江苏省南京市南师附中2019-2020学年高二下学期期中数学试题(解析版)

南京师大附中2019-2020学年度第2学期

高二年级期中考试数学试卷

注意事项：

1.本试卷共4页，包括单选题（第1题~第8题）、多选题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第题18题）、解答题（第19题~第23题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若2

20n =A ，则n 的值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】D 【解析】 【分析】

根据排列数公式可得出关于n 的二次方程，进而可解得正整数n 的值. 【详解】由排列数公式可得()2

120n A n n =-=，即2200n n --=，

n N *∈Q ，解得5n =.

故选：D.

【点睛】本题考查排列数方程的求解，考查排列数公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.函数()sin 2f x x =的导数是（ ） A. 2cos2x B. 2cos2x -

C. 2sin2x

D. 2sin 2x -

【答案】A 【解析】 【分析】

利用复合函数的求导公式可求得()f x '，进而可得出结果.

【详解】()sin 2f x x =Q ，()()()sin 22cos22cos2f x x x x x ∴'='='=.

故选：A.

【点睛】本题考查复合函数求导，考查计算能力，属于基础题. 3.若i 为虚数单位，复数z 满足()134z i i +=+，则z 的

虚部为（ ）

A.

52

i B.

52

C. 52

i -

D. 52

-

【答案】D 【解析】 【分析】

利用复数的模长公式和复数的除法法则可求得复数z ，进而可得出复数z 的虚部. 【详解】()1345z i i +=+=Q ，因此，()515551222

i z i i -=

==-+. 因此，复数z 的虚部为5

2

-. 故选：D.

【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查了复数的运算、复数的模、复数的实部虚部，考查计算能力，属于基础题.

4.已知等差数列{}n a ，若2a 、4038a 是函数()32

113

f x x x mx =-++的极值点，则2020a 的值为（ ） A. 1 B. 1-

C. ±1

D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】

求得()f x '，利用韦达定理和等差中项的性质可求得2020a 的值.

【详解】()3

2113

f x x x mx =-++Q ，()22f x x x m ∴-'=+， 由韦达定理240382a a +=，又()2020240381

2

a a a =+，所以20201a =.

故选：A.

【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了等差中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 5.已知复数z

满足11z -=，则z 的最大值为（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【分析】

设z x yi =+

，根据等式11z --=得出复数z 在复平面内对应的点的轨迹方程，然后利用z 的几何意义可求得z 的最大值.

【详解】设z x yi =+，由题意得(

)(2

2

11x y -+-=，圆心到原点的距离为2，max 23z r =+=.

故选：C.

【点睛】本题考查复数的模长公式、圆的最值问题，属于基础题. 6.若10x ke x --≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. (]0,1

C. ()0,∞+

D. [

)1,+∞

【答案】D 【解析】 【分析】

由参变量分离法得出1x x k e +≥

恒成立，构造函数()1

x

x g x e

+=，利用导数求出函数()y g x =的最大值，进而可求得实数k 的取值范围. 【详解】由题意得1x x k e +≥

恒成立，设()1x x g x e +=，令()

0x

x

g x e '=-=，则0x =， 当0x <时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增； 当0x >时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减. 所以，()()max 01g x g ==，故1k 3. 因此，实数k 的取值范围是[

)1,+∞. 故选：D .

【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于中等题. 7.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 12

B. 20

C. 36

D. 120

【分析】

每次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节目，此时有5个空，故有5种方法. 因此不同的插法共有20种. 故选：B.

【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.

8.定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若()()1231f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. 1,3

??-∞ ??

?

C. [)1,-+∞

D. 1,3??

+∞????

【答案】B 【解析】 【分析】

构造函数()()g x f x x =-，利用导数分析函数()y g x =的单调性，将所求不等式变形为

()()12g m g m ≥-，再由函数()y g x =的单调性可解此不等式，进而得解.

【详解】令()()g x f x x =-，()()10g x f x '='-<，故()y g x =单调递减.

()()1221f m m f m m -≥-+-，即()()12g m g m ≥-，12m m ≤-，1

3

m ≤.

因此，m 的取值范围是1,3

??-∞ ??

?

.

故选：B

【点睛】本题考查利用构造函数求解函数不等式，根据题意构造新函数并判断新函数的单调性，再依据新函数单调性化简不等式即可，属于中等题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）

A. z 的虚部为3

B. z =

C. z 的共轭复数为23i +

D. z 是第三象限的点

【答案】BC 【解析】 【分析】

利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】()234z i i +=+Q ，34232i

z i i

+∴=

-=-+，所以，复数z 的虚部为3-

，z =数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.

