(完整word版)西安交通大学数理统计研究生试题

2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2

(0,3)N ，而12

9(,,)X X X 和

129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y

的样本，则U =

服从的分布是_______ .

解：(9)t ．

2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ .

解：1212

????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.

解：秩和检验、游程总数检验．

4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．

5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β=

()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1，设12(,,

,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为

样本方差，则____D___ .

（A ）(0,1)nX

N ； （B ）22()nS n χ；

（C ）

(1)()n X

t n S

-； （D ）

2

122

(1)(1,1)n

i

i n X F n X

=--∑.

2，若总体2(,)X

N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量

n 增大，则μ的置信区间____B___ .

（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.

3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .

（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大；

（C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A

S 为效应平方和，则总有___A___ .

（A ）T e A S S S =+； （B ）22

(1)A

S r χσ

-；

（C ）

/(1)

(1,)/()

A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.

5，在一元回归分析中，判定系数定义为2

T

S R S =

回

，则___B____ . （A ）2

R 接近0时回归效果显著； （B ）2

R 接近1时回归效果显著； （C ）2

R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)X

N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,

,)n X X X 和

212(,,

,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2

2X Y S S 、分别是

它们的样本均值和样本方差，证明

12(2)X Y t n n +-，

其中22

2

1212(1)(1)2

X Y

n S n S S n n ω-+-=+-.

证明：易知

2

2

121

2

(,

)X Y

N n n σσμμ--+

，

(0,1)X Y U N =

．

由定理可知

2

2

112

(1)(1)X

n S n χσ

--，

2

2222

(1)(1)Y

n S n χσ

--．

由独立性和2

χ分布的可加性可得

2

2

212122

2

(1)(1)(2)X

Y

n S n S V n n χσσ--=

+

+-．

由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得

12(2)X Y t n n =

+-．

四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0

(),0, x

e x

f x θ

θ-?>?=???

其它其中未知参

数0θ>, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无

偏估计量．

解：（1）()10

1

()x

v E X xf x dx xe dx θ

θθ

-

∞

∞

-∞

====?

?

，用111n

i i v X X n ===∑代替，所

以

∑===

n

i i

X X

n

1

1

?θ．

（2）1

1?()()()()n i i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． 五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θ

θθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,

)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．

解：

1 (1)() , 01

() 0 , n

n i i i x x L θ

θθ=?+∏<

当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑，令

1

l n ()l n 01n

i i d L n

x d θθθ==+=+∑，得

1

?1ln n

i

i n

x

θ

==--∑．

六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;

(;)0,

0,x x f x x λλλ-?=?≤? 未知参数0λ>，

12(,,

)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是

1

λ

的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得

222211

()ln (;)I E f x E λλλλλ???-??=-=-= ????????

，

1

λ

的的无偏估计方差的C-R 下界为 2

2212

2

1[()]11()nI n n λλλλλ

-????'??==． 另一方面

()1E X λ=， 2

1

V a r ()

X n λ

=， 即X 得方差达到C-R 下界，故X 是

1

λ

的UMVUE ． 七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？

参考数据: 023.19)9(2

025.0=χ,

919.16)9(2

05.0=χ,

535.17)8(2

025.0=χ,

507.15)8(2

05.0=χ．

解：（1）()()22

2

202

1:0.005,

~8n S H σχχσ

-≤=，则应有： ()()222

0.050.05

80.005,(8)15.507P χχχ>=?=， 具体计算得：2

2

2

80.00715.6815.507,0.005χ?==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差

指标未达到要求．

（2）新设 2

0:0.005,H σ≤ 由2

22

0.025

2

80.00717.535,15.6817.535,0.005

χ

χ?=?==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．

八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，2

11~(,)X μσ，2

22~(,)Y μσ，

221212, , , μμσσ未知，112(,,

,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求

2

122

σσ的置信度为1α-的置信区间. 解：设2

2

, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知

2

2

112

1(1)(1)X

n S n χσ--，

2

22222

(1)(1)Y

n S n χσ--，

由F 分布的定义可得

2

112221

2122

22

21

222

(1)(1)(1,1)(1)(1)

X

X Y

Y n S n S F F n n n S S n σ

σσσ--=

=----．

对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即

22222

121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----??

， 所求222

1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222

1/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-?? ?----??

