高中数学人教A版必修五 第二章 数列 13

学业分层测评（十三）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．等比数列{a n}的公比q＝－1

4，a1＝2，则数列{a n}是()

A．递增数列B．递减数列C．常数数列D．摆动数列

【解析】因为等比数列{a n}的公比为q＝－1

4，a1＝2，故a2<0，a3>0，…

所以数列{a n}是摆动数列．

【答案】 D

2．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是() A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9成等比数列

【解析】设等比数列的公比为q，因为a6

a3＝

a9

a6＝q

3，即a26＝a3a9，所以a3，

a6，a9成等比数列．故选D.

【答案】 D

3．在等比数列{a n}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值为() A．48B．72C．144D．192

【解析】∵a6a7a8

a3a4a5＝q

9＝8(q为公比)，

∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.

【答案】 D

4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是()

A．3 B．27

C．3或27 D．15或27

【解析】 设此三数为3，a ，b ，则???

2a ＝3＋b ，

(a －6)2＝3b ，

解得??? a ＝3，b ＝3或???

a ＝15，

b ＝27.所以这个未知数为3或27.

【答案】 C

5．已知等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，1

2a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5等

于( )

A.5＋12

B.

5－12

C.

1－5

2

D ．

5＋12或5－1

2

【解析】 由题意，得a 3＝a 1＋a 2，即a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∴q 2＝1＋q ，解得q ＝1±5

2.

又∵{a n }各项均为正数，∴q >0，即q ＝1＋5

2.

∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3a 1q 3＋a 1q 4＝1q ＝

5－12. 【答案】 B 二、填空题

6．(2015·青岛高二检测)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于 ．

【解析】 因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，

所以a 3a 8＝213，又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29＝512. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2.所以a 7＝a 8

q ＝256. 【答案】 256

7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为 ．

【解析】 ∵x 2＝2

4，∴x ＝1.

∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3. ∴y ＝5·? ????123，z ＝6·? ??

??124

. ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·? ????123＋6·? ????124＝32

16＝2. 【答案】 2

8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是 ．

【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均

增长率只需利用a 12

a 1

＝m ，所以月平均增长率为11

m －1.

【答案】 11

m －1

三、解答题

9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比. 【导学号：05920071】

【解】 设该数列的公比为q . 由已知，得???

a 1q －a 1＝2，

4a 1q ＝3a 1＋a 1

q 2

， 所以??? a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得???

a 1＝1，

q ＝3.(q ＝1舍去) 故首项a 1＝1，公比q ＝3.

10．(2015·福建高考改编)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值．

【解】 不妨设a >b ，由题意得???

a ＋

b ＝p >0，

ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成

等比数列，a ，b ，－2成等差数列，

∴??? ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴?

??

a ＝4，

b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. [能力提升]

1．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( ) A ．±2 B ．±4 C ．2

D ．4

【解析】 ∵T 13＝4T 9.

∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9. ∴a 10a 11a 12a 13＝4.

又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15， ∴(a 8·a 15)2＝4.∴a 8a 15＝±2.

又∵{a n }为递减数列，∴q >0.∴a 8a 15＝2. 【答案】 C

2．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )

A ．16

B ．14

C ．4

D ．49 【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，

∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16. 【答案】 A

3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝ .

【解析】 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0.

又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81.

∴q＝

36

－24

＝－

3

2，

∴6q＝－9.

【答案】－9

4．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，ak n，…成等比数列，求数列{k n}的通项k n.

【解】依题设得a n＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，

∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，

∵d≠0，∴d＝a1，得a n＝nd.

∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，k n d，…是等比数列．

又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，k n，…也是等比数列，首项为1，公比为q

＝3

1＝3，由此得k1＝9.

等比数列{k n}的首项k1＝9，公比q＝3，

∴k n＝9×q n－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{k n}的通项为k n＝3n＋1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？

自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？

01学习内容的自主性

1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理

13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略

21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性

39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。05学习结果的评价与强化

46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制

55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。