高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换

一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；

⑷()sin

sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-

二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin 22sin cos ααα

=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?

⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α

αααα=-=-=-

?2

2

1cos 2cos

1cos 2sin

2

2

α

α

αα+=-=，

?2

cos 21cos 2

αα+=

，2

1cos 2sin 2αα-=．

⑶22tan tan 21tan α

αα

=-．

三、辅助角公式：

()

22sin cos sin α+=++a x b x a b x ，

2

2

2

2

cos sin a b a b

a b

???=

=

++其中由，决定

四、三角变换方法：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的

相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4

α的二倍；

②2

304560304515o o

o

o

o

o

=-=-=；

③()ααββ=+-；④

()4

24

π

π

π

αα+=

--； ⑤2()()()()44

ππ

ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如

在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转

化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

221sin cos sin90tan45o o

αα=+==

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，

一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。

（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，

高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。