《数字信号处理》试题A 答案

北京化工大学2013——2014学年第一学期

《数字信号处理》试卷A

课程代码：EEE33400T 班级： 姓名： 学号： 分数：

一、 填空：（每小题2分，共30分）

(1) 序列7()5sin (5)120x n n π??

=-????

的周期为__ 240 ____。 (2) 若一个线性时不变系统，当输入为)()(n n x δ=时输出为)()(3n R n y =，则当输入

)2()()(--=n u n u n x 时输出=)(n y 33()(1)R n R n +- 。

(3) 设系统的单位样值响应为)(n h ，则该系统是因果系统的充要条件是 ()0,0h n n =< 。

(4) 已知一个长度为N 的序列)(n x ，它的离散时间傅里叶变换为)(ωj e X ，它的N 点

离散傅里叶变换)(k X 是对)(ωj e X 的 频域N 点等间隔 采样 。 (5) 设序列)(n x 的N 点DFT 为)(k X ，则)())((n R m n x N N +的的N 点DFT 为

()m k N W X k - 。

(6) 已知π3.031j e 是实系数全通系统的一个极点，则可知π3.03

1

j e -是系统的 极 点，

π3.03j e 是系统的 零 点。

(7) 如果通用计算机的计算速度为平均每次复数乘法需要5s μ，每次复数加法需要

1s μ，则在此计算机上计算完成102点的按时间抽选基—2 FFT 需要 10 级蝶形运算，总运算时间是 35840 s μ。

(8) 如果序列)(n x 的长度是4，序列)(n h 的长度是3，则它们线性卷积的长度是

6 ，5点圆周卷积的长度是 5 。

(9) 一个线性时不变系统是稳定系统的充要条件是其系统函数的收敛域满足条件：

收敛域包含单位圆 。

(10) 已知序列)(n x 的z 变换)(z X 的收敛域为1||

左边 边序列。

(11) 数字信号频谱分析时要求频率分辨力≤10Hz,如果信号采样频率为4kHz ，则要

求数据长度N 至少为 400 点。

(12) 若序列)(n x 是实序列，其离散时间傅里叶变换)(ωj e X ，则其幅度响应是ω的

偶 函数，相位响应是ω的 奇 函数。

(13) 设线性时不变系统的系统函数1

1

111)(-----=z

a z a z H ，若系统是因果稳定的系统，则参数a 的取值范围是 ||1a < 。

(14) 已知序列}1,2,3,4{)(=n x ，其6点DFT 用)(k X 表示，另有一个序列)(n y ，

其6点DFT 用)(k Y 表示，若)()(46k X W k Y k =，则序列=)(n y 66((4))()x n R n - 。

(15) 一个模拟实信号)(t x a ，带宽限制在5kHz 以下，即频谱0)(=f X a ，||5f kHz >。

以10kHz 的采样频率对)(t x a 采样得到1000点的序列)(n x ，设)(k X 是序列)(n x 的1024点DFT ，那么)(k X 中的128=k 对应于)(f X a 中的=f 1250 Hz ，

)(k X 中的768=k 对应于)(f X a 中的=f -2500 Hz 。

二、按要求完成下列各题：（每小题6分，共30分）

(1) 求序列,0

(),1

n n

a n x n

b n ?≥=?-≤-?的z 变换，确定收敛域。

解：()()(1)n n x n a u n b u n =--- ()z z

H z z a z b

=

+

-- 收敛域 ||||||a z b <<

(2) 已知序列)(n x 的DTFT 为()j X e ω，试用()j X e ω表示信号1()(1)(1)

x n x n x n =-+--的DTFT 。

解：1()()()2cos()()j j j j j j X e e X e e X e X e ωωωωωωω----=+=

(3) 线性时不变系统的系统函数1

()()()

H z z a z b =

--，,a b 是常数

1） 要求系统是稳定的，确定,a b 的取值范围； 2） 要求系统是因果稳定的，确定,a b 的取值范围。 解：1）,a b 的取值范围是||1||a b <<或||1||b a <<。 2）,a b 的取值范围是||||1a b <<或||||1b a <<。

(4) 已知)(n x 的频谱如下图，请分别画出先经4倍插值后的频谱)(1ωj e X ，以及再

经3倍抽取后的频谱

(2X

解：经4倍插值后，频谱范围为6

6

π

π

-

，幅度提高到4倍；

再经3倍插值后，频谱范围为2

2

π

π

-，幅度降低到3倍.