．

九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．

解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．

2009(上)《数理统计》考试题(B 卷)及参考解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12

15(,,)X X X 是来自X 的样本，则

22

110

22

11152()

X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ．

2，?n

θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n

n n E θθθ→∞

→∞

==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2

χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .

解：推断各因素对试验结果影响是否显著．

5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βC o v ()=

_______ . 解：1?σ-'2Cov(β)

=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1，设总体~(1,9)X N ，129(,,

,)X X X 是X 的样本，则___B___ .

（A ）

1~(0,1)3X N -； （B ）1

~(0,1)1X N -； （C ）

1

~(0,1)

9X N -； （D ~(0,1)X N ． 2，若总体2(,)X

N μσ，其中2

σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α

-减小，则μ的置信区间____B___ .

（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前

述都有可能.

3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；

（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；

（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.

4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A

S 为效应平方和，则总有___A___ .

（A ）T e A S S S =+； （B ）22

(1)A

S r χσ-；

（C ）

/(1)

(1,)/()

A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.

5，在多元线性回归分析中，设?β

是β的最小二乘估计，??=-εY βX 是残差向量，则___B____ .

（A ）?n E ()=0ε

； （B ）1?]σ-''-ε

X X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）

??1

n p '--εε是2

σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.

三、（本题10分）设总体21(,)X

N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,

,)n X X X 和

212(,,

,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2

2X Y S S 、分别是

它们的样本均值和样本方差，证明

12(2)X Y t n n +-，

其中22

2

1212(1)(1)2

X Y

n S n S S n n ω-+-=+-.

证明：易知

2

2

121

2

(,

)X Y

N n n σσμμ--+

，

(0,1)X Y U N =

．

由定理可知

2

2

112

(1)(1)X

n S n χσ

--，

2

2222

(1)(1)Y

n S n χσ

--．

由独立性和2

χ分布的可加性可得

2

2

212122

2

(1)(1)(2)X

Y

n S n S V n n χσ

σ

--=

+

+-．

由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得

12(2)X Y t n n =

+-．

四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1

, 0,21

(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ?<

???

其他，其中参

数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求

参数；的矩估计量θθ?（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．

解：（1）

10

1()(,)22(1)42

x x E X xf x dx dx dx θθθ

θθθ+∞-∞

==+=+-?

?

?，

令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1

?22

X θ

=-． （2）

22221114

1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n

θθθ??==+=++=+++????，

因为()00D X θ≥>，，所以2

2

(4)E X θ>．故2

4X 不是2θ的无偏估计量．

五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自

总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为

1

,0;(,)0,x f x θ

θθ≤≤?=??

其他,

似然函数为

1

,0,1,2,,,

()0,

n i x i n L θθθ<<=??=?

??其它

显然

0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以

{}12?max ,,,n

X X X θ=是θ的极大似然估计． 六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,

)n X X X 为总体的样本，证明X

是参数p 的一个UMVUE ．

证明：X 的分布律为

1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．

容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是

2

1

()ln (;)(1)I p E f x p p p p ???==

???-??

． 另一方面

1(1)1

Var()Var()()

p p X X n n nI p -=

==， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．

七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布2

0(,)N μσ，由以前的观测可知

056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==,

问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：

t 分布表 χ2

分布表

解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量

)15(~0

t n

s X t μ-=

， 确定拒绝域的形式2

t t α??>???

?

．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒

绝域{}1315.2>t ．

而60,

16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t =

==<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．

八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，2

11~(,)X μσ，2

22~(,)Y μσ，

221212, , , μμσσ未知，112(,,

,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求

2

122

σσ的置信度为1α-的置信区间. 解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2

2

21 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则

22222

1211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----??

， 所求222

1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222

12121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-?? ?----??