【点睛】本题考查复数的

四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题. 10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法

D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法 【答案】CD 【解析】 【分析】

利用捆绑法可计算出A 、B 选项中的排法种数，利用特殊位置法可计算出C 选项中的排法种数，利用插空法可计算出D 选项中的排法种数，综合可得出结果.

【详解】A 中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有

4424424576A A ==种不同的排法，A 选项错误；

B 中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有

35356120720A A =?=种不同的排法种数，B 选项错误；

C 中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有

2545121201440A A =?=种不同的排法种数，C 选项正确；

D 中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有

434524601440A A =?=种不同的排法种数，D 选项正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查排列组合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊位置法，考查计算能力，属于中等题. 11.已知函数()f x 定义域为[]1,5-，部分对应值如表，()f x 的导函数()f x '的图象如图所示. 下列关于函数()f x 的结论正确的有（ ）

x

1- 0

2

4 5 ()f x

1

2

2

1

A. 函数()f x 的极大值点有2个

B. 函数在()f x 上[]0,2是减函数

C. 若[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，则t 的最大值为4

D. 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】

利用导函数的图象可判断A 、B 选项的正误；取5t =，结合函数的最值与单调性的关系可判断C 选项的正误；作出函数()y f x =的草图，数形结合可判断D 选项的正误.综合可得出结论.

【详解】由导数的正负性可知，函数()y f x =的单调递增区间为(),0-∞、()2,4，单调递减区间为()0,2、

()4,+∞，B 选项正确；

函数()y f x =有2个极大值点，A 选项正确；

当[]1,5x ∈-时，函数()y f x =最大值是2，而t 最大值不是4，C 选项错误；

作出函数()y f x =的图象如下图所示，由下图可知，当12a <<时，函数y a =与函数()y f x =的图象有四个交点，D 选项正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

12.若函数()f x 的图象上存在两个不同的点A 、B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，称函数

()f x 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（ ）

A. x y e x =-

B. 42y x x =-

C. 3y x =

D. sin y x x =+

【答案】BD 【解析】 【分析】

根据题意可知性质T 指函数()y f x =的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中函数的导函数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A 、B 选项的正误；利用导数相等，求解方程，可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论.

【详解】由题意可得，性质T 指函数()y f x =的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.

对于A 选项，x

y e x =-，则1x y e '=-，导函数为增函数，不存在不同的两个x 使得导数值相等，所以A

不符合；

对于B 选项，函数42

y x x =-为偶函数，(

)

3

2

42221y x x x x '=-=-，

令0y '=，可得0x =或2

x =，如下图所示：

由图象可知，函数42

y x x =-在2

x =

和2x =B 选项符合；

对于C 选项，设两切点分别为(

)311,x x 和()

322,x x ，则两切点处的导数值相等有：22

1233x x =，解得：12x x =-，

令1x a =，则2x a =-，

两切点处的导数2

3y a '=，两切点连线的斜率为()()

332a a k a a a --==--，则223a a =，得0a =，两切点重合，

不符合题意，所以C 选项不符合；

对于D 选项，1cos y x '=+，设两切点得横坐标分别为1x 和2x ， 则121cos 1cos x x +=+，所以12cos cos x x =， 取12

x π

=

，252x π=

，则112y π=+，2512

y π

=

+， 两切点处的导数值为1y '=，两切点连线的直线斜率为21

21

1y y k x x -=

=-，

所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质T ，所以D 选项符合. 故选：BD.

【点睛】本题考查函数的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分

13.已知复数z 满足3

0z z

+=，则||z =_____________． 3 【解析】

分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案． 详解：由3

0z z

+

=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，

由2

3z =-得2

2

2

()23a bi a b abi +=-+=-，即223

20a b ab ?-=-?=?

，解得0,a b ==，

所以z =

，则z =．

点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 14.已知函数()23

x

f x x =+，则()0f '的值为_____________. 【答案】

13

【解析】 【分析】

先求出()f x '，进而可求得()0f '的值.

【详解】()23x f x x =+Q ，()()()()

2

2

22222

32333x x x f x x x +--'∴==++，因此，()103f '=. 故答案为：

1

3

. 【点睛】本题考查导数的计算，只需对函数进行求导，再代入值即可，属于基础题.

