分式的基本性质及运算复习讲义
分式的基本性质及运算复习
班级 姓名
一、知识梳理
1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式
A
B
叫做 。 2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。 3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。 4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。
5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。
6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。
7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。
8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。
9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。
二、基础练习
1、下列各式中，2
4
,
2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。 2、当x 时，分式
3
1-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x
无意义；
当x 时，分式3
9
2--x x 的值为零。
3、填空：（1）b a ab b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）2
22)(xy y
xy = ； （4）21()a a a c
++= ； （5）
(
)n
mn m
m =+2 ； （6）(
)()2
22x y
x y x y
+=
≠-；
4、若分式12
32
-a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。
5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。
6、分式
11
+x 、12x -的最简公分母是 。
7、当2a =-时，求分式43a a +的值； 8、约分：1
21
22++-a a a
9、计算： （1）4233m m +-- （2）11
22
a a -+-
（3）22222x x x x x +-?- （4）22
22
222x y x xy y x y x y -++?+-
三、例题选讲.
例1、（1）已知2-=x 时，分式
a
x b
x +-无意义，4=x 时，分式的值为零， 则a b += ； （2）若把分式
2
2y
x y
x -+中的字母x 和y 同时变为原来的3倍，分式的值 ； （3）当整数m = 时，分式
1
4
+m 的值是整数。 例2、计算：（１）154222a a a -++-+； （2）222412()2
144x x x x x x x ---?-+-+
例3、化简求值：1a
a a a a 21
122+-÷--，其中2=a .
例4、已知：10a +> （1）计算：112a a a a +-++； （2）比较1a a +与12
a a ++的大小。
四、课后练习 基础部分：
1、填空：
(
)
b ab
a =；
231()3xy x y
=； 2、化简1
12
---a a ，其结果为（ ） A ．1+a B. 1-a C .a -1 D. 1--a
3、化简1x x y x ÷
?，其结果为（ ） A. 1 B.xy C.x y
D.y
x
4、通分：
)
2)(1(++a a a ，3
1a +；
5、计算：（1）2
2494n
m n m --－2294m n
m n +-； （2）2211x x x +÷-
6、化简求值：2
2
121-÷--a a a ，其中1a =。
提高部分
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内） 1．下列各式中与分式
a
a b
--的值相等的是（ ）. （A ）a a b -- (B) a a b + (C) a b a
- (D)a
b a --
2．如果分式
21
1
x
x
-
+
的值为零，那么x应为（）.
（A）1 （B）-1 （C）±1 （D）0
3．下列各式的变形：①
x y x y
x x
-+-
=；②
x y x y
x x
-++
=-；③
x y x y
y x x y
-++
=
--
；
④y x x y
x y x y
--
=-
++
．其中正确的是（）.
（A）①②③④（B）①②③（C）②③（D）④
4．计算
2
2
16
(4).
816
x
x
x x
-
-
-+
的结果是（）.
（A）x+1 (B)-x-4 (C)x-4 (D)4-x
5．分式
2
1
,,
234
b x
a b ab
的最简公分母是（）.
（A）24a2b3 (B)24ab2 (C)12ab2(D)12a2b3
6．如果分式
111
a b a b
+=
+
，那么
a b
b a
+的值为（）.
（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2
7．已知实数a，b满足ab-a-2b+2=0，那么
a b
ab
+
的值等于（）.
（A）
3
2
（B）
2
2
b
b
+
（C）
1
a
a
+
（D）
321
22
b a
b a
++
或或8．如果把分式
x
x y
+
中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）.
(A)扩大3倍 (B)不变 (C)缩小3倍 (D)缩小6倍
二、填一填
9．在代数式
22
11(1)
,,,,5,,9,
31
a b b a b x
x
a a
b y x
π
++
+
-+
中，分式有个．10．当x= 时，分式
2
x x
x
-
的值为0．
11．已知
2
2222
2
M xy y x y
x y x y x y
--
=+
--+
，则M= ．
12．不改变分式的值，使分子、分母首项为正，则
x y
x y
-+
--
= ．
13．化简：
22
ax ay
x y
+-＝ ． 14．已知
11x -有意义，且2111
A
x x =--成立，则x 的值不等于 ．
15．计算：2
23.9y xy x
-= ．
三、做一做 16．约分
（1）34
323
3220aby z a y z
- （2）22969x x x -++.
