理科数学2010-2019高考真题分类训练专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案
专题八 立体几何初步
第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
答案部分
2019年
1.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，
14cm AA =，
所以该模型体积为：
1111311
664(46432)314412132(cm )32
ABCD A B C D O EFGH V V ---=??-??-????=-=，
3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)?=．
2.解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，
所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=??=，所以三棱锥E BCD -的体积：
111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=??=????=V 11
1012
AB BC DD ???=.
3.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.
因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于
1
2
，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 所以该圆柱的体积为2
1124V Sh π??
==π?= ???
.
4.解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，
则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心.连接BO 并延长，交AC 于G ， 则AC BG ⊥，又,PO AC PO BG O ⊥=I ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC. 因为E ，F 分别是P A ，AB 的中点，所以EF PB P .
又90CEF ∠=?，即EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE ，得PB ⊥平面P AC . 所以PB ⊥P A ，PB ⊥PC.
又因为PA PB PC ==，ABC △是正三角形， 所以PAC PBC PAB △≌△≌△，故PA PC ⊥ 所以正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直.
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为正方体的体对角线的长度，即2226d PA PB PC =
++=, 半径为
6
2
， 则球O 的体积为3
4
6π6π3???= ? ???
．故选D ． 5.解析：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即11
(46)3(26)32722
ABCDE S =
+?++?=五边形，高为6， 则该柱体的体积是276162V =?=． 故选B ．
6.解析：由三视图还原原几何体如图所示，
该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，
则该几何体的体积()1-444-2+424=402
V V V ==?????正方体四棱柱.
2010-2018年
1．C 【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底
面垂直的四棱锥，如图所示，
D
C
B
A P
易知，BC AD ∥，1BC =，2AD AB PA ===，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PAD ?，PAB ?为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，
PA BC ⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ?平面
PAB ．
BC PB ⊥，∴PBC ?为直角三角形，容易求得3PC =，5CD =22PD =，故PCD ?不是直角三角形，故选C ．
解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ABCD -，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C ．
P
D
C
B
A
2．B 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长
16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则2=MS ，4=SN ，则从M 到N
=B ．
S
N
M
图① 图②
3．A 【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以
是虚线，结合榫头的位置知选A ．
4．B 【解析】设等边三角形ABC
的边长为x ，则
2
1sin 602
x =o 6x =． 设ABC ?的外接圆半径为r ，则6
2sin 60
r
=o
，解得r =，所以球心到ABC ?所
在平面的距离2d =
=，
则点D 到平面ABC 的最大距离146d d =+=，所以三棱锥D ABC
-
体积的最大值max 11
6633
ABC V S ?=
?=?=B ．
5．D 【解析】如图以1AA 为底面矩形一边的四边形有11AAC C 、
11AA B B 、11AA D D 、11AA E E 4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D ．
E 1
E A
A 1D C
D 1
C 1B 1
B
6．C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体
的体积1
(12)2262
V =
?+??=．故选C ． 7．B 【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形
之和为1
2(24)2122
?