15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有________种（请用数字作答）. 【答案】216 【解析】 【分析】

分两种情况讨论：①甲在最右边；②乙在最右边.分别计算出两种情况下的排法种数，利用分类加法计数原理可求得结果.

【详解】分两种情况讨论：①甲在最右边，则其他位置的安排没有限制，此时排法种数为5

5A ；

②乙在最右边，甲在除了最左边和最右边以外的四个位置，再对剩下四个进行排列，此时，排法种数为1

4

44C A . 综上所述，不同的排法种数为5

1

4

544216A C A +=.

故答案为：216.

【点睛】本题考查排列组合，解题的关键就是要对甲的位置分类讨论，考查计算能力，属于中等题. 16.直线y m =与直线23y x =+和曲线ln 2y x =分别相交于,A B 两点，则||AB 的最小值_____． 【答案】2 【解析】 【分析】

通过图像可以判断出，y m =与23y x =+的交点在与ln2y x =的交点的左边， 求出两点的横坐标，然后做差，得到AB 关于m 的函数，然后利用导数求出其最小值， 【详解】如图，设直线y m =与23y x =+的交点为A ,直线y m =与ln2y x =的交点为B ,

则A 在B 的左侧，则32A m x -=，2

m

B e x =

所以3

22

m e m AB -=-

设()322m e m f m -=-

，()1

2

m e f m -'∴= 当0m <时，()0f m '<，()f m 单调递减；当0m >时，()0f m '>，()f m 单调递增， 所以当0m =时，()f m 取得极小值，也是最小值，()()0min 03

022

e f m f -+===

故AB 的最小值为2

【点睛】本题考查函数图像与解析式的结合，数形结合的数学思想，将线段长度表示为函数，利用导数求出函数的最值，综合性比较强，属于难题. 17.已知函数()()1x

f x e

x =-，则它的极小值为_______；若函数()g x mx =，对于任意的[]12,2x ∈-，

总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】 (1). 1- (2). ()1,1,2?

?

-∞-+∞ ???

U 【解析】 【分析】

（1）利用导数可求得函数()y f x =的极小值；

（2）由题意可得出()()min min f x g x >，分0m >、0m <、0m =三种情况讨论，根据题意可得出关于m 的不等式，进而可求得m 的取值范围. 【详解】（1）由()()1x

f x e x =-，得()()1x x x f x e x e xe '=-+=，令()0f x '=，得0x =，

列表如下：

所以，函数()y f x =的极小值为()()0

0011f e

=-=-；

（2）[]12,2x ?∈-，[]21,2x ?∈-，使得()()12f x g x >，即()()min min f x g x >，

()()min min 1g x f x ∴<=-. ①当0m >时，函数()y g x =单调递增，()()min 1g x g m =-=-，

1m ∴-<-，即1m >；

②当0m <时，函数()y g x =单调递减，()()min 22g x g m ==，21m ∴<-，即1

2

m <-； ③当0m =时，()0g x =，不符合题意. 综上：()1,1,2m ??

∈-∞-

+∞ ???

U . 故答案为：1-；()1,1,2??

-∞-

+∞ ??

?

U . 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了存在性问题与恒成立问题综合，考查分类讨论

思想的应用，属于中等题.

18.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()3

f x x x =+.若函数

()()t

h x f x x

=-在[)(]4,00,4-?上有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是_____________.

【答案】()6,2- 【解析】 【分析】

推导出函数()y f x =的周期和对称轴方程，并作出函数()y f x =在[]4,4-上的图象，数形结合可得出关于t 的不等式，进而可求得实数t 的取值范围.

【详解】由()()()()

2f x f x f x f x ?-=+??-=-??得：()()4f x f x +=，所以，函数()y f x =的周期为4， 由()()2f x f x -=+得()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =关于直线1x =对称，

()3f x x x =+Q ，[]0,1x ∈，()2310f x x '=+>，

所以，函数()y f x =在[]0,1x ∈上单调递增，()y f x =在[]4,4x ∈-上的图象如下：

函数()()t h x f x x =-

的零点，即()y f x =与()t

g x x

=的图象的交点. ①当0t >时，要有四个交点，则需满足()()11g f <，即2t <，此时02t <<； ②当0t <时，要有四个交点，则需满足()()33g f >，即

23

t

>-，即60t -<<； ③当0t =时，()0g x =，即()y f x =在[)(]4,00,4-?上的零点，有4个，分别是4x =-、2-、2、4，满足题意. 综上：()6,2t ∈-.

