七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 质数与合数

第二十讲 质数与合数

趣题引路】

由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（ ） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数

解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433

是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ．

同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．

知识延伸】

1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1）只有一个正约数的数，它只能是1；

（2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数； （3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。 （2）质数有无穷多；合数也有无穷多． 证明 假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾．

3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。

4．算术基本定理

对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解

式将是唯一的，即正整数N （N ＞1）可以唯一表示为12

12m a a a m

N P P P =??? 其中，P 1，P 2，…，P m 为质数，且P 1＜P 2＜…＜P m ，a 1，a 2，…，a m 为正整数.

5．对于正整数N 的质因数标准分解式12

12m a a a m

N P P P =??? 根据乘法原理，它的正约数个数为（1＋a 1）（1＋a 2）…（1＋a m ）．它的所有约数之和为

()()()()

12

11221+++1+++1+++m a a a m m

S N P P P P P P =???????????? 121

11

1212111=111

m m m p p p p p p ααα+++---???---. 而且仅当N 为平方数时，它的正约数个数为奇数.

例1 用正反向的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x （cm ）规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为y （cm ）规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块.已知x 、y 、n 都是正整数，且(),1x y =.试问：这块地有多少平方米？

解析 设这块地的面积为S ，则()22=124S nx n y =+，得()222124n x y y -=.

()()222,1,1x y x y x y y >=∴-=，，得()22124x y -. 31,1;x y x y +=??

-=?或231,

2.x y x y +=???-=?

解之得16,15x y ==，此时2

2

2

124900y n x y ==-. 故这块地的面积为()()222290016230400cm =23.04m S nx ==?=.

点评 虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式，寻找解题的突破口.

例2 p 是质数，43p +仍是质数，求53p +的值.

解析 ∵p 是质数，∴433p +>

又3p +为质数，∴43p +必为奇数，∴4p 必为偶数，∴p 必为偶数. 又∵p 是质数， ∴=2p . ∴553=23=35p ++. 点评 本题利用了2是唯一的偶质数这一性质.

例3 已知正整数p 和q 都是质数，且7p q +与11pq +也都是质数，试求q p p q +的值.

解析 1111pq +>且11pq +是质数，∴11pq +必为正奇质数，pq 为偶数，而p 、q 均为质数，故2p =或2q =.

当2p =时，有14q +与211q +均为质数.当()312q k k =+≥时，则()1435q k +=+不是质数； 当()32N q k k =+∈时，()211=325q k ++不是质数，因此，3q k =，且q 为质数，故3q =.

当2q =时，有7p q +与211p +均为质数.当()312p k k =+≥时，()72=373p k ++不是质数；当

()32N p k k =+∈时，()211325p k +=+不是质数，因此，3p k =，当p 为质数，故=3p .

故322317q p p q +=+=.

点评 在所有质数中2时唯一的偶质数，可知11pq +是奇质数，pq 是偶数，进而可求p 或q ，最终达到求

例4 已知p 和281p +都是质数，求证：282p p -+也是质数.

解析 先研究p 和281p +都是质数时，p 应满足的条件可先从最小的质数开始考察. 证明：若2p =，则28133p +=是合数； 若3p =，则28173p +=是质数； 若5p =，则281201p +=是合数； 若7p =，则281393p +=是合数；

由此猜测：当p 为大于3的质数时，281p +为合数.下面对这一猜测给出证明.

若3p >，把p 按3除的余数可分为()31,3,31N k k k k -+∈三类.由于p 时质数，所以，p 只能为形如31k ±的数，则()()2

22818311324163p k k k +=±+=±+.

显然，281p +是合数. 因此，满足条件的3p =.

故当3p =时，282=71p p -+是质数.

点评 本例的证明是由具体数字着手讨论的，这种“归纳——猜想——证明”的方法在以后的学习中要经常用到.

例5 若n 为自然数，3n +与7n +都是质数，求n 除以3所得的余数. 解析 我们知道n 除以3的余数只能为0、1、2三种.

若余数为0，即3n k =（k 是一个非负整数，下同），则()33331n k k +=+=+，所以33n +，又33n ≠+，故3n +不是质数，与题设矛盾.

若余数为2，即32n k =+，则()732733n k k +=++=+，故37,7n n ++不是质数，与题设矛盾.所以n 除以3所得的余数只能为1.

点评 一个整数除以m 以后，余数可能为0，1，…，1m -，共m 个，将整数按除以m 所得的余数分类，可以分成m 类.如2m =时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数.同样，3m =时，就可以将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类.通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用.

例6 把一个两位质数接写在另一个与它不同的两位质数的右边，得到一个四位数.已知这个四位数恰能被这两个质数之和的一半整除，试求出所有这样的四位数.

解析 设,x ab y cd ==均为两位质数，且x y ≠，依题意，四位数100,100abcd ab cd x y =+=+，能被2

x y +整除，则1002

x y

x y m ++=?

（m 为正整数），即()()1982x m x y =-+.

又()(),,1x x y x y +==，事实上，两个不同的质数是互质的. ∴()198x y +.

∵x 和y 是不同的两位质数，∴x 和y 均为不小于11且不大于99的不同质数，∴x +y 应是小于24且不大于196的偶数.

容易求得198的不小于24且不大于196的正偶约数只有66，把66分拆成两个不同的两位素数之和，有661353194723432937=+=+=+=+，

故符合条件的四位数共有8个：1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729. 点评 在上面的求解过程中，用到了最大公约数的一个性质：()(),,x x y x y +=.