+?=．选B ．
8．B 【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高
为4的圆柱，其体积2
13436V =π??=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆
柱的一半， 其体积221
(36)272
V =
?π??=π， 故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．
解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为
21
(3)14632
ππ??=．选B ．
9．B 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，12
AB =
，所以圆柱底面半径2r BC ==，
那么圆柱的体积是2
23
(
)124
V r h πππ==??=，故选B ． 10．A 【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），
其体积为：2
11
11(13)(213)132
32
2
π
π???+???=
+．选A ．
11．B 【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，
=B ．
12．C 【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，
其体积2111
1133
V =
??=．设半球的半径为R
，则2R =
2R =，
所以半球的体积32142326
V π=
??=．
故该几何体的体积12136
V V V =+=
+．故选C ． 13．A 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉
1
8
后剩下的几何体， 设球的半径为r ，故
37428
833
r ππ?=，所以2r =， 表面积2
27341784
S r r πππ=?+=，选A ．
14．C 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：
4l =，
21
π2
S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．
15．B 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面
积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为
18，左右两个侧面是矩形，边长为
3，故面积都为
2(9 +18+
16．C 【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，
∴体积3
32
223
122
3
=
??+=V ，故选C ．
17．D 【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，
所以该几何体的表面积是
()1
211222342
ππ???++?=+，故选D ． 18．A 【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
21111
12(12)12323
V ππ=??+?????=+，选A ．
19．D 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111A A B D -，其体积为
1
6
，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为
56，故所求比值为15
．
A 1
A
C
20．B 【解析】
在长、宽、高分别为2、1、
1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥
P ABC -
，表面积为21122222???+
?=+
21．A 【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方
体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，
212
x h
-=
，所以22h x =-， (0,1)x ∈，长方体体积2232216
)2(22)2()327
x x x V h x x ++-==-=
长方体≤， 当且仅当22x x =-，即23x =时取等号，2
121233
V ππ=??=圆锥，
故材料利用率为16
8
27293
ππ=，选A ．
22．B 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为
22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．
23．B 【解析】如图，
B D C
A
设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A - BCD，最长的棱为
22
(42)26
AD=+=，选B．
24．C【解析】原毛坯的体积2
(3)654
Vππ
=??=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体
积22
12
(2)4(3)234
V V Vπππ
'=+=??+??=，故所求比值为
10
1
27
V
V
'
-=．
25．A【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，
∴2
13
226112(2)213
2
S=??-??+??=+
表
26．A【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选A．
27．D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积123
2
S S S S S S
=-+++
正方形斜面
，其中
1
S是长方体的表面积，
2
S是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，
3
S是三棱柱的一个底面的面积，可求得2
138()
S cm
=，选D．
28．C【解析】由题意可知AD BC
⊥，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面
11
DB C，又2sin603
AD=?=
o
1111
111
3231
332
A B DC B DC
V AD S
-?
=?=?=，故选C．
29．A 【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，2112S ππ=??=侧． 30．B 【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为l 的
1
4
圆柱，所以该几何体的体积为3
2
1
221284
ππ-????
=-． 31．C 【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面
积22S rh ππ==．
32．B 【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，
外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
33．A 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个
长为4宽为2高为2长方体，故其体积为
21
244222
π??+?? =168π+，故选A ． 34．A 【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高
为2的半个圆柱．
35．C 【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为
221
353573
V πππ=??+?=
36．B 【解析】由三视图可知该几何体的体积：2
21
121232
V πππ=??+
???=． 37．D 【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故
侧视图可以为D ．
38．C 【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所
以该四棱柱的表面积
1
2(24)444242
S =??+?+?+?24+48=+
39．D 【解析】选项A 正确，∵SD ⊥平面ABCD ，而AC 在平面ABCD 内，所以
AC SD ⊥．因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，而BD 与SD 相交，所以AC ⊥
平面SBD ，所以AC SB ⊥；选项B 正确，因为AB CD P ，而CD 在平面SCD 内，AB 不在平面SCD 内，所以AB P 平面SCD ；选项C 正确，设AC 与BD 的交点为O ，
连结SO ，则SA 与平面SBD 所成的角ASO ∠，SC 与平面SBD 所成的角CSO ∠，易知这两个角相等；选项D 错误，AB 与SC 所成的角等于SCD ∠，而DC 与SA 所成的角等于SAB ∠，易知这两个角不相等．
40．C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面
长方体的4个侧面积之和．2(10810282)2(6882)360S =?+?+?+?+?=. 41．B 【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm ，高为2cm ，的正四棱柱，其体积为
344232()cm ??=；下半部分是上、下底面边长分别为4cm ，8cm ，高为2cm 的正四
棱台，其体积为1224(164864)233?+?+?=，故其总体积为224320
3233
+=． 42．
1
12
【解析】连接1AD ，1CD ，1B A ，1B C ，AC ，因为E ，H 分别为1AD ，1CD 的中点，所以EH ∥AC ，1
2EH AC =，因为F ，G 分别为1B A ，1B C 的中点，
所以FG ∥AC ，1
2
FG AC =，所以EH FG ∥，EH FG =，所以四边形EHGF 为
平行四边形，又EG HF =，EH HG =，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为
1
2
，所以四棱锥M EFGH -
的体积为211132212??=． 43．4
3
【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正
，则该正八面体的体积为2
14233
??=
． 44
．OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的
边长为x （05x <<）
，则6OG x =
，56
GE x =-． G O
D
F
E
C
B
A
由题意可知三棱锥的高h===
底面2
4
ABC
S x
?
