人教中考数学压轴题解题模型几何图形之半角模型含解析汇报
人教中考数学压轴题解题模型几何图形之半角模型
含解析汇报
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说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
小结：
（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图
（2）正方形的性质：
①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使2
AD ，求AG．
【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．
由题意可知∠ADG=GDM，
则△ADG≌△MDG．
∴DM=DA=2． AC=GM
又易知：GM=BM．
而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），
∴AG=BM=2（2-1）．
例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于
10，求正方形ABCD 的面积？
【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．
设PF x =，则10EF x =+，1
(10)2
BF x =+．
由222PB PF BF =+．
可得：2221
10(10)4
x x =++．
故6x =．
216256ABCD S ==．
例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为
M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？
【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即
可．
理由：连结AE、AF．
由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，
∴△ABE≌△AME．
∴BE=ME．
同理可得，△ADF≌△AMF．
∴DF=MF．
∴EF=ME+MF=BE+DF．
例4．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且45
∠=，试说明
EAF?=+。
EF BE DF
【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF
例5. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使
45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =
【解析】：欲证 AG=AB ，就图形直观来看，
应证Rt △ABE 与Rt △AGE 全等，但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢
显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
【证明】：把 △A FD 绕A 点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.
∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.
又由旋转所得 AH=AF ，AE=AE.
∴ △AEF ≌△AEH.
例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,
CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ?∠=.
求证：BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,
BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ?∠=,4EF =.
求GH 的长.
1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，
EF ,GH 交于点O ,90FOH ?∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；
②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).
【
解析】
(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，
∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°，
∴ ∠EAB +∠AEB =90°.
∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,
∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ，
∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．
(2) 解：如图2,过点A作AM如图6，点A在线段BG上，
四边形ABCD与DEFG都是正方形，?其边长分别为3cm和
cm．
5cm，则CDE
?的面积为________2
(6) (7)
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为
________．
3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF
?的面积为5平方厘
?的面积为14平方厘米，BCE
米，?那么四边形BEGF的面积是________．
4.如图，A、B、C三点在同一条直线上，2
=。分别以
AB BC
AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，
EC。
求证：FN EC
=。
5.如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE AG
⊥于E，⊥于F．
BF AG
（1）求证：ABF DAE
△≌△；
8.提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,
证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形
9.（1)略（2）4
5
（3）作CM⊥DG,证DM=AG=
专题
（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（2）特征：
边：两组对边分别平行；四条边都相等；
内角：四个角都是90°；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。（3）主要识别方法：
1：对角线相等的菱形是正方形
2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形
4：一组邻边相等的平行四边形是正方形
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不
。2
AIC，可得
由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。
从而可得PQ=
2
AI BI
=
2
AB
， 从而得证。
例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，
AE AC =，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE CF =．
【证明】：顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。
推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF 。
例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，
PF AP ⊥，CF 平分DCE ∠．
求证：PA PF =．
【证明】：作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan ∠BAP=tan ∠EPF=
X Y =Z Y X
Z
，可得YZ=XY-X 2+XZ ，
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ，
得到PA ＝PF ，得证 。
例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求
PA PB PC ++的最小值．
【证明】：顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。
既得AF=
213(
1)4
2
= 23=
4
23
2
A
C
B
P
D
= 2(31)2 = 2
(31)2
=
62
2
。
例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．
【证明】顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L =
2
222(2)(
)2
2
a = 5
22a 。
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形
BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．
2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC ?恰是一个菱形，?则EAB ∠=________．
【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，
A
C
B P
D
90
∠=，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
AEF?
（1）证明：BAE FEC
∠=∠；
（2）证明：AGE ECF
???；
（3）求AEF
?的面积．
【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE
?是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：AMB ENB
???；
⑵①当M点在何处时，AM CM
+的值最小；
②当M点在何处时，AM BM CM
++的值最小，并说明理由；
3+时，求正方形的边长.
⑶当AM BM CM
++的最小值为1
【练习题答案】
1．36
2．【解析】连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．
设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a