故答案为：()6,2-.

【点睛】本题利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.

四、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

19.设复数12()z ai a R =-∈，243z i =-. （1）若12z z +是实数，求12z z ?； （2）若

1

2

z z 是纯虚数，求1z 的共轭复数. 【答案】(1) 12=176z z i ?+ (2) 823

i - 【解析】 【分析】

（1）由12z z +是实数求得a ，再由复数代数形式的乘法运算求z 1?z 2的值；（2）利用复数代数形式的除法运

算化简12

z z ，由实部为0且虚部不为0求得a ，再由共轭复数的概念可得答案．

【详解】解：（1）∵126(3)z z a i +=-+是实数， ∴3=03a a +=-，，123z i =+， ∴12(23)(43)176z z i i i ?=+-=+.

（2）∵

()()()()122432(83)(64)43434+325

ai i z ai a a i

z i i i -+-++-===--是纯虚数， ∴830640

a a +=??-≠?，即83a =-，18

23z i =+，

故1z 的共轭复数为823

i -.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念和共轭复数的求法，属于简单题． 20.已知函数()()()3211

66,32

f x x a x ax b a b R =

-+++∈. （1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率为2-，求a 、b 的值； （2）若在区间()2,3上，函数()f x 不单调，求a 的取值范围.

【答案】（1）1

3

a =-，0

b =；（2）()2,3. 【解析】 【分析】

（1）根据题意可得()()00

02

f f ?=??=-'??，进而可解得a 、b 的值；

（2）根据题意可知，函数()y f x =在区间()2,3上有极值点，设()()x f x ?'=，分函数()y x ?=在区间

()2,3只有一根，或两根，利用二次函数零点分布可得出关于a 的不等式组，由此可解得a 的取值范围.

【详解】（1）()000f b =?=Q ，()()2

66f x x a x a ∴'=-++，()062f a '==-，解得1

3

a =-；

（2）由题意得()0f x '=在()2,3上有解，令()()2

66x x a x a ?=-++.

①一根在()2,3上，()()632202330a a ??+?≥??>?<

222030a ??+?≤??

??

，该不等式组无解；

②两根在()2,3上，()()()262406232

2030

a a a ????=+->?

+?<

?>?? ，该不等式组无解. 综上()2,3a ∈.

【点睛】本题难度一般.第一问考查了导函数的几何意义，第二问直接考查了导函数的极值问题，间接考查了二次方程根的分布问题，属于中等题.

21.为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》

、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：

（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 【答案】（1）3

8

；（2）48；（3）10.

【解析】

【分析】

（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果；

（2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分步乘法计数原理可求得结果；

（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》；②三位同学都选择《数学史》.分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）三位同学选择课程共有3464=种情况；

三位同学选择的课程互不相同共有3

424A =种情况，所求概率为

243

648

=； （2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有2

412A =种情况，丙有4种不同的选择，

所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有12448?=种情况；

（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有2

1

339C C ?=种不同的情况； ②有三位同学选择《数学史》共有1种情况. 综上所述，总共有9110+=种不同的选课种数.

【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本应用，属于中等题.

22.如图，某景区内有两条道路AB 、AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把ABC V 所在的区域改造成绿化区域.已知6

BAC π

∠=

，2AB km =，23AP km =.若绿化区域ABC V 改造成本为10万

元2/km ，新建道路BC 成本为10万元/km .

（1）①设ABC θ∠=，写出该计划所需总费用()F θ的表达式，并写出θ的范围； ②设AC x =，写出该计划所需总费用()F x 的表达式，并写出x 的范围； （2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C 在何处时改造计划的总费用最小.

【答案】（1）①

()10sin 105sin 6F θθπθ+=

??- ???

，

20,

3πθ?

?∈ ??

?

；

②(

)(11002F x x x ?=?+<≤ ?；（2

）3

AC =. 【解析】 【分析】

（1）①利用正弦定理求出BC 、AC 关于θ的表达式，根据题意可得出()F θ的表达式，并可求得θ的范围；

②设AC x =，利用余弦定理求出BC ，根据题意可得出()F x 的表达式，并可求得x 的取值范围； （2）利用导数求得函数()y F θ=的最小值，及其对应的θ的值，进而得解.

