高考数学等差数列习题及答案百度文库

一、等差数列选择题

1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()

12n n n S +=，则数列11n n a a +??????

的前10项的和为（） A ．

B ．

910

C ．10

D ．

1112

2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（） A ．161

B ．155

C ．141

D ．139

3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200

B ．100

C ．90

D ．80

5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤

B ．6斤

C ．9斤

D ．12斤

6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足

122527

n n

a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）

A ．6-

B ．2-

C ．1-

D ．0

7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62

10S S ，则34a a +=（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

8．定义

12n

p p p ++

+为n 个正数12,,

,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前

n 项的“均倒数”为

12n ，又2n n a b =，则1223

910

111

b b b b b b +++

=（） A ．

17 B ．

1021

C ．

1123 D ．

9．题目文件丢失！

10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.

已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了

3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米

11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

12．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（） A ．29

B ．38

C ．40

D ．58

13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15

B ．20

C ．25

D ．30

14．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12

B ．20

C ．40

D ．100

15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

16．在数列{}n a 中，11a =，且11n

n n

a a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．

1n n -+

B ．2

2n n -+

C ．22

n n -+

D ．2

n n -+

17．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21

D ．6、10、14、18、22

18．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23

，且

11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(

)n －1

B ．(

23)n C ．

n + D ．

n + 19．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（） A ．

B ．

C ．2

D ．9

20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

二、多选题

21．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >

B ．130S >，140S <，则78a a >

C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12S

D ．若2

n S n n a =-+，则0a =22．题目

文件丢失！

23．已知数列{}n a 满足0n a >，

121

n n n a n

a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）

A ．11a =

B ．121a a =

C ．201920202019S a =

D ．201920202019S a >

24．若不等式1

(1)(1)2n n

a n

+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（） A ．2d =- B ．122a =

C ．3430a a +=

D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值

26．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-

B ．23n a n =+

C ．2

23n S n n =-

D ．2

4n S n n =+

27．下列命题正确的是（）

A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列

C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c

可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列

28．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a > B ．数列1n a ??

????

是递增数列

C ．0n

S <时，n 的最小值为13

D ．数列n n S a ??

???

中最小项为第7项 29．无穷数列{}n a 的前n 项和2

n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）

A ．{}n a 可能为等差数列

B ．{}n a 可能为等比数列

C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列

D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列

30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =

D ．15S 是最大值

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一、等差数列选择题 1．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设1

1111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】

当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122

n n n n n n n a S S n -+-=-=

-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111

n n n b a a n n n n +=

==-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????

…. 故选：C 2．B 【分析】

画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】

所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：

由图可得：3612107y x y -=??-=? ，解得155

48x y =??=?

故选：B. 3．C 【分析】

利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ．【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，

212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =

故选：C 4．C 【分析】

先求得1a ，然后求得10S . 【详解】

依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=?=. 故选：C 5．C 【分析】

根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】

由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，

根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==?=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】

本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 6．A 【分析】转化条件为

122527

n n

a a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得

()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.

【详解】因为122527

n n a a n n +-=--，所以122527n n

a a n n +-

=--，又

1127a =--，所以数列27n a n ??

??-??是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以

()1212327

a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得

3722

n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()

()()3123min

13316p q S S a a S S =-=+=?-+--?=-.

故选：A. 【点睛】

解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 7．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】

因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6

10S S ，

所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 8．D 【分析】

由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n

=，则：2

2n S n =，当1n =时，112a S ==，

当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-，且14122a =?-=，据此可得 42n a n =-，故212

n a b n =

=-，()()111111212122121n n b b n n n n +??==- ?-+-+??，

1223910

1111111111233517191.21891919b b b b b b +++

????????=

-+-++- ? ? ???????

????

=?= 故选：D 9．无

10．B 【分析】

利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】

根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，

则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故

143600a =，

则()()1152141115153600022

n S a a a a =

+?=+?=. 故选：B. 11．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 12．A 【分析】

根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】

因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =,

13．B 【分析】

设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()51154

55254202

S a d a d ?=+=+=?= 故选：B 14．B 【分析】

由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：

1011045100S a d =+=，

12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.