=，
三棱锥的体积为2
1
34
V x
=?=
设45
()5
h x x x
=
，则34
()20
h x x x
'=-（05
x
<<），
令()0
h x
'=
，解得x=
(0,
x∈时，()0
h x
'>，()
h x单调递增；
当x∈时，()0
h x
'<，()
h x单调递减，
所以x=()
h x
取得最大值4
h=
所以2
max1212
V==?=
45．
9π
2
【解析】设正方体边长为a，由2
618
a=，得23
a=，
外接球直径为23
R==，3
44279
πππ
3382
V R
==?=．
46．2
2
π
+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1，所以
2
π1π
211212
42
V
?
=??+??=+．
47．
3
2
【解析】设球的半径为r，则
2
1
3
2
23
42
3
V r r
V r
π
π
?
==．
48．2【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其体积为
1
2132
3
???=(3
m)．
49．
8
3
π【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积
22
18
12211
33
Vπππ
=??+????=．
50．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，
则2
16234
h ??
?=，解得1h =
，
2=，该六棱锥的侧面积为
1
122122
??=． 51
．PA ⊥平面ABC ，2PA =，
AB BC ==2CA =
，所以PB ==，
PC ==
52．
3
2
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是12,r r ，母线长分别是12,l l ． 则由
1294S S =，可得123
2
r r =．又两个圆柱的侧面积相等，即112222rl r l ππ=， 则
112223l r l r ==，所以111222923432
V S l V S l ==?=． 53
【解析】设正方体的棱长为a
，则正方体的体对角线为直径，即2r =，即球
半径2
r a =
．若球的体积为92π
，即349)32ππ=
，解得a =
54．1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的 相似比为1：2，
故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比 为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24． 另：112211111334224
ADE ABC V S h S h V =
=??=，所以121
:24V V =．
55．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除
一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2-2=38ππ????． 56．92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是
1
2(25)4(2544922
S =??+?++++?=．
57111322sin 60332
ABC V PA S ?=?=?????=o
．
58．13【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的3
16
，得223416r R ππ=，所以r R =，则小圆锥的高为
2
R
，大圆锥的高为32R ，所以比值为13．
59．【解析】（Ⅰ）证明：PD ⊥平面,,ABCD PD PCD ?∴平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD I 平面ABCD CD =，MD ?平面ABCD ，MD CD ⊥， ∴MD ⊥平面PCD ，
,,,,,CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF ?∴⊥⊥?平面又平面
MD MF M =I ，∴CF MDF ⊥平面．
（Ⅱ）00,,60,30,CF MDF CF DF PCD CDF ⊥∴⊥∠=∴∠=Q 平面又易知
11
==,22
CF CD 从而
1
2,,,
2
DE CF EF DC DE PE DP CP ∴=∴=∴=Q ∥
128
CDE S CD DE ?=?=，
22
MD ====
11.338216
M CDE CDE V S MD -?∴=?=?=
60．【解析】（Ⅰ）由已知得ABC DBC ???，因此AC DC =，又G 为AD 的中点，
CG AD ⊥；
同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BCG ,又EF AD ∥,∴EF ⊥平面BCG ．
G B C
D
A
O F
E
（Ⅱ）在平面ABC 内，做AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，由平面ABC ⊥平面BCD ，
知AO ⊥平面BCD ，又G 为AD 的中点，因此G 到平面BCD 的距离h 是AO 的一半，在AOB ?中，sin 603AO AB =?=o
，所以11
32
D BCG G BCD DBG V V S h --?==
??=． 61．【解析】（Ⅰ）连结1AC ，交1A C 于点O ，连结DO ，则O 为1AC 的中点，因为D 为AB
的中点，所以OD ∥1BC ，又因为OD ?平面1A CD ，1BC ?平面1A CD ， 所以1BC //平面1A CD ；
（Ⅱ）由题意知 CD ⊥平面11ABB A ．
再由12AA AC CB ===，22AB =得 90ACB ∠=o
，2CD =
，16A D =，3DE =，13A E =．
故222
11A D DE A E +=，即1DE A D ⊥
所以111
632132
C A DE V -=????=． 62．【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC ，交于BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以
,AC BD BO DO ⊥=，由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O ?=知，
BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．
（Ⅱ）解：因为E 是P A 的中点，所以11
22
P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----=== 由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD ?V V 因为60BAD ∠=o ,
所以1PO AO AC BO ====.
