2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列一学案含解析新人教

1.2 排列与组合

1.2.1排列

第1课时排列(一

)

自主预习·探新知

情景引入

2020年教师节，习近平主席来到北师大视察，听完一节课后与老师们座谈．如果有12位教师参加，面对习主席坐成一排．

问：这12位教师的坐法共有多少种？

新知导学

1．排列、排列数与排列数公式

排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，__按照一定的顺序排成一列__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有排列的个数__，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示

排列数公式

A m n＝__n(n－1)…(n－m＋1)__ 这里n，m∈N＋，并且m≤n

2．全排列、阶乘的概念及相关性质

(1)全排列：n个不同元素__全部取出__的一个排列．

(2)n的阶乘：正整数由1到n的__连乘积__，叫做n的阶乘，用n！表示．

(3)阶乘的相关应用：

①规定：0！＝1；

②排列数公式的另一种形式：A m n＝n！

(n－m)！

．

预习自测

1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(D)

A．10种B．20种

C．25种D．32种

[解析]每个同学有2种报名方式，5个同学全完成，这件事情才算完成．按照乘法计数原理，共有25＝32种报名方法．

2．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有(B)

A．6种B．10种

C．8种D．16种

[解析]记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式有

其中经过5次传球后，球仍回到甲手中的有5种，同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式，共有10种传球方式．

3．用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的四位数有__96__个．

[解析]分两步，第一步排首位共4种不同排法，第二步排余下的三位共有A34＝24种不同排法，由分步乘法计数原理得共组成无重复数字的四位数4×24＝96个．4．已知A2n＝56，那么n＝__8__．

[解析]∵A2n＝56，

∴n(n－1)＝56，

解得n＝8或－7，

∴n＝8．

互动探究·攻重难

互动探究解疑

命题方向?

排列的概念

典例1下列问题是排列问题吗？说明你的理由．

(1)从1、2、3三个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？

(2)从1、2、3、5四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？

(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人，又有多少种方法？

(4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a、b，可以得到多少个焦点在x

轴上的椭圆x2

a2＋y2

b2＝1和多少个焦点在x轴上的双曲线x2

a2－y2

b2＝1．

[思路分析]判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．

[解析](1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是；(4)第一问不是，第二问是．

理由是：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．选座位与顺序无关，“入座”问题，与顺序有关，故选3个座

位安排三位客人是排列问题，若方程x2

a2＋y2

b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a、b

的大小一定，因此这不是排列问题；在双曲线x2

a2－y2

b2＝1中，不管a>b还是a

a2－

b2＝

1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列问题．

『规律总结』确定一个具体问题是否为排列问题的方法：

(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否

则不是排列问题．

(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．

┃┃跟踪练习1__■

下列问题是排列问题吗？

(1)从5个人中选取两个人去完成某项工作；

(2)从5个人中选取两个人担任正、副组长．

[解析](1)不是甲和乙去，与乙和甲去完成这项工作是同一种选法．

(2)是甲担任组长、乙担任副组长，与甲担任副组长、乙担任组长是不同选法．

命题方向?

简单的排列问题

典例2写出下列问题的所有排列：

(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？

[解析](1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．

故符合题意的机票种类有：

北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．

(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A、B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：

由此可知所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．

『规律总结』对简单的没有限制条件的排列问题，在分清元素和位置的情况下，直接用排列公式进行计算．

┃┃跟踪练习2__■

从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；

(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．

[解析] (1)组成三位数分三个步骤：

第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．

由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：

由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230, 231,301,302,310,312,320,321．

(2)直接画出树形图

由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312．命题方向?

排列数公式

典例3 求解下列问题：

(1)用排列数表示：(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *，且n <55)；

(2)计算：2A 58＋7A 48

A 88－A 5

9； (3)解方程：A 42x ＋1＝140A 3

x ．

[思路分析] (1)用排列数公式的定义解答即可；(2)直接用排列数公式计算；(3)用排列数的公式展开得方程，然后求解，要注意x 的取值范围，并检验根是否合理．

[解析] (1)因为55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)，

所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 15

69－n ．

(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5

＝

8×7×6×5×(8＋7)

8×7×6×5×(24－9)

＝1． (3)根据原方程，x 应满足?????

2x ＋1≥4，

x ≥3，x ∈N *

，

解得x ≥3，x ∈N *．

根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)．

因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝23

(因为x 为整数，所以应舍去)．

所以原方程的解为x ＝3．

『规律总结』应用排列数公式时应注意的三个方面

(1)准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确． (2)合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算．

(3)合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．

┃┃跟踪练习3__■

(1)计算：4A 48＋2A 58

A 88－A 59；

(2)解方程：3A x 8＝4A x －

9；

(3)解不等式：A x 9>6A x －29，其中x ≥3，x ∈N *．

[解析] (1)原式＝4A 48＋2×4A 4

4×3×2A 48－9A 4

8＝4＋824－9