高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分
【训练目标】
1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断；
2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形；
3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数；
4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式；
5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式；
6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】
此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】
1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数.
（1）.求
)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）.当
时,求函数)(x f 的最小值和最大值
【答案】（1）π, （2）
【解析】
（1）
,π=T ,
单调递增区间为；
（2）
∴当
时,
,∴
.
当时,
,∴
.
2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知
中,角
所对的边分别是
,
且,其中是的面积,.
（1）求的值；
（2）若,求的值.
【答案】
（1）；（2）.
（2）,所以,得①,
由（1）得,所以.
在中,由正弦定理,得,即②,
联立①②,解得,,则,所以.
3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数．
（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；
（2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围．
【答案】
（1）,单调递增区间为；
（2）．
故．
令,
解得
∴的单调递增区间为．
（2）,,
,
又,
故的取值范围是．
4、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考理科数学试题）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c（sinC-sinA）=（sinA+sinB）（b - a）.
（1）求B；
（2）若c=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,,求AM的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）∵,则由正弦定理得:
,
∴,
∴,
又,
∴．
∴,又,,∴,∴为锐角,∴,
∴,又,∴,∴,∴,,
∴在中,.
5、（湖北省重点高中联考协作体2018届高三上学期期中考试数学文）试题）在△中,内角,,的对边分别是,,,且．
（1）求角的大小；
（2）点满足,且线段,求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由及正弦定得,
∴,
整理得,
∴,
又
∴
∵ ,当且仅当,即,时等号成立,
∴,
解得,
∴
,
∴ ,
故的范围是。
6、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考一）数学理）试题）函数的部分图像如图所示,将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数的解折式；
（2）在中,角满足,且其外接圆的半径,求的面积的最大值．【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由图知,解得
∵,∴,即
由于,因此,∴
∴,即函数的解析式为。
由正弦定理得,解得
由余弦定理得
∴,当且仅当等号成立）
∴
∴的面积最大值为．
7、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考二数学（理）试题）如图所示,扇形AOB中,圆心角∠AOB ＝,半径为2,在半径OA上有一动点C,过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点,求线段PC的长；
（2）若∠COP＝,求△OOP面积的最大值及此时的值
【答案】（1）（2）；
【解析】
（1）舍负）；
（2）,
则,
得,此时．
8、（福建省晋江市季延中学2019届高三上学期第一阶段考试数学（理）试题）函数
,直线3y =
与函数()f x 的图象相邻两交点的距离为π.
（1）求ω的值;
（2）在锐角ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若点(,0)2
B
是函数()y f x =图象的一个对称中心,求的取值范围 .
【答案】 （1）2 （2）3,32?? ???
【解析】
（1）；
（2）由（1）有,即
因为锐角三角形 所以 所以
6
2
A π
π
<<
,所以
9、（福建省厦门外国语学校2019届高三11月月考数学理）试题）已知ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且,,a b c 成等差数列,2C A =. （1）求cos A ；
（2）设0m >）,求ABC ?的面积的最小值.
【答案】 （1）4
3cos =A （2）157
（2）由于
又4
3
cos =
A ,47sin =A ,
,3
2
c a =
- b c a 2=+,5
4
b a =
-所以=
即所求的△ABC 面积的最小值为157
10、（湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷一））如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠BAD ＝60°,∠BCD ＝120°.
（1）若BC ＝22,求∠CBD 的大小； （2）设△BCD 的面积为S ,求S 的取值范围． 【答案】（1）15°（2）（0,3]
（2）设∠CBD ＝θ,则∠CDB ＝60°－θ.
在△BCD 中,因为
BC sin （60°－θ）＝BD
sin 120°
＝4,则BC ＝4sin （60°－θ）．
所以S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝43sin （60°－θ）sin θ＝43? ????
32cos θ－12sin θsin θ
＝3sin 2θ－23sin 2
θ＝3sin 2θ－3（1－cos 2θ）＝3sin 2θ＋3cos 2θ－ 3 ＝23sin （2θ＋30°）－ 3.
因为0°＜θ＜60°,则30°＜2θ＋30°＜150°,1
2 故S 的取值范围是（0,3]． 11、江西省定南中学2019届高三上学期期中考试数学理）试卷）已知函数 （1）求函数)(x f 的最小正周期与单调增区间； （2）设集合,若A B ?,求实数m 的取值范围 【答案】 （1）函数)(x f 的单调递增区间为 。 （2） 【解析】 ∴函数)(x f 的最小正周期π=T , 由 得 ∴函数)(x f 的单调递增区间为 。 12、（山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题理）在ABC ?中,A,B,C 所对的边分别为,,a b c , 满足 ． （I ）求角A 的大小； （Ⅱ）若,D 为BC 的中点,且的值． 【答案】 （1） 3 2π= A （2） 【解析】 （1） ,所以 ,所以32 tan =A 因为),0(π∈A ,所以 32π=A ,所以3 2π = A 。 由正弦定理可得,所以 13、（辽宁省重点六校协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷）设 的内角 所对的 边分别是,且是与的等差中项． （1）求角； （2）设,求周长的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）由题,, 由正弦定理,, 即,解得,所以． （2）法一：由余弦定理及基本不等式, , 得,当且仅当时等号成立, 故周长的最大值为．法二：由正弦定理,, 故周长 ∵,∴当时,周长的最大值为．