．

九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．

2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A ）

1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本，令1

1

n

d X i n

i μ=-∑=，试证

(

)E d ，()2

21D d n σπ??=- ???。(10分) 2设总体X 服从正态()

2N μσ，，,,,12X X X n 为其样本，X 与2S 分别为样本均值及方差。又

设1X n +与,,,12X X X n

独立同分布，试求统计量Y

（其中122

()11

n S X X i n i =

-∑-=）(10分) 3

其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. (10分)

4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 1

1是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(k

X E 的无偏估计量。

(10分)

5 假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2

σμN ，σμ,未知。为了决定商店对该商品的进货量，需对μ作估计，为此，随机抽取若干月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，求μ的置信度为0.95的置信区间。(10分)

6 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。(10分)

7 某小学一年级共有三个班级，在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩。设学生成绩服从正态分布且方差相等，样本的方差分析表如下表1所示，问在显著性水平为0.05时，三个班的平均成绩有无显著差异？(10分)

表1 方差分析表

8某问题是一个四因素二水平试验，选用L 8（27）正交表，要考虑A×B ，试验方案设计及试验结果见表2。（15分）

（1） 各因素及交互作用的主次顺序（指标y 越大越好）。 （2） 试找最优工艺条件。

（3） 在显著水平α =0.05下，哪些因素的影响显著？

表2

9营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关。为了利用社会商品零售总额预测税收总额，现收集了以下数据，见表3。（15分）

（1（2）在显著水平α =0.05下检验回归方程的线性性。

（3）预测当社会商品零售总额300 x 亿元时的营业税的平均税收总额。 附表：

2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A ）

1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本，令1

1

n

d X i n

i μ=-∑=，试证

(

)E d ，()2

21D d n σπ??=- ???。(10分) 2设总体X 服从正态()

2N μσ，，,,,12X X X n 为其样本，X 与2S 分别为样本均值及方差。又

设1X n +与,,,12X X X n

独立同分布，试求统计量Y

（其中122

()11

n S X X i n i =

-∑-=）(10分) 3

其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. (10分)

4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 1

1是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(k

X E 的无偏估计量。

(10分)

5 假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2

σμN ，σμ,未知。为了决定商店对该商品的进货量，需对μ作估计，为此，随机抽取若干月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，求μ的置信度为0.95的置信区间。(10分)

6 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。(10分)

7 某小学一年级共有三个班级，在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩。设学生成绩服从正态分布且方差相等，样本的方差分析表如下表1所示，问在显著性水平为0.05时，三个班的平均成绩有无显著差异？(10分)

表1 方差分析表

8某问题是一个四因素二水平试验，选用L 8（27）正交表，要考虑A×B ，试验方案设计及试验结果见表2。（15分）

（4） 各因素及交互作用的主次顺序（指标y 越大越好）。 （5） 试找最优工艺条件。

（6） 在显著水平α =0.05下，哪些因素的影响显著？

表2

9营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关。为了利用社会商品零售总额预测税收总额，现收集了以下数据，见表3。（15分）

（1（2）在显著水平α =0.05下检验回归方程的线性性。

（3）预测当社会商品零售总额300 x 亿元时的营业税的平均税收总额。 附表：

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西安交通大学研究生试卷

考试科目：数理统计

考试时间：2008 年 1 月8 日时——时考试方式：闭卷

学号：姓名：成绩

注：命题纸上一般不留答题位置。字、图清楚，请勿超出边框，以便复印。

第 2 页共3 页

西安交通大学研究生课程考试题（数理统计2007）

附表：

标准正态分布的分布函数值：(1.96)0.9750Φ=

t 分布的上侧分位数： 2χ分布的上侧分位数：

F 分布的上侧分位数：0.025(9 9) 4.03F =，

，0.05(2 12) 3.89F =，。

一．

填空题（本题分值为30） (1)

设

1,,n

X X 为i.i.d.，其含义

是 。 (2)

设~(0,1)U N ，若有{}P U c α<= (01)α<<，则c= （用(0,1)N 分布的上侧分位数符号表示）。 (3)

设11,,

,,,n n n m X X X X ++为正态总体2(0,)N σ的样本，若要

2121

~(,)n

i i n m

i

i n X a

F b c X

=+=+∑∑

则a = ，b = ，c = 。 (4) 写出估计参数最常用的三种方法：

， ， 。 (5)

若参数假设问题0011::H H θθΘΘ∈?∈的拒绝域为W ，则该检验犯第I 类错误的概率1p = ，犯第II 类错误的概率2p = 。 二．（本题分值为12）已知总体X 的概率密度函数为

1112221

1exp ,(;,) 0, x x f x x θθθθθθθ???

-->???

=???

?

