最新二次根式的讲义汇总

专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。

【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1，

其中是二次根式的是_________ （填序号）.

例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（）

A ,x > 0

B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________

练习1使代数式有意义的x的取值范围是（）

x —4

A 、x>3

B x> 3

C x>4 D、x >3 且x丰4

练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（）

A. —1 B . 1 C . 2 D . 3

例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。

例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________

例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）：

A、诟+ 品=^a2+b2;

B、寸（a2+b2）2=a2+b2；

C、（ .a + . b ）2= a2+b2;

D、. （a—b）2=a—b;

【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—?）是一个非负数，即二二0

注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正

数, 0的算术平方根是0,所以非负数（一丨）的算术平方根是非负数，即=上

0 （一;二I ）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 心丁心：-卩，则a=O,b=O ;若

;;，

'■; _ v ，则 a=O,b=O ;若上；，贝U a=O,b=O 。

（2） ?^「-上（匚二丨）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平 方等于这个非负数。

(3)

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正 数或O ，则等于a 本身，即：is ，;若a 是负数，则等于a 的相反数 -a,即存二同二认<0）； 2、J 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，J 一定有意义; 3、化简 Q 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

（4）与J 「的异同点

不同点：与匕' 表示的意义是不同的， 表示一个正数a 的算术平方

根的平方，而二 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在

中-;二-

上面的公式也可以反过来应用：

若■■- - 1，则，.，如：

.<■ '''，: \

注：二次根式的性质公式 匸「一匸（「： _ I ）是逆用平方根的定义得出的结

论。 \^"=匕|二〈

—<1 0)

而

魚

U , J 「茸。因而它的运算的结果是有差别的-11

'，

~ct 0）

二」时，*?：「= { ■

； - .11 时，丄」无

? ■. a 2 = . (_a)2 >- a 2 B .

、a 2 > . (_a)2 >- . a 2

.a 2 < . (_a)2 <- ■. a 2

D . - . a 2 八 a 2 = .. (_a)2

0

L 中a 可以是正实数，0，负实数。但与'I 都是非负数，即 相同点：当被开方数都是非负数, a 、b 、c 为三角形的三条边，则

..(a b -c)

把(2-x) J —?的根号外的（

2-x ）适当变形后移入根号内，得（

）

A 、

- ? 2 - x D 、- x - 2 a 0

10 11 12 13

若二次根式、、-2x 6有意义，化简|x-4 | - | 7-x |。

已知x 、y 是实数，且满足 y= x —6 +飞［6— x +1试求9x —2y 的值 若

实数a 满足.a? +a=0,则有（ A. a>0 B . a > 0 下列命题中，正确的是（

A .若 a>b ，则? . a > ? b C.若 |a|=（ b ） 2，贝U a=b . 24n 是整数，则正整数 n )

C ) B D

的最小值是

a<0 D . a < 0

a >a ，则 a>0 a 2=

b ，贝U a 是b 的平方

根 B 、5;

、6;

D 、 7.

14 实数a 、 b 在数轴上的位置如图所示，那么

a -

b - ? a 2的结果是什么?

15 16

1 — 1

a 7 ,则 a -

a

a

> 0时，?一 a 2 、 、. （-a ）2、- ?、a 2，比较它们的结果，下面四个选项中正确已知已知 17

2 2

(A) (B)—(C)—2x (D) 2x

x x

1 2 1 2 1 2 1 2

【提示】(x—) + 4= (x + ) , (x+ ) —4= (x —).又； O v x v 1,

x x x x

1 1

??? x + >0, x —v 0 .【答案】D.

x x

【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. (A)不正确是因为用性质时没有注

1

意当O v x v 1 时，x—v0.

x

练习3 若|1 —x| —x2—8x+16 = 2x —5,则x的取值范围是( )

A x>1 B. x<4 C . 1 < x < 4 D .以上都不对

练习4若X兰0时，贝U 1 _ x|—j x2 = ______

练习5若y = J3x — 6 + J6 — 3x + x3，则10x + 2y的平方根为 _____________

练习6 若x = -3，则1-J(1+x f等于( )

A.1 ; B 、—1 ; C 、3; D 、一3

练习7已知X =号,化简J(x -2 )2+|x — 4|的结果是 ______________________

练习8 若x2 - 3 ? , 3 - x2? 2 = y 试求x y的值。

练习9 已知2x -1 ? ...1 -2x = 2a ? 4，求a的值。

练习10 若x -y ■ y2-4y ■ 4 = 0，求xy 的值

专题二二次根式的乘除

【知识点1】二次根式的乘法法则：、-a " f；ab(a 一0,b 一0)。得出：二次根

式相乘，把被开方数相乘，而根号不变。将上面的公式逆向运用可得:

??、ab =、..a「b(a —0,b 一0)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的

例 1 化简：(1) J64x2y3(x > 0, y > 0) = _________