高三理科数学小题狂做3
高三理科数学小题狂做(3)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、已知集合{}
2
50x x x M =->,{}2,3,4,5,6N =,则M
N =( )
A .{}2,3,4
B .{}2,3,4,5
C .{}3,4
D .{}5,6
2、已知复数z 满足()135i z i -=+,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
3、已知点()3,4P ,()Q 2,6,向量()F 1,λE =-.若Q//F P E ,则实数λ的值为( )
A .
12B .2C .1
2
-D .2- 4、“5m <”是“5m <”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 5、下列函数既是奇函数又是()0,1上的增函数的是( ) A .y x =-B .2
y x =C .sin y x =D .cos y x =
6、某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则该几何体的体积不可能是( )
A .
13B .6πC .2
3
D .1 7、已知圆22
2410x y x y +-++=和两坐标轴的公共点分别为A ,B ,C ,则C ?AB 的面积为( )
A .4
B .2
C .23
D .3
8、执行下面的程序框图,则输出的m 的值为( ) A .9B .7C .5D .11
9、已知函数()()2cos f x x ω?=+(0ω>,2
π
?<)的部分
图象如下图所示,其中12,3y ??
???与220,3y ??
???
分别为函数()f x 图象的一个最高点和最低点,则函数()f x 的一个单调增区间为
( ) A .1420,33??
???B .10,03??- ???C .40,3?? ???D .1610,3
3??
-- ???
10、已知()6
2
1x a x x ?
?+- ??
?(R a ∈)的展开式中常数项为5,则该展开式中2x 的系数为
( )
A .252-
B .5-
C .25
2
D .5 11、已知双曲线C :22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的右焦点为2F ,()00,x y M (00x >,
00y >)是双曲线C 上的点,()00,x y N --.连接2F M 并延长2F M 交双曲线C 于P ,连接2F N ,PN ,若2F ?N P 是以2F ∠N P 为顶角的等腰直角三角形,则双曲线C 的渐近线方程为
( )
A .2y x =±
B .4y x =±
C .62y x =±
D .102
y x =± 12、已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线方程为:l ()y g x =,若函数()f x 满
足x ?∈I (其中I 为函数()f x 的定义域),当0x x ≠时,()()()00f x g x x x --???恒成立,则称0x x =为函数()f x 的“分界点”.已知函数()f x 满足()15f =,
()4
62f x x x
'=--
,则函数()f x 的“分界点”的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .无数个 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13、某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了270人进行调查,得到如右图所示的频率分布直方图,则可以估计睡前看手机在4050分钟的人数为.
14、若实数x ,y 满足约束条件4210440y x x y x y ≤-??
-+≥??--≤?
,则2z x y
=-的最大值是.
15、已知六棱柱111111CD F C D F AB E -A B E 的底面是正六边形,侧棱与底面垂直,若该六棱柱的侧面积为48,底面积为123,则该六棱柱外接球的表面积等于. 16、如图,空间四边形CD AB 中,C D 45
∠A =,
15
cos C 5
∠A B =
,C 1510A =+,D 25A =,C 6B =.若点E 在线段C A 上运动,则D EB +E 的最小值为.
高三理科数学小题狂做(3)参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
B
C
B
C
D
D
A
D
A
C
B
13、81 14、4 15、32π 16、7
高考理科数学试题及答案
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目
要
求
的
。
1.
31i
i
+=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -
2. 设集合{}1,2,4A =,{}
2
40x x x m B =-+=.若{}1A
B =,则B =()
A .{}1,3-
B .{}1,0
C .{}1,3
D .{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百
八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏
4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某
几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π
5. 设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??
-+≥??+≥?
,则2z x y =+的最小值是()
A .15-
B .9-
C .1
D .9
6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共
有()
A .12种
B .18种
C .24种
D .36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,
2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家
说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A .乙可以知道四人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的
S =()A .2 B .3 C .4 D .5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的 离心率为()
A .2
B .3
C .2
D .
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为()
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为()
A .32
B .155
C .105
D .33
12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小值是()
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽
到的二等品件数,则D X =. 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
(0,2x π??
∈????
)的最大值是. 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则
11
n
k k
S ==∑. 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点,M 是C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点N .若M 为
F N 的中点,则F N =.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=. (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b
18.(12分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )某频率直方图如下:
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率;
2.
填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P (
)
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.(12分)
如图,四棱锥PABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ,
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
(1)证明:直线//CE 平面PAB
(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ,求二面角MABD 的余弦值
20. (12分)
设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2
212
x y +=上,过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程;
(2)设点Q 在直线x=3上,且1OP PQ ?=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.(12分)
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ;
(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2
30()2e
f x --<<.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计
22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.
