【精品】第1章高等数学规划预备知识

第1章预备知识

§1。1基本概念与术语

1。1.1数学规划问题举例

例1食谱（配食）问题

假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j =。

人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i =个单位。

第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位.

食谱（配食)问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下,寻找最经济的配食方案（食谱)。

建立食谱的数学模型

引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量

i n i i x c ∑=1

min

s 。t.m i b x a i j n

j ij ,,2,1 ,1 =≥∑=

n j x j ,,2,1 ,0 =≥

例2选址与运输问题

● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设。记工地的位置分别为

m i b a P i i i ,,2,1 ),,( ==.

● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量(单位:t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T =和),(222y x T =两个地点建造临时料场，并且保证临时料

场对材料的日储量（单位:t ）分别为1M 和2M ．

如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？

建立选址与运输问题的数学模型

引入决策变量：位置变量),(k k y x ，从临时料场向各工地运送的材料数量

),,2,1 ;2,1(m i k z ki ==.

∑∑-+-==211

22)()(min k m i i k i k ki b y a x z

s 。t 。2

,1 ,1

=≤∑=k M z k m i ki

m i D z i k ki ,,2,1 ,2

1 ==∑=

m i k y x z k k ki ,,2,1,2,1 , R ),( ,02 ==∈≥

例3生产计划问题

● 某企业向客户提供一种机器，第1季度末需要交货1c 台，第2季度末需要交货2c 台，

第3季度末需要交货3c 台．

● 该企业最大生产能力是每季度生产b 台。

● 若用x 表示该企业在某季度生产的机器台数，则生产费用（单位：元）可以用函数

αx a x a x f 21)(+=来描述。

● 企业需为每台机器在每个季度多支付p 元的存储费．

● 假设在第一个季度开始时无存货，不允许缺货.

如何制订生产计划，确定在每个季度应该生产多少台机器，才能既履行交货合同，又使企业总体费用最少？

建立生产计划的数学模型

决策变量:用)3,2,1(=i x i 表示企业在第i 个季度生产的机器数量．

合同规定的总数量：321321c c c x x x ++=++

每个季度生产数量要求：每个季度生产数量j x 不大于最大生产能力b ，不少于该季度末的交货量j c 与该季度初的库存量j I 之差.

第j 个季度初库存量：3,2,1 ,)(=∑-=

i i i j （1I =0）

变量隐含要求：)3,2,1(0=≥j x j ，并且取整数．

企业总费用:所有季度生产与存储费用之和

∑+∑===32

31)()(i i i i pI x f x F

)2()))3(()(min 213

121c c p x a x p i a x F i i i +-∑+-+==α

s 。t 。∑=∑==3

131j j j j c x

11c x ≥

2121c c x x +≥+

3,2,1,,0=∈≤≤j Z x b x j j （Z 表示所有整数的集合）

1.1。2数学规划问题的模型与分类

● 形成一个最优化问题的数学模型

? 首先需要辨识目标，确定优化标准,即待研究系统的性能定量描述，如成本、数量、

利润、时间、能量等；

? 其次用合适的决策变量描述系统的特征量，并将目标表示成决策变量的函数（目标

函数，objectivefunction )；

? 此外需确定变量所受的范围限制，由若干个函数的等式或者不等式来定义（约束函

数，constraintfunctions ）．

● 最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化。

)(min n R

x f x ∈ s 。t 。I i x g i ∈≥ ,0)(

E j x h j ∈= ,0)(

满足约束条件的点称为可行点（feasiblepoint ），所有可行点的集合称为可行域

（feasibleregion ）,记为S 。

-当n

S R =，无约束优化问题;否则，约束优化问题．

-i g f ,和i h 都是线性函数,为线性规划（linearprogramming ，LP ）;否则为非线性规划（nonlinearprogramming ，NLP ）.

-所有变量取整数，称为整数规划（integerprogramming )；允许一部分变量取整数，另一部分变量取实数，为混合整数规划（mixedintegerprogramming,MIP ）。

-从一个连通无限集合（可行域）中寻找最优解，称为连续优化(continuousoptimization )问题；从一个有限的集合或者离散的集合中寻找最优解，称为组合优化（combinatorialoptimization)，或者离散优化（discreteoptimization ）．

-存在多个目标，即目标函数)(x f 取一个向量值函数，称多目标规划(multi —objectiveprogramming),或多目标优化．

-最优化问题中出现的参数是完全确定的，称为确定型优化（deterministicoptimization ）问题;否则称为非确定型优化（uncertainoptimization)问题,包括了随机规划(stochasticprogramming ）、模糊规划（fuzzyprogramming ）等特殊情形． 1。1.3最优解的概念

定义：设)(x f 为目标函数,S 为可行域，S x ∈,若对每个S x ∈，成立)()(x f x f ≥，则称x 为)(x f 在S 上的全局极小点。

定义：设)(x f 为目标函数,S 为可行域，若存在S x ∈的0>ε邻域}|{),(εε<-=x x x x N ，使得对每个),(εx N S x ?∈成立)()(x f x f ≥,则称x 为)(x f 在S 上的局部极小点。

● 全局极小点也是局部极小点，而局部极小点不一定是全局极小点.

● 大多数的优化算法通常只是寻找局部最优解.

● 对于某些特殊情形，如凸规划，局部极小点也是全局极小点。