又222,PA PO AO PA PO AC =
+=⊥即.
故1
32
APC S PO AC =
?=V . 由（1）知，1111,2232
P BCE B APC APC BO APC V V BO S --⊥=
=???=V 面因此． 63．【解析】（1）由已知可得AE =3，BF =4，则折叠完后EG =3，GF =4，又因为EF =5，所以
可得EG GF ⊥，又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG .
（2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G -EFCD 的高， 所以所求体积为1
112
4516335
CDEF S GO ?=
???=． 64．【解析】（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平
面ABCD ，交线为AD ．
又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC ．
在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ =2
PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ . （II ）设AB =a .
由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3
V a =
由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ ，△DCQ 的面积为2
2
a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3
V a =
故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1．
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
全国高考理科数学：立体几何
2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是
2018届高考数学(理)热点题型：立体几何(含答案解析)
4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝ π 4 ， ππ ∴∠OCB＝，∴∠BOC＝. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC?平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
? →·n ? 则 sin θ＝? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD ＝? ?＝ 02＋（－1）2＋（－1）2× 12＋12＋32 ? 11 1×0＋1×（－1）＋3×（－1） 设 OA ＝1，则 PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴→＝(0，－1，－1)，→＝(2，－2，0)，→＝(0，－3，1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z)， ??n·→＝0， ?2x －2y ＝0， ∴? ∴? ??n·→＝0， ?－3y ＋z ＝0， 令 y ＝1，则 x ＝1，z ＝3，∴n＝(1，1，3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ， ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形，E 为 B D 的中点，过 A ，D ，E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明：EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC，且 A B ＝AB ＝DC ，所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
高三理科数学《立体几何》测试题带答案.doc
高三理科数学《立体几何》测试题（带答案） 1、如图，在 C 中， C 45 ，点在上，且 C 2 ，平3 面 C ， D // ， D 1 ．2 1 求证：// 平面 C D ； 2 求二面角CD 的余弦值．（ 1）明：因PO 平面 ABC ，D// 所以 DA AB, PO AB 又 DA AO 1 PO ,所以AOD 4 ????????2 分2 又 AO 1 PO,即 OB OP, 所以 OBP ，即 OD // PB, ??????.4分2 4 又 PB 平面 COD, OD 平面 COD, 所以 PB // 平面 COD 。??????.6分 （ 2）解：A作AM DO,垂足为 M，过 M作MN CD于N ,连接 AN , ANM 即为二面角 O CD A的平面角。??????.8分 设 AD a，在等腰直角AOD 中，得 AM 2 a，在直角COD 中，得 MN 3 a，2 3 在直角AMN 中，得 AN 30 a，所以 cos ANM 10 ?????? .12分6 5 2、如图，在棱长为2的正方体CD11C1D1中，、F分别为1D1和CC1的中点． 1 求证：F// 平面CD1； 2 求异面直线 F 与所成的角的余弦值； 3 在棱 1 上是否存在一点，使得二面角C的 大小为 30 ？若存在，求出的长；若不存在，请说明理 由． 解：如分以DA、DC、DD1所在的直x 、 y 、 z 建立
空 直角坐 系 D-xyz ， 由已知得 D (0 ， 0， 0) 、 A (2 ， 0， 0) 、 B (2 ， 2， 0) 、 C (0 ， 2， 0) 、 B 1(2 ， 2， 2) 、 D 1(0 ， 0，2) 、 E (1 ， 0， 2 ) 、 F (0 ， 2， 1) ． (1) 取 AD 1 中点 G ， G （ 1， 0， 1）， CG =（1， -2 ， 1），又 EF = （ -1 ， 2， -1 ），由 EF = CG ， ∴ EF 与 CG 共 ．从而 ＥＦ ∥ ＣＧ，∵ CG 平面 ACD 1， EF 平 面 ACD 1，∴ EF ∥平面 ACD 1. ???????????????????????? 4 分 (2) ∵ AB =(0,2 ， 0) ， cos< EF , AB >= EF AB 4 6 ， | EF | | AB | 2 6 3 ∴异面直 EF 与 AB 所成角的余弦 6 . ??????????????????? 8 分 3 (3) 假 足条件的点 P 存在，可 点 P (2 ， 2，t )(0< t ≤2) ，平面 ACP 的一个法向量 n =( x ， y ， z ) ， n AC 0, AC =(-2 ， 2， 0) ， ∵ AP =(0 ， 2， t ), n AP 0. 2x 2 y 0, 2 ∴ tz 取 n (1,1, ) . 2 y 0, t 易知平面 ABC 的一个法向量 BB 1 (0,0,2) ， 依 意知， < BB 1 ， n >=30°或 < BB 1 ， n >=150 °， | 4 | 3 ∴ |cos< BB 1 ， n >|= t 4 ， 2 2 2 2 t
年高考数学试题知识分类大全立体几何
年高考数学试题知识分类大全立体几何 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
