平面向量的线性运算及几何意义

65平面向量的线性运算及几何意义

1.(2015河北石家庄二检,文15,平面向量的线性运算及几何意义,填空题)已知△ABC中,AB=3,AC=,点G是△ABC的重心,=.

解析:利用向量的运算法则求解.

延长AG交BC于点D,则D为BC的中点,

)·()=(||2-||2)=-=-2.

答案:-2

66向量共线定理及应用

2.(2015甘肃兰州实战,文13,向量共线定理及应用,填空题)已知向量a=(x2-1,2+x),b=(x,1),若a∥b,则x=.

解析:依题意得(x2-1)×1-x(2+x)=0,解得x=-.

答案:-

67平面向量的坐标运算

1.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文11,平面向量的坐标运算,选择题)A,B是半径为2的圆O 上的两点,M是弦AB上的动点,若△AOB为直角三角形,则的最小值是()

A.-1

B.-

C.0

D.2

解析:由题意知OA⊥OB,不妨分别以OA,OB为x,y轴建立直角坐标系,

则A(2,0),B(0,2).

因为M在线段x+y=2(0≤x≤2)上运动,所以可设M(x,2-x),=(x,2-x),=(x-2,2-x),

=x(x-2)+(2-x)(2-x)=2x2-6x+4,

当x=时,()min=-,故选B.

答案:B

2.(2015东北三省三校二联,文3,平面向量的坐标运算,选择题)向量a=(2,-9),向量b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为()

A.-

B.-

C.-

D.-

解析:依题意得a-b=(5,-12),

因此与a-b同向的单位向量为-

-,故选A.

答案:A

3.(2015河南郑州第三次质量检测,文4,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b垂直,则|a|=()

A. B. C.2 D.4

解析:由题意得2a-b=(3,x),(2a-b)·b=0,

所以-3+x2=0,x2=3,|a|=2,故选C.

答案:C

4.(2015河南洛阳3月统一考试,文10,平面向量的坐标运算,选择题)已知P是△ABC所在平面内一点,若,则△PBC与△ABC的面积的比为()

A. B. C. D.

解析:以点B为坐标原点,BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,

设A(x A,y A),C(x C,0),P(x P,y P),

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点一.平面向量的有关概念１．向量：既有大小，又有方向的量．２．数量：只有大小，没有方向的量．３．有向线段的三要素：起点、方向、长度．４．零向量：长度为0的向量．５．单位向量：长度等于1个单位的向量．６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上７．相等向量：长度相等且方向相同的向量．８．相反向量：长度相等且方向相反的向量二．向量的表示法１．字母表示法：如：a ，AB 等２．几何表示法：用一条有向线段表示向量３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ）三．向量的运算１．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．４．向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线．四．跟踪训练１．=++++（） A ． B ．0 C ． D ．２．给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算一．【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。预测2010年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。二、向量的线性运算 1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

平面向量易错题解析汇报

平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1）在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推出→ →=0b . （2）已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3）在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

平面向量数乘运算及其意义试题

…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义班级姓名学号年级学科一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数与量a 的积记为，它仍表示向量，它的长度是；它的方向

是． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律：（1）；（2）；（3）． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点：相同点；不同点．二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是（） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =u u u r ，BA b =u u u r ，则 EF u u u r = （） A ．1()2 a b + B ．1()2 a b -+ C ．1()2 a b -- D ．1()2 b a - 3 ．若 a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （） A ．a B ．b C ．c D ．以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），

则AP u u u r = （） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B ．().AB B C λλ+∈u u u r u u u r C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ． ().(0,2 AB BC λλ-∈u u u r u u u r 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算：（1）3(53)2(6)--+a b a b =__________；（2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．

(完整版)平面向量的线性运算测试题

平面向量的线性运算一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜二、填空题

平面向量的线性运算随堂练习(答案)

§平面向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义．经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点，求证：0EA FB DC ++=．当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则（） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是（） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （） A ．a B ．b C ．c D ．以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。

高中数学经典解题技巧和方法：平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 5. 向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的

平面向量的概念教案

1 平面向量基本概念教学目标 1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性. 2.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量. 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点. 教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 教学难点：向量的含义. 教学过程（一）情境创设 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果原因 2.如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫由B 向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？结果原因思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？这些量的共同特征是什么？（二）概念形成观察：如图2中的三个量有什么区别？ 1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段，记作AB .(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB 为a . 练习. 如图4，小船由A 地向西北方向航行15海里到达 B 地，小船的位移如何表示？（用1cm 表示5海里）（三）理性提升 3.向量的模向量的大小——向量长度称为向量的模. 记作：||. 强调：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

平面向量系列之几何意义法

平面向量系列几何意义法解题一、平面向量的几何意义 ? 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。 ? 首指向尾首尾相连，?+ ? 指向被减向量共起点，?- ? b a b t a b t a ⊥?-=+|||| ? 即矩形形对角线相等的平行四边，?-=+|||| ? 即菱形四边形对角线互相垂直的平行，?=-+0))(( 二、例题精析例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知,是非零向量，则下列条件中,夹角等于0 120的是（） A 、||||-=+ B 、 ||||||-== C 、||||||+== D 、 ||2||||=-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为090；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为060；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为060的补角，即为0120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为090。故选C 。例2、（2017，金台区期末改编）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，满足 |,2|||-+=-则ABC ?一定是（） A 、等腰直角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形【解析】：|,2|||-+=-||||||+=-+-=?，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC ?一定是直角三角形，选B 。

