2019-2020年高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程讲义

2019-2020年高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程讲义

考点一极坐标方程和直角坐标方程的互化

1.(xx北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.

答案 1

2.(xx天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.

答案 2

3.(xx北京,11,5分)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为.

答案 1

4.(xx重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为.

答案(2,π)

5.(xx广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为.

答案

6.(xx天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB 是等边三角形,则a的值为.

答案 3

7.(xx重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径

ρ= .

答案

8.(xx课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)

将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

(6分)

若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,(8分)

由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,

解得a=-1(舍去)或a=1.

a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.

所以a=1.(10分)

9.(xx江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]

已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.

解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.

圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0,

化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.

则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,

即(x-1)2+(y+1)2=6,

所以圆C的半径为.

10.(xx课标Ⅰ,23,10分)(选修4—4:坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1,C2的极坐标方程;

(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.

解析(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)

(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=,故ρ1-ρ2=,即|MN|=.

由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)

11.(xx湖南,16(2),12分)(选修4—4:坐标系与参数方程)

已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方

程为ρ=2cos θ.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.

解析(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①

将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②

(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即

知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.

12.(xx课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈.

(1)求C的参数方程;

(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.

解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).

(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=,t=.

故D的直角坐标为,即.

教师用书专用(13—20)

13.(xx安徽改编,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为.

答案 2

14.(xx广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.

答案(1,1)

15.(xx安徽理改编,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别

为.

答案θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2

16.(xx湖北理,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为.

答案

17.(xx北京理,9,5分)在极坐标系中,点到直线ρsin θ=2的距离等于.

答案 1

18.(xx江西理,15,5分)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.

答案ρcos2θ=sin θ

19.(xx辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.

(1)写出C的参数方程;

(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得

由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.

故C的参数方程为(t为参数).

(2)由解得或

不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,

化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,

即ρ=.

20.(xx辽宁理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2.

(1)求C1与C2交点的极坐标;

(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.

解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,

直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.

解得

所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)

注:极坐标系下点的表示不唯一.

(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).

故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.

由参数方程可得y=x-+1,

所以解得a=-1,b=2.(10分)

考点二参数方程和普通方程的互化

1.(xx天津理,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.

答案

2.(xx湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ-

3cos θ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|= .

答案 2

3.(xx湖北,16,5分)已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.

答案(,1)

4.(xx江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设

直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.

解析椭圆C的普通方程为x2+=1.

将直线l的参数方程(t为参数)代入x2+=1,得

+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.

所以AB=|t1-t2|=.

5.(xx课标全国Ⅲ理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐

标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

解析(1)C1的普通方程为+y2=1.

C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)

(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.(8分)

当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)

6.(xx课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.

解析(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分)

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).

设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.(6分)

于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.

|AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分)

由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分)

所以l的斜率为或-.(10分)

7.(xx课标Ⅱ,23,10分)(选修4—4:坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标;

(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.

解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.

由得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.

因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).

所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.

当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.

8.(xx陕西,23,10分)(选修4—4:坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标

系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(1)写出☉C的直角坐标方程;

(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.

解析(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,

从而有x2+y2=2y,

所以x2+(y-)2=3.

(2)设P,又C(0,),

则|PC|==,

故当t=0时,|PC|取得最小值,

此时,P点的直角坐标为(3,0).

9.(xx江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.

解析将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8.

所以AB=|t1-t2|=8.

10.(xx课标Ⅰ,23,10分)(选修4—4:坐标系与参数方程)

已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).

(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).

直线l的普通方程为2x+y-6=0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为

d=|4cos θ+3sin θ-6|.

则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=.

当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.

当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.

11.(xx江苏,21C,14分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.

解析因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0. 同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.

联立得方程组解得公共点的坐标为(2,2),.

教师用书专用(12—17)

12.(xx北京改编,3,5分)曲线(θ为参数)的对称中心坐标是.

答案(-1,2)

13.(xx湖南理,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.

答案 3

14.(xx重庆理,15,5分)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= .

答案16

15.(xx陕西理,15C,5分)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程

为.

答案(θ为参数)

16.[xx福建,21(2),7分]已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).

(1)求直线l和圆C的普通方程;

(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.

解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,

圆C的普通方程为x2+y2=16.

(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,

解得-2≤a≤2.

17.[xx福建理,21(2),7分]在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.

(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;

(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.

解析(1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=.

所以直线l的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,

从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

(2)由已知得圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,

所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,

因为圆心C到直线l的距离d==<1,

所以直线l与圆C相交.

三年模拟

A组xx模拟·基础题组

考点一极坐标方程和直角坐标方程的互化

1.(xx江苏淮安、宿迁期中)在极坐标系中,直线ρcos=2与圆ρ=acos θ(a>0)相切,求a的值.

解析直线方程ρcos=2转化为x-y-4=0,

圆的方程ρ=acos θ(a>0)转化为ρ2=aρcos θ,

整理成直角坐标方程为x2+y2-ax=0,

即+y2=,

因为直线与圆相切,a>0,

所以到直线x-y-4=0的距离等于.

所以=,

解得a=或a=-8(舍去).

故a的值为.