17．通分 （1）22x y x y -+与2
()xy
x y +； （2）2249mn m -与2323m m -+.
18．已知234x y z ==，求23452x y z
x y
++-的值．
19．计算：1111
(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)
x x x x x x x x +++++++++++.
1分式及分式的基本性质练习题.doc
分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1 ．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0?中，是分式的有 ___ __；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2 ．下列分式，当 x 取何值时有意义． （2） 3 x 2 （ 1） 2x 1 ； ． 3x 2 2x 3 3 ．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） 2 C ． 3x 1 A ． 1 B ． x D ． x 1 2x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 4 ．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 5 ．当 x _______时，分式 x 1 的值为零． x 2 x 2 6 ．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1 的条件的应用 7 ．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8 ．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． 2 x 4 9 ．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3 x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______时，分式 4 的值为负． x 5 2 x 1 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） m 2 1 B ． m 2 1 C ． m 1 D ． m 2 1 A ． 2 1 m 1 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x| 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2 ） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3 x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第18讲_圆的基本性质
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 学历训练 1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料： 对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖． 对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖． 例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖． 回答下列问题： (1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm； (2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm； (3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm． (2003年南京市中考题) 3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性． (1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有 (分别用下面三个图的代号a，b，c填空)． (2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)． a．是轴对称图形但不是中心对称图形． b．既是轴对称图形又是中心对称图形． 4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ) A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( ) A ．2 B ．25 C ．3 D ．3 16 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ） A ．AB+CD ＝EF B ．AB+CD=F C ． AB+CD 八下期末复习讲义——分式的基本性质及运算 一、知识梳理 1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B 叫做 。 2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。 3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。 4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。 5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。 6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。 7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。 8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。 9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的 运算。 二、基础练习 1、下列各式中，2 4,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。 2、当x 时，分式3 1-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义； 当x 时，分式3 92--x x 的值为零。 3、填空：（1）b a ab b a 2)( =+； （2）21()a a a c ++= ； （3）()()222x y x y x y +=≠-； 4、若分式12 32 -a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。 5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。 6、当2a =-时，求分式43a a +的值； 7、约分：1 2122++-a a a 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义. 3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第3章圆的基本性质单元复习 3.1 圆 3.1.1 圆 ·连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 3.1.3 弧、弦、圆心角 AB于D，OE⊥AC于E， ，半径为R， ，求证∠AOB=∠BOC=∠COA。 3.1.4 圆周角 1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的 圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这 个圆就叫做多边形的外接圆。 求证：①如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 ，∠ACB的平分线交⊙O于D， 直径所对的圆周角是直角） （勾股定理） 两个圆周角相等，则所对的弧也相等） 3.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有： 点P在圆外?d>r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d 第十七章 分式 §17.1 分式及其基本性质 一． 知识点： 1.分式的概念：形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件） 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 二．学习过程： 1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。（单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三．例题及习题： 教材中的题目。 典型例题 1.23m m 是一个分式么？ 