平面向量定义及线性运算练习题

平面向量定义及线性运算练习题一．选择题 1、下列说法正确的是（） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA uu u r 的长度相等；（2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r ③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r

平面向量线性运算教案

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高中数学
适用年级
高一
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课时时长（分钟）
2 课时
知识点向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。
教学重点向量的加减法的运算。
教学难点向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。于是 (a) a 。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律设，为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数，使 b a。
三、例题精析类型一平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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平面向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算预习学案主备人：毕永燕审核人：张滨远备课日期：2012-10-3 使用日期：自主学习

加法求两个向量和的运算(1)交换律： = + → → b a．(2)结合律： = + ? ? ? ? ?+→ → → c b a．减法求 → a与 → b的相反向量－ → b的和的运算叫做 → a与 → b的差三角形法则 → a－ → b＝ → a＋(－ → b)

3、向量求和的多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相接，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量. 4、向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数λ与向量→ a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 . 它的长度与方向规定如下： ①=→ a λ ； ②当0>λ时，→ a λ与→ a 的方向；当0<λ时，→ a λ与→ a 的方向；当0=λ时，=→ a λ . (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μ→a )＝；②(λ＋μ) →a ＝；③λ(→a ＋→ b )＝ . 5、平行向量基本定理 . 6、轴上向量的坐标及其运算（1）给定单位向量→ e ，能生成与它平行的所有向量的集合}|{R x e x ∈→ ．这里的单位向量→ e 叫做轴l 的，x 叫做→ a 在l 的坐标（或数量）．x 的绝对值等于→ a 的长，当→ a 与→ e 同方向时，x 是正数，当→ a 与→ e 反方向时，x 是负数．（2）轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．（3）轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标（二）基础自测 1．[2011·四川卷] 如图K25－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝( ) 图K25－1

平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本疑点清源] 1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →

题型一平面向量的概念辨析例1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a | 是a 方向上的单位向量. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ； (2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

平面向量的几何意义及线性运算

龙文教育一对一个性化辅导教案

课前练习如图所示为函数)2 , 0)(sin(2)(f π?π ω?ω≤≤>+=x x 的部分图像,A,B 两点之间的距离为5,且f （1）=0，则f(-1)=( ) 函数)3 2sin(y π + =x 的图像经下列怎样的平移后所得的图像关于)0,12 - (π 中心对称( ) 要得到函数)4 2 ( cos y π- =x 的图像,只需将函数2 sin y x =的图像上所有点( ) 如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）知识点一：向量的几何表示有向线段：带有方向的线段叫有向线段有向线段三要素：起点、方向、长度

向量可以用有向线段表示，向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；零向量：长度为0的向量，记作0 单位向量：长度等于1个单位的向量书写注意：如果是大写字母就写成“AB”,从头指向尾；如果是小写字母就只用一个字母“a”注意：向量是由方向有长度，必备两个条件，少一都不算是向量例：下列关于向量的命题，正确的是（）变：下列说法中，正确的个数有（） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个知识点二：相等向量与共线向量的区别相等向量：长度相等且方向相同的向量；字母表示：a=b 平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行共线向量：向量之间是平行的（斜率的绝对值相同），方向可以相同可以相反，长度可以相等也可以不等说明： 1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； 2）零向量与零向量相等； 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 4）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 5）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

新教材人教版高中数学必修第二册 6.1 平面向量的概念

6．1 平面向量的概念考点学习目标核心素养平面向量的相关概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的几何表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？ 4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA → 是相等向量吗？ 1．向量的概念及表示 (1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段 ①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度． ③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB → ． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB → |. (3)向量的表示

■名师点拨 (1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． (2)用有向线段表示向量时，要注意AB → 的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点． 2．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB → |． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系 (1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b . 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( ) (5)向量AB →与向量BA → 是相等向量．( ) (6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )

(完整版)平面向量线性运算经典习题

平面向量线性运算经典习题 1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC u u u u r =4,||||,AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则 |AM u u u u r |=( ) A.8 B.4 C.2 D.1 2.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB s AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则r+s 的值是( ) 2 4..33 A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( ) A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为0 C.存在λ∈R,使b=λa D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0 4.已知O ?A ?B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=u u u r u u u r 则OC u u u r 等于( ) .2.22112..3333 A OA OB B OA OB C OA OB D OA OB --+--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 5.设D ? E ? F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,2,2,2,DC BD CE EA AF FB ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则 AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与()BC uuu r A.反向平行 B.同向平行 C.不平行 D.无法判断 6.已知a,b 是不共线的向量,AB u u u r =λa+b,AC u u u r =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 7.设+++=()()u u u r u u u r u u u r u u u r AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是（） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 8. 若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （） A ．a B ．b C ．c D ．以上都不对 9. 在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于（） A ． B ．4 C ．4 D ．4