cos ( )。

A 、41

B 、42

C 、4

3 D 、32 例3-3．已知在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ?的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，则=C tan ( )。

A 、34-

B 、43-

C 、43

D 、3

4 4、解三角形实际应用

例4-1．如图，一条河的两岸平行，河的宽度6.0=d km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B 。已知1=AB km ，水流速度为2h km ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6min ，则客船在静水中的速度大小为( )。

A 、8h km

B 、26h km

C 、342h km

D 、10h km

例4-2．如图，港口A 在港口O 正东的120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东 60的方向上，且在港口A 的北偏西 30的方向上。一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东 30的OD 方向以20海里/小时的速度驶离港口O 。一艘给养快艇从港口A 沿AB 方向以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛装运补给物资后以相同的速度送往科学考察船。已知两船同时出发，补给物资装船时间为1小时。给养快艇驶离港口A 后，能和科学考察船相遇的最少时间为 。

例4-3．某同学骑电动车以24h km 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东 30方向上，15min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东 75方向上，则点B 与电视塔的距离是 。

5、解三角形大题

例5-1．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且1)1tan (tan cos cos 2=-???C A C A 。

(1)求B 的大小；

(2)若233=

+c a ，3=b ，求ABC ?的面积。

例5-2．如图，ABC ?中，332sin

=∠ABC ，2=AB ，点D 在线段AC 上，且DC AD 2=，3

34=BD 。 (1)求BC 的长；

(2)求DBC ?的面积。

例5-3．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且A c b C a cos )32(cos 3?-=?。

(1)求角A 的大小；

(2)求2

sin 2)25cos(2C B --π的取值范围