2020-2021学年江苏省苏州中学高一上学期月考数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省苏州中学高一上学期月考数学试题

一、填空题

1．如果全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =，{1,3,5,7}B =，那么(

)U

A B ?等

于________. 【答案】{}1,3,7

【分析】由全集U 和补集的定义求出

U

A ，再由交集的运算求出()U A

B ?.

【详解】解：∵全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =， ∴

{1,3,4,6,7}U

A =，又{1,3,5,7}

B =得，(){}1,3,7U A B =，

故答案为：{}1,3,7.

2．设集合{12}A x

x =<<∣，{}B x x a =<∣满足A B ，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a

【分析】根据真子集的定义?以及A ?B 两个集合的范围，求出实数a 的取值范围. 【详解】由于集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，且满足A B ， ∴2a ， 故答案为：2a .

3．函数1

()3f x x

=

+

-的定义域为________. 【答案】[)()1,33,-?+∞

【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可. 【详解】解：由题意得：10

30x x +??-≠?

，

解得：1x ≥-且3x ≠，

故函数的定义域是：[)()1,33,-?+∞， 故答案为：[)()1,33,-?+∞.

4．满足条件，{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数为________. 【答案】6

【分析】根据题意得M 中必须有1，2，3这三个元素，因此M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数.

【详解】根据题意：M 中必须有1，2，3这三个元素， 则M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数，

因为集合{4,5,6}的非空真子集有{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6}，共6个. 故答案为：6

【点睛】结论点睛：如果一个集合有n 个元素，则它的子集的个数为2n 个，它的真子集个数为2 1.n -

5．函数1,0

(),00,0x x f x x x π+>??

==??

，则((1))f f -=________.

【答案】π

【分析】求出(1)0f -=，从而((1))(0)f f f -=，由此能求出结果.

【详解】∵函数1,0(),00,0x x f x x x π+>??

==??

，

∴(1)0f -=，

((1))(0)f f f π-==

故选：π

6．已知{44}A x

a x a =-<<+∣，{1B x =<-∣或5}x >，且A B R =，则实数a 的

取值范围为_________(用区间表示). 【答案】(1,3)

【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列不等式组求得答案. 【详解】解：∵{44}A x

a x a =-<<+∣，{1B x =<-∣或5}x >， 若A B R =，

则41

45

a a -<-??+>?， 即13a <<.

∴实数a 的取值范围为(1,3). 故答案为：(1,3).

7．如图所示的对应中，能构成A 到B 的映射的序号是________.

【答案】（2）（3）

【分析】由题意利用映射的定义，判断各个选项是否符合条件，从而得出结论. 【详解】按照映射的定义，集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的象，而对于选项（1），集合A 中的元素b 在集合B 中没有象，故排除选项（1）；显然，（2）（3）满足条件；

选对于项（4），集合A 中的元素2在B 中有2个元素b ?c 和它对应，故排除选项（4）， 故答案为：（2）（3）.

8．已知集合01P x y x ?==?+?∣，

集合{}

24Q y y x ==-+∣，则P Q =________. 【答案】(1,2)(2,4]-?

【分析】可以求出集合P ，Q ，然后进行交集的运算即可. 【详解】∵{12P x

x =-<<∣或2}x >，{4}Q y y =∣， ∴(1,2)(2,4]P Q ?=-?. 故答案为：(1,

2)(2,4]-?.

9．下列函数中，表示同一函数的是________. （1）()||f x x =，2()g x x =

（2）2()f x x =

2

()g x x =；

（3）21()1

x f x x -=-，()1

g x x =+；

（4）()11f x x x =+-2()1g x x =-

【答案】（1）

【分析】根据两函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同，对选项进行逐一判断..

【详解】解：（1）()||f x x =，2()||g x x x ==，函数的定义域相同，对应法则相同，

所以是相同的函数.

（2）()f x =

R ，2

()g x =的定义域是[)0,+∞；两个函数的定义

域不相同，所以不是相同的函数.

（3）21

()1

x f x x -=-的定义域是{}|1x R x ∈≠，()1g x x =+的定义域是R ，两个函数

的定义域不相同，所以不是相同的函数；

（4）()f x =

[)1,+∞，()g x =(][),11,-∞-+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数.

故答案为： （1） 10．已知(21)

f x -=

()f x =________.

)0x ≥ 【分析】求出函数(21)f x -定义域为12x

x ??

???

?

∣，令21(0)t x t =-，代入(21)

f x -=

.

【详解】解：函数(21)f x -定义域为12x

x ?????

?

∣， 令21(0)t x t =-，代入

(21)

f x -=

得()0)

f t t =

≥，

所以

()0)f x x =

=≥.

)0x ≥. 11．若实数,

x y 满足2244x y x +=，则22S x y =+的取值范围是________.

【答案】[]

0,16

【分析】把S 表示为关于变量x 的二次函数，由2

0y

可求得x 的范围，在x 的取值范

围内利用二次函数的性质即可求得其最值，从而得其范围.

【详解】由2244x y x +=，得()2

21

44

y x x =

-， 由()2

21

404

y x x =

-，解得04x ， 代入22S

x y =+得，

()2

22213321

444433

S x x x x x x ??=+-=+=+- ???，[0,4]x ∈，

由于函数S 在[]0,4上单调递增，

当0x =时S 取得最小值为0；当4x =时S 取得最大值为16， 故S 的取值范围为[]

0,16. 故答案为：[]

0,16.

【点睛】易错点睛：解答本题时，学生容易漏掉求x 的范围，从而得出错误的结论.利用函数的思想研究数学问题时，一定要注意求函数的自变量的取值范围，即遵循“函数问题定义域优先”的原则.

