考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题：

Min z=60

x+402x+803x

1

. 3

x+22x+3x≥2

1

4

x+2x+33x≥4

1

2

x+22x+23x≥3

1

x,2x,3x≥0

1

要求：（1）写出其对偶问题；

（2）用对偶单纯形法求解原问题；

（3）用单纯形法求解其对偶问题；

（4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。

解：(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为

y,2y,3y；则

1

由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为：

Max Z’=2

y+42y+33y

1

3

y+42y+23y≤60

1

2

y+2y+23y≤40

1

y+32y+23y≤80

1

y,2y,3y≥0

1

(2)用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量

x,5x,6x）

4

MaxZ= -60

x-402x-803x+04x+05x+06x

1

-3

x-22x-3x+4x=-2

1

-4

x-2x-33x+5x=-4

1

-2

x-22x-23x+6x=-3

1

1x ,2x ,3x ≥0

建立此问题的初始单纯形表，可见：

从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b 列数字为负，故需进行迭代运算。

换出变量的确定，计算min （-2，-4，-3）=-4，故5x 为换出变量。

换入变量的确定，计算得15,40，80/3,故1x 为换入变量。

由表可知，6x 为换出变量。2x 为换入变量。然后继续画单纯形表：

可得4x 为换出变量，3x 为换入变量。继续做单纯形表：

所以此问题的最优解为X=（11/10,19/30，1/10），此对偶问题的最优解为Y=（16,12,30），原问题的最小值为118/3.

（3）MaxZ ’=21y +42y +33y +04y +05y +06y 31y +42y +23y +4y =60 21y +2

y +23y +5y =40 1y +32y +23y +6y =80 1y ,2y ,3y ,4y ,5y ,6y ≥0 然后建立单纯形表，可得

i

由此可知，4y 为换出变量，2y 为换入变量。继续画单纯形表，

i

由此可知，5y 为换出变量，3y 为换入变量。继续画单纯形表，

i

由此可得最后一行的检验数都已经为负或是零，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解为

Y=（0,20 /3,50/3，0,0,80/3）

目标函数值为230/3

（4）比较第二问和第三问，主要是换出变量和换入变量的关系：第（2）问里，

x为换出变量，1x为换入变量；6x为换出变量。2x

5

为换入变量；

x为换出变量，3x为换入变量！

4

第（3）问里，

y为换出变量，2y为换入变量；5y为换出变量，3y为换入变量！

4