好题妙解】

佳题新题品味

例1 设a b c d 、、、都是自然数，且2222a b c d +=+，证明：a b c d +++一定是合数. 证明 ∵22a b +和a b +同偶数，22c d +与c d +同奇数，又2222a b c d +=+， ∴22a b +与22c d +同奇偶，因此a b +与c d +同奇偶. ∴a b c d +++是偶数，且4a b c d +++≥， ∴a b c d +++一定是合数.

点评 偶数未必都是合数，所以4a b c d +++≥在本题中是不能缺少的.

例2 正整数m 和n 是两个不同的质数，m n mn ++的最小值是p ，求22

2

m n p

+的值. 解析 要使p 的值最小，而m 和n 都是质数，则m 和n 分别取2和3，于是11p m n mn =++=，故222

13

=121m n p +. 点评 要使p 的值最小，则m 和n 尽可能取较小的值，而m 、n 是两个不同的质数，故m 和n 分别取2和3，

从而p 值可求.

中考真题欣赏

例1 若a b c 、、是1988的三个不同质因数，且a b c <<，则()a

b c +的值是多少？ 解析 ∵1998233337=????，而a b c 、、为质数. ∴a b c 、、的值分别为2、3、37.

a b c <<，故2,3,37a b c ===，得()=1600a

b c +.

点评 先对1998分解质因数，再根据a b c <<确定a b c 、、的值.如果没有a b c <<的条件，那么又是什么呢？

例2 四个质数的倒数之和是

1454

1995

，则这四个质数之和是 . 解析 ∵199535719=???，11111454

357191995

+++=

， ∴这四个质数为3、5、7、19.

因此，这四个质数的和为3+5+7+19=34. 点评 设这四个质数分别为a b c d 、、、，则

11111454

+++=

.由于a b c d 、、、均为质数，所以

1995=abcd .故考虑将1995分解质因数.

竞赛样题展示

例1 n 是不小于40的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和.

解析 因为n 是不小于40的偶数，所以，n 的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以n 的个位数字分类： （1）若n 的个位数字为0，则()1555n k k =+≥为奇数； （2）若n 的个位数字为2，则()2753n k k =+≥为奇数； （3）若n 的个位数字为4，则()957n k k =+≥为奇数； （4）若n 的个位数字为6，则()2155n k k =+≥为奇数； （5）若n 的个位数字为8，则()3353n k k =+≥为奇数；

综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇数之和.

点评 本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意.

例2 41名运动员所穿运动衣号码是1,2，…，40,41这41个自然数，问：

（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ （2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？ 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由.

解析 （1）能办到.注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1,3,5，7，…，41，在每两数间留有空挡，然后将所有的偶数依次反序插在各空挡中，得1,40,3,38,5,36,7,34，…，8,35,6,37,4,39,2,41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求.

（2）不能办到.若把1,2,3，…，40,41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是技术，故圆圈上任何相邻两数比为一奇一偶，但现有20个偶数，21个技术，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到.

点评 站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形.

例3 （第62届莫斯科竞赛题）写出5个正整数，使它们的总和等于20，而它们的积等于420.

解析 设这5个正整数为12345,,,,x x x x x ，则212345=420=2357x x x x x ???????，而12345++++=20x x x x x ，故知这5个数分别为1、4、3、5、7.

点评 在420的分解式中，把22看作22?（即两个数相乘）还是一个数4，是否再增加一个因数1，这取决于对求和式的观察.

例4 若自然数3n +与7n +都是质数，求n 除以6的余数.

解析 不妨将n 分成六类，6,61,,65n k n k n k ==+=+，然后讨论. 当6n k =时，()363321n k k +=+=+与3n +为质数矛盾；

当62n k =+时，()769323n k k +=+=+与7n +为质数矛盾； 当63n k =+时，()36661n k k +=+=+与3n +为质数矛盾； 当65n k =+时，()761262n k k +=+=+与7n +为质数矛盾； 所以只有64n k =+，即n 除以6的余数为4.

点评 本题利用分类讨论进行.

过关检测】

A 级

1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求这三个数的积.

2.有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，求这三个数的和.

3.设1p 与2p 是两个大于2的质数，证明12p p +是一个合数.

3.若p 是一个质数，23p +仍为质数，求值：23p +也是一个质数.

5.若p 与2p +都是质数，且3p >.求p 除以3所得的余数.

6.若自然数12n n >，且22

12122219n n n n ---=，求12n n 、的值.

7.有四个不同质因数的最小的自然数是多少？

8.求2000的正约数的个数，并求它的所有质因数的和.

9.若54544545n =+，则n 是 数（选填“质”或“合”）.

10.若质数m n 、满足57129m n +=，则m n += .

B 级 1.p 和63p +均为质数，则1147p -= .

2.已知三个质数m n p 、、的积等于三个质数的和的5倍则222m n p ++= .

3.（1997年北京市初一数学竞赛试题）()

143321223

x x

x a x x +-

---=-的解是最小质数的倒数，则a = .

4.（1998年北京市出而数学竞赛试题）若y 和z 均为质数，且,,,,x yz x y z =满足113

x y z

+=，则198853x y z ++= .

5.（1997年“迎春杯”初一数学竞赛试题）若p 和q 都是质数，并且关于x 的一元一次方程597px q +=的根是1，则2p q -= .

6.已知a b ab bbb =，其中a 和b 是1~9中的数字，ab 表示个位数字为b ，十位数字为a 的一个两位数，bbb 表示个位数字都是b 的三位数，求a 和b 的值.

7.已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的2倍，乙比丙小7岁，三人年龄之和是小于70的质数，且该质数的各位数字之和为13，求甲、乙、丙三人的年龄.

8.（1997年“五羊杯”竞赛试题）已知,2,6,8,14

++++都是质数，则这样的质数p共有多少个？

p p p p p