答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基 本性质化简的，另外2 3m m 与3m 中的字母的取值也不同． 习题一 （1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252 -a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x 有意义，则.（ ） （A ）x ≠23- (B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23 - 或x ≠5 （3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ） （A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2 1 a a + （4）. 当x 是什么数时，分式25 2++x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0 所以，当x=-2时，分式的值是零 习题二 一、填空题 1.约简公式 = . 2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1 的值为正整数. 3.如果x+x 1=3，则1x x x 2 42 ++的值为 . 4.已知x=1+a 2,y=1-a 1 .用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表 示x ，得x= . 5．要使代数式3a 2a 3 a 2 ---的值为零，只须 . 6.已知s=) y s (q 1yq x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 . 7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 . 分式及分式的基本性质 一. 选择题 1. 在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数有( ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2. 要使分式 1 (1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足（ ）≠-1 ≠2 ≠±1 ≠-1且x ≠2 3. 下列约分正确的是（ ） A 、3 26x x x =； B 、 0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2 14222=y x xy 4. 化简2 293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 5. 下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4 422+++a a a 6. 对分式 2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ）A ． B ． Ｃ． Ｄ． 7. 下列式子（1） y x y x y x -=--12 2；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+- 中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 8. 分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 9. 如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤x B.21 暑假数学（九年级）教学具体授课计划 备注： 1.本授课计划的第一、二、五、六、九、十、十六是对七、八年级重点 知识点的回顾与复习。编排次序对应于九年级上册相应知识点，以便更加系统明了地做到知识点之间的融会贯通。 2.教学进程大体按照该计划进行。但在授课过程中，也会根据学生的实 际情况，适当调整各知识板块的教学进度，或增补缩减相应的资料。 3.不足之处敬请批评指正。欢迎各位家长、老师提出更合理中肯的建 议！ 第一讲数与式的复习（一） 【教学目标】 1. 理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式。 2. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根。 3. 了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质。 4. 了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件，掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行 分式的通分和约分。 【重点难点】 重点：概念的理解与区分 难点：易混淆，各概念的性质及条件 【知识梳理】 1.实数分类： 实数???? ?? ?? ????????????? ???? ????????????????????无限不循环小数 负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 3.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （1）正数大于零，零大于负数。 （2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。 （3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。 （4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a 分式的基本性质及运算复习 班级 姓名 一、知识梳理 1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式 A B 叫做 。 2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。 3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。 4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。 5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。 6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。 7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。 8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。 9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。 二、基础练习 1、下列各式中，2 4 , 2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。 2、当x 时，分式 3 1-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义； 当x 时，分式3 9 2--x x 的值为零。 3、填空：（1）b a ab b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）2 22)(xy y xy = ； （4）21()a a a c ++= ； （5） ( )n mn m m =+2 ； （6）( )()2 22x y x y x y += ≠-； 4、若分式12 32 -a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。 5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。 6、分式 11 +x 、12x -的最简公分母是 。 讲义 ———分式 姓名： 分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或 ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或 ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中 A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 龙文教育学科教师辅导讲义 一、知识梳理 考 点 一 、 分 式 的 概 念 1、正确理解分式的概念： A A 整式A 除以整式B ，可以表示成 的形式。如果除式 B 中含有字母，那么称 为分式, B B 其中A 称为分式的分子, B 为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 【例 1】有理式（1）- ； （ 2） X ； （ 3） -2Xy ； （ 4） 3X y （ 5） 丄 x 2 x y 3 x -1 1 （6）—中，属于整式的有： _______________ ;属于分式的有： __________________ 。. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零 x 2 亠亠、， 时，分式 有意义. x 2 x 3 （2）不要随意用“或”与“且” 学员姓名： 辅导科目：数学 年级：七年级（上） 学科教师：王恒 （1）例如，当x 为 例如当x时，分式有意义? 3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制. 【例2】当x x 1 时，分式——有意义?当x x-1 x 1 时，分式------- 无意义. x-1 考点二、分式的基本性质: 时，分式J值为0. x-1 1、分式的分子与分母都乘以（或除以） A 同一个不等于零的整式，分式的值不变?AM A AM ------- ，一----------- （M为不等于零的整式）B M B B M （1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要 正确理解分式的基本性质，并能 熟练的运用它. 理解分式的基本性质时，必须注意： ① 分式的基本性质中的 A 、B 、M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中， M 工0. ③ 分子、分母必须“同时”乘以 M （M 工0），不要只乘分子（或分母）. ④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是 变形前后分式中字母的取值范围是变化的. （2）注意： ①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. ，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加 上（或减去）同一个整式. 3、通分 通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母 ?最简公分母由下面的方法确定: （1） 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2） 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积 ； 二、典型例题及针对练习 考点一、分式的概念 2 ②分式的基本性质是一切分式运算的基础 【例3】 A . F 列变形正确的是（ a b ). C. a b c a b a b a b c a b a b 【例4】 如果把分式 5x 2x y 中的x, y 都扩大3倍,那么分式的值一定（）. A.扩大3倍 2、约分 约分是约去分式的分子与分母的最大公约式 式的基本性质. B.扩大9倍 C.扩大6倍 D.不变 ,约分过程实际是作除法，目的在于把分式化为最简分式或整式 ，根据是分 【例5】约分（1） 2 3 16x y 20xy 4 (2) x 2 4 x 2 4x 4 圆的基本性质 知识点 圆的定义 几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。其中，O为圆心，OA为半径。 集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。 圆的书写格式： 圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 与圆有关的线段 半径：圆上一点与圆心的连线段。确定一个圆的要素是圆心和半径。 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。表示方法： 优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。表示方法： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 注意：同弧或等弧对应的弦相等。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。 （2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。 例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC. 分式及其运算 分式及其运算（讲义） 一、知识点睛 1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，B中含有字母且B不等于0，那么式 子A B 叫做分式． 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个____________________， 分式的值不变． 3.分式的符号： y y y x x x - -== - （符号调整时注意不要______）． 4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的_________．对分式进行 约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者________． 5.分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 6.分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减． 7.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________________．分式的乘除要 __________，加减要__________，最后的结果要化成______________． 二、精讲精练 1.下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1 π；②2x x ；③(3)(1) x x +÷-；④2 10xy-；⑤ 24 2 x x - - ；⑥10 9x y +． 2.当x取何值时，下列分式有意义？ （1）ax x ；（2） 2 3 9 x x + - ； （3 （4． 分式 1． 分式的概念： 形如B A (A,B 是整式，且B 中含有字母)。要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0， 即B ≠0。要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。 1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1 -πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2、分式1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31 ≠a 时,分式的值为零 3. 若分式 1 -x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 4.如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21 感谢您使用本资源，本资源是由订阅号”初中英语资源库“制作并分享给广大用户，本资源制作于2020年底，是集实用性、可编辑性为一体。本资源为成套文件，包含本年级本课的相关资源。有教案、教学设计、学案、录音、微课等教师最需要的资源。我们投入大量的人力、物力，聘请精英团队，从衡水中学、毛毯厂中学、昌乐中学等名校集合了一大批优秀的师资，精研中、高考，创新教学过程，将同学们喜闻乐见的内容整体教给学生。 本资源适用于教师下载后作为教学的辅助工具使用、适合于学生家长下载后打印出来作为同步练习使用、也适用于同学们自己将所学知识进行整合，整体把握进度和难度，是一个非常好的资源。如果需要更多成套资料，请微信搜索订阅号“初中英语资源库”，在页面下方找到“资源库”，就能得到您需要的每一份资源（包括小初高12000份主题班会课课件免费赠送！） 第十八讲圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印． 圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意： 1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化． 熟悉如下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC度数为．作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系． 注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来． 圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性． 【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) 10.2 分式的基本性质 七年级（下） 第九章 教学目标 1、认知目标：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分 式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化 简方法。 （知道分式的基本性质，学会简单的约分，知道最简分式） 2、能力目标：使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思 维能力；使学生掌握分式的基本性质，培养正确 进行分式变形的运算能力。 （知道分式的基本性质与分数的基本性质之间非常类似） 3、情感目标：通过与分数的类比，导出分式的基本性质，渗透 事物是联系及变化发展的辨证关系。 即类比— —联系— —归纳— —发展。 （让她感受课堂的快乐以及一起学习的愉悦） 教学重点及难点 重点是理解并掌握分式的基本性质。 难点是灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分 式的化简方法。 （区分最简分式，把分式约分变为最简分式） 教学过程设计 一、 情景引入 1．观察 在括号内填写每一步骤的依据 计算： 解：（由她来完成这个题目） [通过填空和观察，使学生明确分数的计算和化简实质是进行分数 =12=36=16+2613+16 B ≠0,M ≠0,N ≠0 的通分和约分，而通分和约分的依据是分数的基本性质] 2．思考 问题（1）：还记得分数的基本性质吗？ （在其他学生的引导下，让她再次重复一遍） 问题（2）：分式是否也有这样的性质？ [通过提问的方式先使学生回忆复习分数的基本性质，继而引导 学生与分数的基本性质相类比，导出分式的基本性质，并让学生了解 分式的基本性质是今后学习与研究分式变形的依据。] 3．讨论 （1）对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分 式的值不变，即： ， 其中M 、N 为整式，且 （大家朗读完了以后，由她再次朗读一遍，并且在书上帮她自己划好 重点） （2）两者有何区别和联系？ [通过讨论使学生理解从分数到分式是把“数”引伸到“式”. 分数是分式的特殊情形。] 二、学习新课 1．概念辨析 分式中的A ，B ，M ，N 四个字母都表示整式，其中B 必须含有字 母，除A 可等于零外，B ，M ，N 都不能等于零.因为若B=0，分式无意 义；若M=0或N=0，那么不论乘以或除以分式的分母，都将使分式无 意义. （找出重点以后由她再来重复一遍） 2．例题分析 例1： 九年级数学 圆周角 圆心角 知识点： 圆心角： 弧度： 圆周角： 圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图，已知P 是O 外任意一点，过点P 作直线PAB ，PCD ，分别交O 于点A ，C ，D ． 求证：1 2 P ∠= （BD 的度数AC -的度数）． 例2.如图①，点A 、B 、C 在⊙O 上，连结OC 、OB ： ⑴ 求证：∠A=∠B+∠C ；⑵ 若点A 在如图②的位置，以上结论仍成立吗？说明理由。 例3.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=300 ,求弦DC 的长. 30? D C B A O 例4.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ；（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 例5.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD. (1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P / 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP / D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论. D C B P A O 例6.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长. D C B A O 例7.如图所示，在△ABC 中，∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于点E ，延长AE 交△ABC 的外接圆于 D 点，连接BD 、CD 、C E ，且∠BDA=600 . (1)求证△BDE 是等边三角形；(2) 若∠BDC=1200 ，猜想BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。 内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) 知识点睛 中考要求 分式的运算技巧 内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念,能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质: a c ad bc b d =?=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）:a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= (k 为任意实数) ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法:a c a c b d b d ??=? 分式的除法:a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方:()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=? =?个 个 n 个 ＝(n 为正整数） 整数指数幂运算性质: ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) 知识点睛 中考要求 分式的运算技巧 第1讲圆的基本性质 一、【教学目标】 1.理解圆、弦、弦心距、直径、弧、圆心角、圆周角等有关的概念． 2. 理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形． 3. 掌握圆中“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”的性质，以及“弧、弦、弦心距、圆心角”四量之间的“等对等”关系，并能运用这些性质进行有关的计算与证明． 4. 理解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活运用于有关问题的解决． 二、【教学重难点】 1.教学重点：“垂径定理”、圆周角与圆心角的关系的灵活运用 2.教学难点： 三、【考点聚焦】 考点一.圆的基本元素 1．弦和直径： 连结圆上任意两点的线段叫弦，如图，线段AC、AB、BC都是⊙O的弦，其中AB是直径，直径是圆中最长的弦．圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段OM的长，表示圆心到弦AC的弦心距． 注意：直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径． 2．弧和半圆： 圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种．一条直径把圆分成了两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，在表示时必须用三个大写字母表示，如图中的优弧 ，小于半圆的弧叫劣弧，如图中的劣弧． 注意： (1)半圆是一种特殊的弧； (2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”． 3．圆周角和圆心角． 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角；顶点在圆心上的角叫圆心角；如图中的∠ABC是圆周角，∠AOD是圆心角． 注意：圆周角具备两大特征： (1).顶点在圆周上， (2).角的两边都与圆相交，二者缺一不可，如图中的∠ABE就不是圆周角． 考点二. 圆的基本性质 1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系： 圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，其旋转中心即为圆心．根据圆的这一特性，可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的“等对等”关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等． 注意： (1)运用本知识点时，应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”． (2)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法． 2．圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，利用“圆是轴对称图形”可以得到：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．” 注意： (1)此性质必须具备两个条件：直径；此直径垂直于弦，两者缺一不可． (2)常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解． 3．圆周角的性质： (1)一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半；新苏科版8下期末2014.6分式的基本性质及运算复习讲义(修改版)
分式的基本性质-经典例题及答案
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