二、解答题

12．已知集合{

}

2

2,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值. 【答案】32

-

【分析】根据题意，可得23a +=或223+=a a ，然后根据结果进行验证即可. 【详解】由题可知：集合{

}

2

2,2A a a a =++，3A ∈ 所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32

a =-

当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性， 当32a =-

时，1,32??

=????A ，符合题意 所以3

2

a =-

【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.

13．已知{

}

2

320A x

x mx m =-+<∣. （1）若3A ∈，求m 的取值范围； （2）若0A ∈且1A ∈，求m 的取值范围. 【答案】（1）(27,)+∞；（2）(,3)-∞-.

【分析】（1）根据3A ∈，可得出27320m m -+<，解出m 的范围即可； （2）根据0A ∈且1A ∈，可得出20

320

m m m

-+

【详解】解：（1）由3A ∈，所以27320m m -+<，解得27m >， 所以m 的取值范围为(27,)+∞； （2）由0A ∈，且1A ∈， 所以20

320m m m

-+

，解得3m <-.

所以m 的取值范围为(,3)-∞-. 14．求下列函数的值域：

（1）2

23y x x =+-，[2,2]x ∈-；

（2）2

y x

=-

，[1,0)(0,2)x ∈-?. 【答案】（1）[4,5]-；（2）(,1)[[2,)-∞-?+∞. 【分析】（1）22 23(1)4y x x x =+-=+-，结合定义域，求出y 的最大值和最小值

即可；

（2）分[1,0)x ∈-和(0,2)x ∈两段，根据反比例函数2

y x

=-的单调性即可得值域. 【详解】（1）2

2

23(1)4y x x x =+-=+-， ∵[2,2]x ∈-，∴当1x =-时，y 取得最小值4-； 当2x =时，y 取得最大值5， ∴函数的值域为[4,5]-. （2）当[1,0)x ∈-时，2

y x

=-单调递增，[2,)y ∈+∞； 当(0,2)x ∈时，2

y x

=-

单调递增，(,1)y ∈-∞-， ∴函数的值域为(,1)[[2,)-∞-?+∞. 15．作出函数21

()1

x f x x +=

-的图象，并直接作答下列问题：

（1）()f x 的图象与x 轴的交点坐标为________，与y 轴的交点坐标为________； （2）不等式()3f x <的解集为_________.

【答案】图象答案见解析；（1）102??- ???

，，()0,1-；（2）(,1)(4,)-∞?+∞.

【分析】直接作出函数的图象

（1）由()0f x =可得图象与x 轴的交点坐标，由(0)1f =-，可得与y 轴的交点坐标， （2）由()3f x <，即

21

31

x x +<-，结合函数图象可得答案. 【详解】图象如图所示：

（1）令()0f x =，即

2101

x x +=-，解得1

2x =-，令0x =，则(0)1f =-，

故()f x 的图象与x 轴的交点坐标为1

,02

??- ???

，与y 轴的交点坐标为()0,1-； （2）不等式()3f x <，即

21

31

x x +<-，结合图象可得解集为(,1)(4,)-∞?+∞， 故答案为：（1）1

,02

??- ???

，(0,1)-；（2）(,1)(4,)-∞?+∞.

16．（1）已知二次函数()f x ，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 的表达式；

（2）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x 的表达式.

【答案】（1）2

()1f x x x =-+；（2）1

()23

f x x =-

或()21f x x =-+. 【分析】（1）设()f x 的表达式为2

()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)1f =，可得1c =，

由(1)()2f x f x x +-=，可列出关于a 和b 的方程组，解之即可；

（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，由(())41f f x x =-，可列出关于k 和

m 的方程组，解之即可.

【详解】解：（1）设()f x 的表达式为2()(0)f x ax bx c a =++≠，∵(0)1f =，

(1)()2f x f x x +-=，

∴1c =，(

)

2

2

(1)(1)2a x b x c ax bx c x ??++++-++=??，

化简得，22ax a b x +-=，∴220a a b =??+=?，解得11a b =??=-?

，

∴2()1f x x x =-+.

（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，

∵(())41f f x x =-，∴()41k kx m m x ++=-，即2

(1)41k x m k x ++=-，

∴24(1)1k m k ?=?+=-?，解得2

13k m =???=-??

或21k m =-??

=?， ∴1

()23

f x x =-

或()21f x x =-+. 17．（1

）求函数1y x =-+的值域；

（2）求函数21

()()12

f x x m =-

-+在[]1,2上的最大值()g m . 【答案】（1）9,4?

?-∞ ???；（2）221(1)1,12()1,

121

(2)1,22

m m g m m m m ?--+?. 【分析】（1

）利用换元法，令0t =≥，则23x t =-，故2

2y t t =-++，再结

合配方法即可得解；

（2）分1m <，12m 和2m >三类，讨论()f x 在[]1,2上的单调性，从而得解.

【详解】解：（1

）令0t =≥，

则23x t =-，

∴ 2

2

2

1931224

y t t t t t ??=--+=-++=--+ ???，

∵ 0t ≥， ∴ 当12

t =

时，y 取得最大值94，

∴函数的值域为9,4?

?-∞ ??

?

.

（2）21

()()12

f x x m =-

-+的开口方向向下， 对称轴为x m =，

当1m <时，()f x 在[]1,2上单调递减，

21

()(1)(1)12

g m f m ==--+；

当12m 时，

()f x 在[

)1,m 上单调递增，在(,2]m 上单调递减，

()()1g m f m ==；

当2m >时，()f x 在[]1,2上单调递增，

21

()(2)(2)12

g m f m ==--+.

综上，221(1)1,12()1,

121

(2)1,22

m m g m m m m ?--+

=???--+>?. 【点睛】关键点睛：本题考查利用换元法求函数值域和二次函数的动轴定区间问题，讨论对称轴与区间端点的大小是解决本题的关键.