2007年高考数学试题汇编 立体几何 一、选择题 1．（全国Ⅰ?理7题）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中， AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．5 4 2．（全国Ⅱ?理7题）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ A ） A ． 6 B ． 10 C ． 2 2 D ． 3 3．（北京理3题）平面α∥平面β的一个充分条件是（ D ） A ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ?，，∥ C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ D ．存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥ 4．（安徽理2题）设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也 不必要条件 5．（安徽理8题）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ） A ．)33arccos(- B ．)36arccos(- C ．)31arccos(- D ．)4 1arccos(- 6．（福建理8题）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ） A ．,,//,////m n m n ααββαβ??? B ． //,,//m n m n αβαβ??? C ．,//m m n n αα⊥⊥? D ． //,m n n m αα⊥?⊥
2018年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C
5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1
4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
立体几何-2019年高考理科数学解读考纲
05 立体几何 （三）立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．90πB．63π C．42πD．36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规
则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 考向二 球的组合体 样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示： 由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12 O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则 1 2 V V 的值是 .
历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角
2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值.
2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小.
4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.
6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.
2020年高考数学 空间几何体解答题 专练(含答案)
2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为 棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求三棱锥C－BEP的体积． 2.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。 1 （1）求证：PQ//平面A1BC1； （2）求证：BC⊥PQ。
3.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： 1 （1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC， CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM． （1）求证：OM∥平面PAD； （2）求证：OM⊥平面PCD．
5.如图，在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． 1 （1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P． 6.如图，直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC， 1 BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中 点． （1）证明：ED⊥PE； （2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，， M是PB的中点． （1）求证：PD∥平面ACM； （2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．
高三数学立体几何专题复习课程
高三数学立体几何专 题
专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．
2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题
2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()
A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0 图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27- （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 高三数学理科立几练习(表面积+体积) 班级 姓名 座号 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积 提示： (1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形． 二、多面体的表面积的求法： (1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系． (2)旋转体的表面积的求法： 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 三、给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物， 画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等体积转换法和割补法求解． 练习： 1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.3 2倍 2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体 的体积为( ) A.1423 B.2843 C.2803 D.1403 4．点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题： ①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________． 5. 棱长为2的正四面体的表面积是 ，体积是 ，其外接 球体积为 。 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．高考文科数学立体几何试题汇编
历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)
高三数学理科立体几何练习(体积表面积)
2018年高考数学立体几何试题汇编