2.(苏教选4—4,四,2,9,变式)在极坐标系中,设直线θ=与曲线ρ2-10ρcosθ+4=0相交于A,B两点,求线段AB 中点的极坐标.

解析将直线方程θ=化为普通方程得,y=x,

将曲线方程ρ2-10ρcosθ+4=0化为普通方程得,x2+y2-10x+4=0,

由消去y得,2x2-5x+2=0,

解得x1=,x2=2,

所以AB中点的横坐标为=,纵坐标为,

化为极坐标为.

3.(xx江苏苏北四市摸底)已知曲线C的极坐标方程为ρsin=3,以极点为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程.

解析由ρsin=3得ρsin θ+ρcos θ=3,

因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,

所以曲线C的直角坐标方程为x+y-6=0.

4.(xx南通、泰州高三一模)在极坐标系中,求直线θ=(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.

解析解法一:在ρ=4sin θ中,令θ=,得ρ=4sin =2,即弦长为2.

解法二:以极点O为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系.

直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,①

曲线ρ=4sin θ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0.②

由①②得或

所以直线θ=(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长==2.

5.(xx苏北三市第三次模拟考试,21C)在极坐标系中,已知点A,点B在直线l:ρcos θ+ρsin

θ=0(0≤θ≤2π)上.当线段AB最短时,求点B的极坐标.

解析以极点为原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系,则点A的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.

当线段AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,

由解得所以点B的直角坐标为(-1,1).

所以点B的极坐标为.

考点二参数方程和普通方程的互化

6.(xx江苏徐州铜山中学期中)在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acos θ(a>0),以极点为坐标原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为(t为参数),若直线l与圆C恒有公共点,求实数a的取值范围.

解析由(t为参数),可得直线l的普通方程为12x-5y-17=0,

由ρ=2acos θ(a>0)得ρ2=2aρcos θ,

所以圆C的标准方程为(x-a)2+y2=a2,

因为直线l与圆C恒有公共点,所以≤|a|.

又因为a>0,所以≤a,解得a≥,

所以实数a的取值范围为a≥.

7.(xx江苏扬州中学高三月考)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标

系取相同的单位长度.已知曲线C1:(t为参数)和曲线C2:ρsin2θ=2cos θ相交于A、B两点,求AB

中点的直角坐标.

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C1的直角坐标方程为4x-3y-8=0,

C2的直角坐标方程为y2=2x,

将直线方程代入y2=2x可得2y2-3y-8=0,

所以y1+y2=,y1y2=-4,所以x1+x2==,

所以AB中点的坐标为.

8.(苏教选4—4,四,4,4,变式)已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.

解析由于直线l的参数方程为(t为参数),

故直线l的普通方程为x+2y=0.

因为P为椭圆+y2=1上的任意一点,

故可设P(2cos θ,sin θ),其中θ∈R.

因此点P到直线l的距离d=

=.

所以当θ=kπ+,k∈Z时,d取得最大值.

所以点P到直线l的距离的最大值为.

B组xx模拟·提升题组

(满分:40分时间:20分钟)

解答题(共40分)

1.(xx江苏南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:(t为参数).现以坐标原点O为极点,

以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l与圆C交于A,B两点,求弦AB 的长.

解析直线l的参数方程:(t为参数)化为普通方程,得4x-3y=0,

圆C的极坐标方程ρ=2cos θ化为直角坐标方程,得(x-1)2+y2=1,

所以圆C的圆心到直线l的距离d==,

所以AB=2=.

2.(xx江苏淮安期末)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=m(m∈R).当圆心C到直线l的距离为时,求m的值.

解析直线l的直角坐标方程为x-y+m=0,

圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9,

圆心C到直线l的距离d=,

令d=,解得m=-1或m=-5.

3.(xx江苏海安中学质检)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以原点O为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=2.点P为曲线C上的动点,求点P到直线l 距离的最大值.

解析ρcos=2化简为ρcos θ+ρsin θ=4,

则直线l的直角坐标方程为x+y=4.

设点P的坐标为(2cos α,sin α),

则P到直线l的距离d=,

即d=,其中cos φ=,sin φ=.

当sin(α+φ)=-1时,d max=2+.

4.(xx江苏南京六校联考,21)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数,r>0),以

O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=1,若圆C上的点到直线l的最大距离为3,求r的值.

解析圆C的参数方程为(θ为参数,r>0),消去参数θ得+=r2(r>0),所以圆心C,半径为r.

直线l的极坐标方程为ρsin=1,化为普通方程为x+y-=0.

圆心C到直线x+y-=0的距离d==2,

∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,即d+r=3,∴r=3-d=3-2=1.

C组xx模拟·方法题组

方法解决参数方程与极坐标方程问题的方法

(xx江苏南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρsin=,椭圆C的参数方程为(t为参数).

(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程;

(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长.

解析(1)由ρsin=,

得ρ=,即x-y=,

化简得y=x-,所以直线l的直角坐标方程是y=x-.

由+=cos2t+sin2t=1,得椭圆C的普通方程为+=1.

(2)联立直线方程与椭圆方程,得

消去y,得+(x-1)2=1,

化简得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,

所以A(0,-),B,

则AB==.