2004年高考.江苏卷.数学试题及答案

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2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（江苏卷）

一、选择题(5分×12=60分)

1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于( ) (A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}

2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为( ) (A)

2

π

(B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( ) (A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种

4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( ) (A)

33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 3

3

π3416cm 5.若双曲线1822

2=-b

y x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为

( )

(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24

6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时

7.4

)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)48

8.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2

9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( ) (A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216

10.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19 11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A

点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( ) (A)3 (B)32 (C)43 (D)6

5

12.设函数)(1)(R x x

x

x f ∈+-

=，区间M=[a ，b](a

13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：

则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.

14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. 15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2

)

13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是

_______________________.

16.平面向量b a ,中，已知=(4，-3)=1，且?=5，则向量=__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分) 17.已知0<α<

2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3

π

α-)的值. 18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1

上，且CC 1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.

· B 1

P

A 1

C 1

D 1

O H ·

19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .

(Ⅰ)若首项=1a 3

2 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2

k k S S =成立.

21.已知椭圆的中心在原点，离心率为1

2 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)

求椭圆的方程；

(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求

直线l 的斜率.

22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有

)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=

(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.

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数学（江苏卷）参考答案

一、选择题

ABDCA BCADC BA 二、填空题

13、{2x x <-或3}x > 14、2

2

(1)(1)25x y -+-= 15、2

16、43(,)55

b =- 三、解答题

17、解：由题意可知4sin 5

α=

，

4sin()3

10

π

α-∴-

=

18、解（1）APB ∠=（2）略

（319、解：10

318

x y x y +≤??

+≤?，设0.5z x y =+

当4

6x y =??

=?

时，z 取最大值7万元 20、解：（1）4k =

（2）100a d =??

=?或112a d =??=?或11

a d =??=?

21、解：（1）22

2

2143x y m m

+=

（2）k =±或0

22、解：（1）不妨设12x x >，由[]2

121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-?-

可知12()()0f x f x ->，

()f x ∴是R 上的增函数

∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =

又

[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-?-≤-

1λ∴≤

（2）要证：222

000()(1)()b a a a λ-≤--

即证：22

00()()2()()a a f a f a a a λ??-+≤-?? (*)

不妨设0a a >，

由[]2

121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-?-

得00()()()f a f a a a λ-≥-， 即0()()f a a a λ≥-，

则2

002()()2()f a a a a a λ-≥- （1） 由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，

则222

00()()2()a a f a a a λλ??-+≤-?? （2） 由（1）（2）可得22

00()()2()()a a f a f a a a λ??-+≤-??

222000()(1)()b a a a λ∴-≤--

（3）22

0[()]()f a a a ≤-,

2222

0(1)[()](1)()f a a a λλ∴-≤--

220[()]()f b b a ≤-

又由（2）中结论222

000()(1)()b a a a λ-≤--

222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-