2021届河北省承德实验中学高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

2017届河北省承德实验中学高三上学期期中考试

数学（文）试题

一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）

1.若,,,a b c R a b ∈>且，则下列不等式正确的个数是（ ） ①

b a 1

1< ②22b a > ③44bc ac > ④1

122+>+c b c a A ．1 B ．2 C ．3 D.4

2.已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，

则图中的,m n 的比值

m

n

=（ ） A. 38

B ．13

C ．29 D.1

3.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则

47S S 等于 （ ） A ．4

7

B ．

5

14

C ．7

D ．14 4.已知βα,是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线给出下列命题： ①若,,βα?⊥m m 则βα⊥； ②若ββαα∥∥n m n m ,,,?⊥，则αβ；

③如果n m n m ,,,αα??是异面直线，那么n 与α相交； ④若,n ,n ,m n m α

βαβ=??，且则n α且n β.

其中的真命题是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

5．已知{}n a 是等比数列，231

2,4

a a ==，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ．16(14)n -- B ．16(12)n

-- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3

n --

6．设2z x y =+，其中变量x ，y 满足0,

0,0,x y x y y k +≥??

-≤??≤≤?

若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

7．一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积 为（ ）

A.33

)4

(π+ B ．()43π+ C ．()832π+ D ．()836π+

8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一 位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七 进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）

A ．336

B ．510

C ．1326

D ．3603 9.已知数列{}n a 满足(1)

2

1(1)

n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若 20171007S b =--，且

10a b >，则

112

a b

+的最小值为（ ） A ．322- B ．3 C ．22 D ．322+

10．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这 两点间的距离小于1的概率是（ ）

A ．

17 B ．37 C ．47 D ．67

11．设()211111

...123S n n n n n n

=++++++++,则（ ）

A ．()S n 共有n 项,当2n =时,()11

223

S =+

B ．()S n 共有1n +项,当2n =时,()111

2234S =++

C ．()S n 共有2n n -项,当2n =时,()111

2234S =++

D ．()S n 共有21n n -+项,当2n =时,()111

2234S =++

12.对于数列{x n }，若对任意n ∈N *

，都有212

n n n x x x +++<成立，则称数列{x n }为“减差

数列”．设11

22

n n tn b t --=-，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的

取值范围是（ ）

A ．（－1，＋∞）

B ．（－∞，－1]

C ．（1，＋∞）

D ．（－∞，1]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卷的横线上)

13．数列{a n }满足a 1=1,且a n+1-a n =n+1（n ∈N *

）,则数列1

{

}n

a 的前10项和为 . 14．已知222log ()log log x y x y +=+，则

4911

x y

x y +--的最小值是_____________. 15．总体编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_______.

16．已知点(),A a b 与点()1,0B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法：

①34100a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；2

2

2a b +>；④当0a >且1,0a b ≠>时，

1b a -的取值范围是53,,24????

-∞-+∞ ? ?????

．其中所有正确说法的序号是________．

三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)

17．（本小题10分）

已知函数()|21|||2f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≥；

（2）若存在实数x ，使得()||f x x a ≤+，求实数a 的取值范围.

18.（本小题12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足 1

12n n n a S ++=+*

()n N ∈.

（1）证明数列{

}2n

n

S 为等差数列 . （2）求12...n

S S S +++.

19.（本小题12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面 ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点.

（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积. 20.（本小题12分）

某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得 到的数据：

（1）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

（2）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．

参考公式：

2 2

(

)

K

()()()()

n ad bc

a b c d a c b d

-

=

++++

，()

n a b c d

=+++

21．（本小题12分）

已知关于x的二次函数2

()4 1.

f x ax bx

=-+

（1）设集合{}

1,1,2,3,4,5

p=-和{},

Q=-2,-1,1,2,3,4分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数()

y f x

=在区间[1,)

+∞上是增函数的概率.

（2）设点（a,b）是区域

80,

0,

x y

x

y

+-≤

?

?

>

?

?>

?

内的随机点，求函数()

f x在区间[1,)

+∞上是增函数的概率．

22.（本小题12分）

已知数列{}n a的前n项和n S和通项n a满足

1

(1)

2

n n

S a

=-．

（1）求数列{}n a 的通项公式并证明12

n S <

； （2）设函数13

()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++…，若

1231111n n T b b b b =

++++….