图略。

(5) 已知序列(){1,2,3,2,1),0,1,2,3,4x n n =---=，

1） 该序列是否可以作为线性相位FIR 低通滤波器的单位样值响应，为什么？ 2） 求)(n x 与序列4()()y n R n =的线性卷积及7点圆周卷积。

解：1）序列)(n x 是以2n =为对称中心的偶对称序列，因此可以作为线性相位FIR 低通滤波器的单位样值响应。

2）()*x n 4(){1,1,2,0,0,2,1,1}R n =----

()x n 与4()()y n R n =的7点圆周卷积为{2,1,2,0,0,2,1}--- 三、（8分）一个线性时不变系统的差分方程为：

311

()(1)(2)()(1)483

y n y n y n x n x n --+-=+-

（1） 求系统函数()H z ，画出零、极点图； （2） 画出系统结构图；

（3） 若系统是因果稳定系统，写出()H z 的收敛域，并求单位样值响应()h n 。

解：（1）1

12113()31148z H z z z ---+-+，零点113c =-，极点112d =，214d =。

（2）

（3）收敛域为1||2z <，10171

()[()()]()3234

n n h n u n =-。

1z -

1z -

-1/8

3/4 1/3

()x n ()y n

四、（8分）对连续时间信号1()()32t

x t u t ??

= ???，从0=t 开始以8Hz 为采样频率取得长

度为100点的序列)(n x 。写出)(n x 的表达式，求其傅里叶变换)(ωj e X 。若对)(ωj e X 在)2,0[π区间等间隔采样60个点，并对采样结果计算60点IDFT 得到)(n y ，写出

)(n y 与)(n x 的关系式，及)0(y 的值。

解：1

5

8

81001001()()2()32n

n x n R n R n -????

== ? ?????

100

5

858

12()12j j j e X e e ωωω

---

-??- ?

?

?=-

[]60

60()(60)()()(60)()r y n x n r R

n x n x n R n ∞

=-∞

=

+?=++?∑

60

58(0)12y -??

=+ ???

五、（8分）已知4()()x n R n =，求()x n 的8点DFT 和16点DFT. 解：4()()x n R n =的DTFT 为43

1()()1j j j n

j n

j n n e X e x n e

e

e ωω

ωωω

-+∞

---=-∞

=-=

==-∑∑ 3

2

sin(2)sin()

2

j e

ωωω

-=

()x n 的8点DFT 为38

28

sin(k)

2(k)()|

sin(k)

8

j k j k X X e e

πωπωππ

-=

== ()x n 的16点DFT 为316

216

sin(k)

4(k)()|

sin(k)16

j k j k X X e e

πωπωπ

π-=

==.

六、（8分）已知一个三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为

23

1

()12()2()()a c c c

H s s s s

=

+++ΩΩΩ，其3dB 截止频率为1c f kHz =，用双线性变换法

设计一个3dB 截止频率为2

π

的数字低通滤波器。

七、（8分）用窗函数法设计一个线性相位FIR 低通滤波器，频率响应为

,

00.4()0,

j j d e H e ωτω

ωπ

-?≤≤=?

?其他

要求阻带衰减大于35dB ，过度带宽不超过π1.0，请选择满足条件的窗函数，并给出设计结果)(n h 及长度N 。 附：

窗函数 表示式 过渡带宽 阻带最小衰减 矩形窗 )()(n R n w N = N

π8.1 -21

汉宁窗 )(12cos 121)(n R N n n w N ??

??????? ??--=

π N π2.6 -44 海明窗 )(12cos 46.054.0)(n R N n n w N ???

??

???? ??--=π N π6.6 -53

布拉克曼窗)(14cos 08.012cos 5.042.0)(n R N n N n n w N ??

???

???

? ??-+??? ??--=ππ N π11 -74