故选：B. 15．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1

m m b k m +=，即()()11212

m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 16．D 【分析】

先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出212

n n n a -+=，进而求出n a .

【详解】解：11n

n n

a a na +=

+， ()11n n n a na a ++=∴，

化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：

111

n n

n a a +-=，即21

1a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：

213243111111+a a a a a a --+-+ (111)

123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)

n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222

n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又

1a =也满足上式， 212()2

n n n n z a -+∴=∈， 22

()2

n a n z n n ∴=

∈-+.

故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 17．C 【分析】

根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】

在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则71251

4716

a a d --=

==-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C

18．C 【分析】由已知可得数列1n x ??????是等差数列，求出数列1n x ??

????

的通项公式，进而得出答案．【详解】

由已知可得数列1n x ??

????

是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=，故21

n x n =+

故选：C 19．A 【分析】

由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】

设公差为d ，则42363

4222a a d --=

==--，所以5433322

a a d =+=-=. 故选：A 20．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C 【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题

二、多选题

21．AD 【分析】

对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】

对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，

所以2

4619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；

对于B ，因为130S >，140S <，所以

77713()

1302

a a a +=>，即70a >，

787814()

7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以

7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++

++=，所以12133()0a a +=，即

12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值

是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；

对于D ，若2

n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，

221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，

所以12120a a =?-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】

关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.

22．无

23．BC 【分析】

根据递推公式，得到11n n n

n n a a a +-=-，令1n =，得到121

a a =，可判断A 错，B 正确；

根据求和公式，得到1

n n n

S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】

由121n n n a n a a n +=+-可知2111

n n n n n

a n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-，当1n =时，则12

a a =

，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错；

1221321

111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++

+=-+-+

+-=-= ? ? ???????，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：

由递推公式求通项公式的常用方法：

（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如

()1

n n

a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通

项时，常需要构造成等比数列求解；

（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.

24．ABC 【分析】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+

a n

-<恒成立，当n 为偶数时有1

2a n

<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：1

2+a n

-<恒成立，

由12+n 递减，且1

223n

<+≤，

所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：1

2a n

<-恒成立，由12n -

第增，且31

222n ≤-<，所以3

a <

，综上可得：322

a -≤<，故选：ABC .

【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 25．AC 【分析】

先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.

所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-?=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】

本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：

（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；

（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 26．AC 【分析】

由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】

由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232

n n n S n n --==-.

故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力. 27．BCD 【分析】

根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】

A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；

C 选项：1a b c ===时，

111

1a b c

===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以

11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；

故选：BCD 【点睛】

本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 28．ACD 【分析】由已知得()

()612112712+12+2

0a a a a S ==

>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知

得出24

d -

<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N

上单调递增，

a 在7n

n N ，

上单调递增，可判断B ；由()

313117

713+12

03213a a a S a ?=

=<=

，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】

由已知得311+212,122d a a a d ===-，()

()612112712+12+2

0a a a a S =

>，又

70a <，所以6>0a ，故A 正确；

由716167

1+612+40+512+3>0+2+1124+7>0

a a d d a a d d a a a d d ==

37d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，

当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又

()11

12+3n a n d

=-，所以[]1,6n ∈时，1>0n

a ，7n ≥时，1

0n a <，

所以

a 在1,6n n N

上单调递增，

a 在7n n N ，上单调递增，所

以数列1n a ??

???

不是递增数列，故B 不正确；

由于()

313117

713+12

03213a a a S a ?=

=<=

，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；

当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，

S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0n

S a <，[]712

n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ??

????

中最小项为第7项，故D 正确；

【点睛】

本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 29．ABC 【分析】

由2

n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．

【详解】

当1n =时，11a S a b c ==++．

当2n ≥时，()()2

21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．

所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c

时，{}n a 是等差数列， 0

a c

b ==??

≠?时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二

项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】

本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 30．CD 【分析】

根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】

1118S S =，∴0d <，

设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2

y Ax Bx =+上，

抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，

∴1514S S =且为n S 的最大值，

1118S S =12131815070a a a a ?+++=?=，

∴129291529()

2902

a a S a +=

==，故选：CD. 【点睛】

本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

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