(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程;
(2)设点A 的极坐标为(2,
)3
π
,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值.
23.[选修45:不等式选讲](10分)
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=,证明: (1)3
3()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤.
参考答案
1.D
【解析】1是方程240x x m -+=的解,1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =,∴{}13B =,
3.B
【解析】设顶层灯数为1a ,2=q ,()7171238112
-==-a S ,解得13a =.
4.B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半.
2211
π310π3663π
22=-=??-???=V V V 总上
5.A
【解析】目标区域如图所示,当直线-2y =x+z 取到点()63--,时,所求z 最小值为15-.
6.D
【解析】只能是一个人完成2份工作,剩下2人各完成一份工作.
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36?=
7.D
【解析】四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然)→乙看了丙成绩,知自己成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知自己成绩.
【解析】0S =,1k =,1a =-代入循环得,7k =时停止循环,3S =. 9.A
【解析】取渐近线b
y x a =
,化成一般式0bx ay -=,圆心()20,
= 得224c a =,24e =,2e =.
10.C
【解析】M ,N ,P 分别为AB ,1BB ,11B C 中点,则1AB ,1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
(异面线所成角为π02?
? ??
?,)
可知112MN AB =
,1122
NP BC ==, 作BC 中点Q ,则可知PQM △为直角三角形. 1=PQ ,1
2
MQ AC =
ABC △中,2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠
14122172??
=+-???-= ???
,=AC
则MQ =
MQP △
中,MP = 则PMN △中,222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=??
222
+-=
= 又异面线所成角为π02?
? ???
,
.
11.A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'??=+++-???,
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????,
则()()211x f x x x e -=--?,()()212x f x x x e -'=+-?, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-.
12.B
【解析】几何法:
如图,2PB PC PD +=(D 为BC 中点), 则()
2PA PB PC PD PA ?+=?,
要使PA PD ?最小,则PA ,PD 方向相反,即P 点在线段AD 上, 则min 22PD PA PA PD ?=-?, 即求PD PA ?最大值, 又3
23PA PD AD +==?
=, 则2
233
24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??
???≤, 则min 332242
PD PA ?=-?=-. 解析法:
建立如图坐标系,以BC 中点为坐标原点,
P
D C
B
A
∴()
03A ,,()10B -,,()10C ,. 设()P x y ,, ()
3PA x y
=--,,
()
1PB x y =---,,
()1PC x y =--,,
∴()
222222PA PB PC x y y ?+=-+
2
2
3324x y ??????=+-- ? ???????
则其最小值为33242??
?-=- ???
,此时0x =,3y =.
13.1.96
【解析】有放回的拿取,是一个二项分布模型,其中0.02=p ,100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14.1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???
?=+-∈ ????
???,
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈, 21
34y t t =-++
2
31t ??
=--+ ? ???
则当3
t =时,()f x 取最大值1. 15.
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ,公差为d .
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =,1d =,则n a n =,()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+??-+∑
111
111121223
11n n n n ??=-+-++-+- ?-+??
122111n n n ?
?=-=
?++??
16.6
【解析】28y x =则4p =,焦点为()20F ,
,准线:2l x =-, 如图,M 为F 、N 中点,
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线, ∵2CN =,4AF =, ∴3ME =
又由定义ME MF =, 且MN NF =, ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】(1)依题得:2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==?=-. ∵22sin cos 1B B +=, ∴2216(1cos )cos 1B B -+=, ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=, ∴15
cos 17
B =
, (2)由⑴可知8sin 17
B =. ∵2AB
C S =△, ∴1
sin 22
ac B ?=, ∴18
2217
ac ?=, ∴17
2ac =
, ∵15cos 17
B =
, l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=,
∴22215a c b +-=, ∴22()215a c ac b +--=, ∴2361715b --=, ∴2b =.
18.
【解析】(1)记:“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+?
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
(2)
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ??-?=
=???
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关.
(3)150.2÷=,()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
,8
5 2.3517
?≈ 50 2.3552.35+=,∴中位数为52.35.
19.【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
(1)令PA 中点为F ,连结EF ,BF ,CE .
∵E ,F 为PD ,PA 中点,∴EF 为PAD △的中位线,∴1
2
EF AD ∥.
又∵90BAD ABC ∠=∠=?,∴BC AD ∥. 又∵12AB BC AD ==
,∴1
2
BC AD ∥,∴EF BC ∥. ∴四边形BCEF 为平行四边形,∴CE BF ∥. 又∵BF PAB ?面,∴CE PAB 面∥
(2)以AD 中点O 为原点,如图建立空间直角坐标系.
设1AB BC ==,则(000)O ,,,(010)A -,,,(110)B -,,,(100)C ,
,,(010)D ,,, (00P ,.