.n T 求

2017届河北省承德实验中学高三上学期期中考试

数学（文）试题参考答案

一．选择题： AACDC ADBBA DC

二．填空题：13.

1120

14. 25 15.01 16. ③④

17.（1）(,3][1,)-∞-+∞；（2）3a ≥-.

解析：（1）①当1

2

x ≤-

时，1223x x x --+≥?≤-，所以3x ≤- ②当102x -<<时，1

2123

x x x ++≥?≥，所以为φ

③当0x ≥时，121x x +≥?≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集为(,3][1,)-∞-+∞.

（2）即1|21|2||2|+|||122a

x x a x x +-≤+?-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322

a

a -≤+?≥-.

18.（1）证明见解析；（2）()1

2

12+?-+n n .

解析：（1）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1

122n n n S S ++-=，整理得

11122n n

n n

S S ++-=， 所以数列{

}2

n

n S 是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知，112

n

n S n n =+-=，即2n n S n =?，

令12n n T S S S =++

+ 212222n n T n =?+?++?①

21212(1)22n n n T n n += ?+

+-?+?②

①-②，2

12222n n n T n +-=++

+-?，

整理得1

2(1)2n n T n +=+-?.

19．（1）证明见解析；（2）

3

. 解析：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME . ∵点F 为PD 的中点，

∴1

//2FM CD ， 又1

//2

AE CD ，

∴//AE FM ，

∴四边形AEMF 为平行四边形， ∴//AF EM ，

∵AF ?平面PEC ，EM ?平面PEC ， ∴直线//AF 平面PEC .

（2）连接ED ，在ADE ?中，1AD =，1

2AE =，60DAE ∠=， ∴222221113

2cos601()212224

ED AD AE AD AE =+-??=+-???=，

∴3

ED =

， ∴2

2

2

AE ED AD +=， ∴ED AB ⊥.

PD ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，

∴PD AB ⊥，

PD ED D =，PD ?平面PEF ，ED ?平面PEF ，

∴AB ⊥平面PEF .

111222PEF S PF ED ?=

??=?=，

∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==1

3

PEF S BE ?=

??11382=?

48=20．（1）有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（2）

914

解析：（1）根据题中的数据计算：2

2

400(5017030150) 6.2580320200200

k ??-?==???

因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （2）由已知得抽样比为81

8010

=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3a b c d e ，选取2人共有

{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，

{},2b ，{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{},1d ，{},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,3

28个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件， 故所求概率为1892814

P ==． 21．(1)

49 (2)13

解析：（1）

函数2

()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2,b

x

a

=

要使函数2()41,f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，当且仅当0a >且

21,b

a

≤即2.b a ≤ 3分 若1,a =则2,1;b =-- 若2,a =则2,1,1;b =-- 若3,a =则2,1,1;b =-- 若4,a =则2,1,1,2;b =-- 若5,a =则2,1,1,2.b =--

∴满足条件的事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16. ∴所求事件的概率为

164

.369

= 7分 （2）由（1）知当且仅当2b a ≤且0a >时，函数

2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

80,(,)

0,,0,a b a b a b ?+-≤?????>??????

>???

构成所求事件的区域为右图阴影部分. 10分

由80,

,2a b a

b +-=??

?=??得交点坐标为168(,),33 ∴所求事件的概率为188123.1

3882

P ??

==?? 14分

22．（1）1

()3

n n a =；证明见解析；（2）证明见解析 解析：（1）当2n ≥时，111(1)(1)22

n n n a a a -=---111

22n n a a -=-+，12n n n a a a -=-+，

∴

113n n a a -=，由1111(1)2S a a ==-，得11

3

a =， ∴数列{}n a 是首项113

a =，公比为1

3的等比数列，

∴1111()()333

n n

n a -=

?=． 111()11331()12313

n n n S ??-?????

?==-????-， ∵411()13

n -<，

∴

1111()232n ??-

n S <．

（2）∵13

()log f x x =，

∴111211123

3

3

3

log log log log ()

n n n b a a a a a a =+++=……

1213

1log ()3n +++=…(1)122n n n +=+++=…．

∵

12112()(1)1

n b n n n n ==-++， ∴121111111122(1)()()22311n n n T b b b n n n ?

?=

+++=-+-++-=??++??

……