【详解】（1）①设ABC θ∠=，由正弦定理得25sin sin

sin 66AC

BC

ππθ

θ=

=

??

- ???

， 15sin 6BC πθ∴=

??- ???，2sin 5sin 6AC θ

πθ=

??- ???

， ()101110sin 10

1010102sin 5552sin sin sin 666ABC F BC S θθθπππθθθ+∴=+=

+???=

??????--- ? ? ???????

V .

当点C 与点P 重合的时候，23πθ=，所以20,3πθ??∈ ???

； ②设AC x =

，BC =

()(

)(1101002ABC F x S BC x x ?=+=?+<≤ ?V ；

（2）(

)10sin 105sin 6F θθπθ+==??

- ???

(

)()

2

40sin 203cos F πθθθθ??-+ ???'= ， 令()0F θ'=，得1sin 32πθ?

?

-

=- ??

?，且,333πππθ??-∈-????

，所以36ππθ-=-，得6πθ=. 当0,

6πθ?

?

∈ ??

?

时，()0F θ'<，此时，函数()y F θ=单调递减； 当2,63ππθ??

∈

??

?

时，()0F θ'>，此时，函数()y F θ=单调递增.

所以当6

π

θ=

，即3

AC =

时，改造计划的总费用最小. 【点睛】本题考查导数在实际生活中的应用，要注意以边、角分别为变量求得函数解析式，并利用导数求出函数的最值，是常见题型，难度中等.

23.设函数()()ln f x x ax a R =-∈，()()g x xf x =. （1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （2）①若1

2

a =

，试讨论()g x 的单调性； ②若()2

2

e g x =有两个不同的零点，求a 的取值范围，并说明理由.

【答案】（1）1

a e ≥；（2）①在()0,∞+单调递减；②2302a e

<<，理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）由()0f x ≤得出ln x a x ≥

，令()ln x

h x x

=，利用导数求出函数()y h x =的

最大值，进而可得出实数

a 的取值范围；

（2）①将1

2

a =

代入函数()y g x =的解析式，利用导数可求得函数()y g x =的单调区间； ②由参变量分离法得出22ln 2x e a x x =-，构造函数()2

2ln 2x e x x x

?=-，利用导数分析函数()y x ?=的单调

性与极值，进而可求得实数a 的取值范围.

【详解】（1）()ln 0f x x ax =-≤Q ，ln ax x ∴≥，则ln x

a x

≥， 令()ln x h x x =

，则()21ln x

h x x -'=，令()2

1ln 0x h x x

-'==，得x e =. 当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增； 当x e >时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减.

()()max 1h x h e e

∴==，则1

a e ≥，

因此，实数a 的取值范围是1,e ??+∞????

； （2）①当1

2a =

时，()21ln 2

g x x x x =-，则()ln 1g x x x '=-+，

令()ln 1h x x x =-+，则()111x h x x x

-'=

-=， 当01x <<时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增； 当1x >时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减.

()()max 10h x h ∴==，()0h x ∴≤恒成立，即()0g x '≤恒成立，

因此，函数()y g x =在()0,∞+上单调递减；

②由()22

e g x =，得22

ln 2e x x ax -=，得22ln 2x e a x x =-，

令()22ln 2x e x x x ?=-，其中0x >，则()22

233

1ln ln x e x x x e x x x x

?--+'=+=， 令()2

ln s x x x x e =-+，()ln s x x '=-，

当01x <<时，()0s x '>，此时函数()y s x =单调递增； 当1x >时，()0s x '<，此时函数()y s x =单调递减.

()21s e =Q ，()

20s e =，当1x <，()22ln 1ln 0x x x e x x e -+=-+>，

当21x e <<时，()()2

0s x s e >=，则()0x ?'>；

当2x e >时，()()2

0s x s e

<=，则()0x ?'<.

所以，函数()y x ?=在区间(

)2

0,e

上单调递增，在区间()2

,e +∞单调递减，则()

()22

max

3

2x e e ??==

，且当2

x e >时，()2

2

2ln 02x x e x x

?-=>， 所以，2

302a e <<

. 【点睛】本题考查利用导数的综合应用，考查恒成立问题分析法和分参法，二次求导分析函数单调性，前两问正常难度，分析讨论，最后一问考查了隐零点，取点等函数分析法，难度较大，考验学生的分析能力，属于难题.