2013年广东高考文科数学试题与答案解析

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科A 卷）解析

从今以后，高考数学不再愁～

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：1

3

V Sh =

．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A 2(1,)+∞ D ．[1,1)(1,

- ：对数真数大于零，分母不等于零，取交集，选C 3x yi +的模是 5

【解析】：复数相等用对比系数法得4,3x y ==-再开方，得5，选D. 4．已知51

sin(

)25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25

【

解

析

】：

奇

变

偶

不

变

，

符

号

看

象

限

，

51sin(

)sin(2+)sin cos 2225πππαπααα??

+=+=+== ???

，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】注意临界点，选C.

6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是

图 1

A ．

16 B ．13 C ．2

3

D ．1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111

=112=323

V ????，选B.注意公式，别记错！

7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是

A ．0x y +=

B ．10x y ++=

C ．10x y +-=

D ．0x y ++=

【解析】数形结合法，把图画出来，圆心到直线的距离等于1r =，直接法可设所求的直线

方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =选A.

8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A ．若//l α，//l β C ．若l α⊥，//l β 【解析】画出一个正方体，关注面内面外，关注相交线，选9．已知中心在原点的椭圆A ．14322=+y x 1 ．24 1

【解析】记好离心率公式，1,2,c a b === D.

10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量

a 的分解，有如下四个命题：

①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+

a b c ；

②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+

a b c ；

③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+

a b c ；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+

a b c ；

上述命题中的向量 b ， c 和

a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】法一：

利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以

a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λ

b 有交点，这个不一定能满足，③是错的；

利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须

=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B

法二：特殊值法，③中取正数μ为0.1，单位向量 b 取

a 得垂直方向，便可判断③错 ④取给定正数λ和μ分别0.1,0.1，把

a 画长一点，注意单位向量的模等于一，所以

λμ=+ a b c

不一定满足。 非智力因素：答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax =-

【解析】求一个变量，只需一个方程13．已知变量,x y 满足约束条件≥1最大值是

．【解析】画出可行域如图，把z x y =+化为斜截式，最优解为

()1,4，故填 5 ；

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．

【解析】两边乘以ρ再利用极坐标与直角坐标互化公式得方程()2

2

11x y -+=，易

的则曲线C 的参数方程为

1cos sin x y θ

θ=+??=?

（θ为参数），可回想平时的练习题，逆过来便是

15．（几何证明选讲选做题）

如图3，在矩形ABCD

中，AB 3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．

【解析】法一：由AB =3BC =，可知60BAC ∠=

从而302

AE CAD =

∠= ，

2

DE =. 法二：特殊值法，过D 做DF 垂直ＡＣ，ＡＣ由勾股定理可求，目测或测量或利用相似三角形得ＡＥ为AC 的四等分点，则ＥＦ便可求，再用勾股定理便可求ＤＥ

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数()

f x =

(1) (2)

【解析】(1)

3

f ??=

???（2）33cos ,,252πθθπ??

=

∈ ???

，4sin 5θ==-，

1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ?????∴--=+=- ?

???????．

备考策略：注重通解通法的掌握，不搞难题，偏题。 17．（本小题满分13分）

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；

图 3

图 4

(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在

[80,85)的有几个？

(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．

【解析】（1）苹果的重量在[

)95,90的频率为20

=0.450

； （2）重量在[

)85,80的有5

4=15+15

?

个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[

)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：

（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[

)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，1

2

. 备考策略：记好公式，找一些经典的同类型题目，比如近几年的高考或广州一摸做熟练便可过关。另外注意书写，简单题目改得很严！ 18．（本小题满分13分）

如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将

ABF ?沿AF A BCF -，其中2

BC =

． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当2

3

AD =

时，求三棱锥F DEG -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =

AD AE

DB EC

∴

=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ? 平面BCF ，

BC ?平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；

（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12

BF CF ==

.

在三棱锥A BCF -

中，BC =222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②

BF CF F CF ABF ?=∴⊥ 平面；

（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面

.

11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --?∴==????=????= ??

19．（本小题满分14分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前

n 项和为n S ，满足2

144

1,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．

(1)

证明：2a =

(2) 求数列{}n a 的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数+【解析】（1）当1n =时

=（2）当2n ≥时，)()2

221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+

∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.

2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=?，()()2

222824a a a +=?+，解得23a =,

由（1）可知，2

12145=4,1a a a =-∴=

21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.

∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）

()()

122311111111

1335572121n n a a a a a a n n ++++=++++???-+

11111111123355721211111.2212

n n n ??????????=?-+-+-+- ? ? ? ???-+????????????=?-

本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.有的学生不用2514,,a a a 构成等比数列这个条件也能求出通项，肯定被扣分。所以学得好不如考得好，平时要注意如何避免被扣分。

20．（本小题满分14分）

已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离

为

P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；

(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ?的最小值．

【解析】（1

）依题意2

d =

=

，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；

（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，

由24x y =,即2

14y x ,=

得y '=12

x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2

11

1x x x y y -=

-， 即21112

1

2x y x x y -+=

. ∵2

1141x y =

， ∴112

y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101

02

y x x y -=

. ① 同理， 202

02

y x x y -=

. ② 综合①、②得，点

y x x

-02

. ∵经过11(,),(A x y B ∴直线AB 的方程为（3）由抛物线的定义可知1,所以(121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++

联立2004220

x y x x y y ?=?--=?，消去x 得()

22

200020y y x y y +-+=， 22

1200120

2,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=

()2

222

00000021=221AF BF y y x y y y ∴?=-++-+++

2

200019=22+5=2+22y y y ??++ ??

?

∴当012y =-时，AF BF ?取得最小值为9

2

点评：此类型讲过ｎ遍了，此题其实就是把两道经典题型给有机结合起来。第二问采取压住变量法，把11,y x 看成已知，求出切线方程，同理可得另一条切线方程，接着再把00,y x

看成已知，两点确定一条直线，便可求出直线ＡＢ的方程。第三问也是经典，求最值不外有五种方法（单调性，二次函数，导数，均值不等式，三角函数），一种思想（消元思想），一个注意（注意定义域的取值范围）。

21．（本小题满分14分）

设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；

(2) 当0

23

f

x x =(1)当1k =时()'

3

f

x =()'0f x ∴>,()f x 在R （2）当0k <时，('

f

x （i ）当2

412k ?=-=≤0k <时，()'

0f x ≥，()f x 在[,k -从而当x k =时，()f x 取得最小值(m f =当x k =-时，()f x 取得最大值

()3332M f k k k k k k =-=---=--.

（ii ）当

(

2

412

30k ?

=-=+->，即k <时，令

()'23210f x x kx =-+=

解得：12x x ==

,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ?=，1223

k

x x k +=

>,从而210k x x <<<；或者用特殊值法判断)

()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-

()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>

()f x ∴的最小值()m f k k ==,

()()()()()2

32

322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---?-+-++<

()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--

综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()3

2M f k k k =-=--

【解析】：看着容易，做着难！只要高考存在，分类讨论都需要。难点在于如何进行分类讨论（课堂上会详细讲解，这里只做简单描述），求最值有五种方法，习题用上求导加单调性，由于?取值的不清楚，导致要讨论，分?小于或等于零，和?大于零，（等号看具体的问题二论），如此一来，单调性明确，求最值，最值不在顶点取到便在端点取到，如此大的思路就容易把握了。本题第二问还有一个难点，就是因式分解，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.