M 在底面ABCD 上的投影为M ',∴MM BM ''⊥.∵45MBM '∠=?,
∴MBM '△
为等腰直角三角形. ∵POC △为直角三角形,OC =,∴60PCO ∠=?.
设MM a '=,
CM '=
,
1OM '=.∴100M ??' ? ???
,
,.
BM a a '==?
=
.∴11OM
'==. ∴100M ??'
? ??
?,,10M ? ??
2611AM ??=- ? ???
,,,(100)AB =,,.设平面ABM 的法向量11(0)m y z =,,. 116
0y z +
=,∴(062)m =-,, (020)AD =,,,(100)AB =,,.设平面ABD 的法向量为2(00)n z =,,,
(001)n =,,.
∴10
cos ,m n m n m n
?<>=
=
?. ∴二面角M AB D --的余弦值为10
. 20.
【解析】 ⑴设()P x y ,,易知(0)N x ,
(0)NP y =,又1022NM NP ?== ??
?,
∴1
2M x y ?
?
???
,,又M 在椭圆上. ∴2
2122x += ???
,即222x y +=. ⑵设点(3)Q Q y -,,()P P P x y ,,(0)Q y ≠,
由已知:()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=,,, ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=,
∴2
13OP OQ OP ?=+=, ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=.
设直线OQ :3Q y y x =
?-,
因为直线l 与OQ l 垂直. ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+, 令0y =,得3()P Q P y y x x -=-,
1
3
P Q P y y x x -?=-, ∴1
3
P Q P x y y x =-?+,
∵33P Q P y y x =+, ∴1
(33)13
P P x x x =-++=-,
若0Q y =,则33P x -=,1P x =-,1P y =±, 直线OQ 方程为0y =,直线l 方程为1x =-, 直线l 过点(10)-,,为椭圆C 的左焦点.
21.
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥,0x >,所以ln 0ax a x --≥.
令()ln g x ax a x =--,则()10g =,()11
ax g x a x x
-'=-
=
, 当0a ≤时,()0g x '<,()g x 单调递减,但()10g =,1x >时,()0g x <; 当0a >时,令()0g x '=,得1
x a
=. 当10x a <<
时,()0g x '<,()g x 单调减;当1
x a
>时,()0g x '>,()g x 单调增. 若01a <<,则()g x 在11a ?? ???,上单调减,()110g g a ??
<= ???;
若1a >,则()g x 在11a ?? ???,上单调增,()110g g a ??
<= ???;
若1a =,则()()min 110g x g g a ??
=== ???
,()0g x ≥.
综上,1a =.
⑵()2ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--,0x >.
令()22ln h x x x =--,则()121
2x h x x x
-'=-=
,0x >. 令()0h x '=得1
2
x =, 当102x <<
时,()0h x '<,()h x 单调递减;当1
2
x >时,()0h x '>,()h x 单调递增. 所以,()min 112ln 202h x h ??
==-+< ???
.
因为()22e 2e 0h --=>,()22ln 20h =->,21e 02-??∈ ???,,122??
∈+∞ ???
,,
所以在102?? ???,和12??
+∞ ???
,上,()h x 即()f x '各有一个零点.
设()f x '在102?? ???,和12??+∞ ???,上的零点分别为02x x ,
,因为()f x '在102??
???
,上单调减,
所以当00x x <<时,()0f x '>,()f x 单调增;当01
2
x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减.因此,0x 是()f x 的极大值点.
因为,()f x '在12??
+∞ ???
,上单调增,所以当212x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减,
2x x >时,()f x 单调增,因此2x 是()f x 的极小值点.
所以,()f x 有唯一的极大值点0x .
由前面的证明可知,201e 2x -?
?∈ ??
?,,则()()
24220e e e e f x f ---->=+>.
因为()00022ln 0f x x x '=--=,所以00ln 22x x =-,则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-,因为0102x <<,所以()01
4
f x <. 因此,()201
e 4
f x -<<
. 22.
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ,
,, 则0||OM OP ρρ==,. 000016
cos 4ρρρθθθ
=??
=??=?
解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=.()0x ≠
⑵连接AC ,易知AOC △为正三角形.
||OA 为定值.
∴当高最大时,AOB S △面积最大,
如图,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于H 点 交圆C 于B 点, 此时AOB S △最大
max 1
||||2
S AO HB =? ()1
||||||2
AO HC BC =
+
2=
23.
【解析】⑴由柯西不等式得:()()
()
2
2
5533
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号. ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()2
32a b b ab α??++-=??
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得:()()3
2
232a b a b ab a b +-+??= ?+??
≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+?? ?+??
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立.