设1,,n X X 是总体X 的样本，求未知参数12,θθ的矩估计。

五．（本题分值为12）

（1）完成下列方差分析表中欠缺的项目：

（3）由上述方差分析表，检验各组均值是否有显著差异(0.05)α=？

（4）已知在因素的每一水平上进行等重复试验，且算得187.2x =，255.4x =，求

12μμ-的95%置信区间

六．（本题分值为6）假设(,)i i x y 满足线性回归关系：

i i i y a bx ε=++， （1,

,i n =）

其中1,

,n εε为i.i.d.且21~(0,)N εσ，1,,n x x 不全相同，试用极大似然法估计

参数,a b 。

七．（本题分值为6）设1,

,n X X 是取自2(0,)N σ的样本，其中0σ>为未知参数。

（1）问1

1n

i i X n σ==∑是否为σ的无偏估计？（若认为是σ的无偏估计，请给出证明；

若认为不是，对它作适当的修正，给出σ的无偏估计。） （2）针对（1）的讨论结果，求σ的无偏估计的（有）效率。

八．（本题分值为5）设~(,1)X N μ，其中μ为未知参数，()F x 为X 的分布函数。又

设常数c 满足等式：()0.975F c =。先从总体X 抽取一个样本，算得 3.04x =，求c 的极大似然估计值。 九．（本题分值为5）设1,

,n X X 为取自总体X 的样本，已知总体X 的分布函数()F x

为连续函数，证明(1)()~(1,)F X n β，其中(1)X 是第一顺序统计量（已知(1,)n β分

布的概率密度为1(1), 01

(;1,) 0, n n x x f x n -?-<<=??其他

）。

试卷清晰度较差，部分数据可能有误，自己看着参考。若我看错了，忘见谅！

这张试卷效果实在太差，很多内容看不太清，部分数据可能有误，但类型应该差不多，若我看错了，忘见谅！

西安交通大学研究生课程考试题（数理统计2002）

一．（本题满分14分）

已知某零件的长度服从正态分布2

(,)N u σ，其中22

5.5mm σ=，从一大堆这种零件中

随机抽取n 个，测量其长度。现用子样均值X 来估计母体均值u ，此时： （1） 若要估计量的标准差在1 2

mm 之下，n 应取多大？

（2） 若要估计误差的绝对值超过1 mm 的概率在1%以下，n 应取多大？

二．（本题满分20分）

判断下列命题的真伪并简述理由：

1.“统计量”与“估计量”是同一概念。

2.“点估计”与“区间估计”的关系为：前者是后者的一种…………（瞅不清）

3.设母体X 的均值和方差都存在，123,,X X X 为来自母体X 的一个简单随机子样，则

11231()3X X X θ=++与2123111236

X X X θ=

++都是()E X 的无偏估计，且1?θ比2?θ有效。 （4）在一个确定的假设检验问题中，其判断结果不但与其检验水平a 有关，而且与抽

到的子样有关。 四．（本题满分14分） 已知某种设备的工作温度服从正态分布，现作十次测量，得数据（C ） 1250 1275 1265 1245 1260 1255 1270 1265 1250 1240 （1） 求温度的母体均值u 的95%置信区间。 （2） 求温度母体标准差σ的95%置信区间。 五．（本题满分14分）

设有两个独立的来自不同的正态母体的子样：

（-4.4，4.0，2.0，-4.8） （6.0，1.0，3.2，-4.0） 问能否认为两个字样来自同一母体（0.05α=）？ 六．（本题满分12分）

显著差别？（0.05α=）

七．（本题满分15分） 在某乡镇，随机地走访了十户居民加，得其家庭月收入（x ）与日常开支（y ）的子样数据如下（单位：元）

收入x ：820 930 1050 1300 1440 1500 1600 1800 2000 2700 支出y ：750 850 920 1050 1200 1300 1300 1450 1560 2000 （1） 求日常开支y 与家庭月收入x 间的经验回归方程； （2） 检验回归效果是否显著？（0.05α=）

（3） 对02200x =（元），给出y 的置信概率为95%的预测区间。 八．（本题满分6分）

已知母体X 为一个连续型随机变量，X 的分布函数是()F x ，设12,,

n X X X 是来自

母体X 的简单随机子样，试证随机变量1

2ln[()]n

i

i Y F X ==-∑（瞅不清，

似乎是）服从2

(2)

n χ分布。