北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案
一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -????=--????-??，233x ??
??=??
????
，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？
3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：
i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '
3
并估计误差。（10分）
四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1
01
1I dx x
=+?
。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630
x x x -??????
??????-=??????
??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231
23202324
812231530
x x x x x x x x x ++=??
++=??-+=? 的迭代格式，并
判断其是否收敛？（10分）
八．就初值问题0(0)y y
y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考《数值分析》（A ）卷标准答案
一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()
()()
x x x x l x x x x x --=
--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）
对于对称正定阵 A ，从2
1i
ii ik
k a l ==
∑
可知对任意k ≤ i 有||ik ii l a ≤。即 L 的元素不
会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分） 2. 解：（1）若()*
*x
x ?=，则称*x 为函数()x ?的不动点。 （2分）
（2）()x ?必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
()x ?的不动点：
1）()x ?是在其定义域内是连续函数； （2分） 2）()x ?的值域是定义域的子集； （2分） 3）()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A ，初始向量v0，误差限ε，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：若|mk- μ |< ε，计算，输出mk,uk ；否则，转6； 步6：若k 2376,p x x x =-+（3分） 再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- （3分） 2K = （1分） [][]1max ;k k r i i n v v ≤≤= 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 ()32329156p x x x x =-+- （1分） （2）()()()()()()2 4311234! R x f x x x ξ= --- （2分） 四．解：应用梯形公式得()()11 012I I f f ≈=+??? ? （2分） 0.75= （1分） 应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ???? ≈= ++ ??????? （2分） 0.69444444= （1分） 应用科特斯公式得： ()()41113703212327190424I I f f f f f ? ??? ?? ?? ≈= ++++ ? ? ??????????? （2分） 0.6931746= （2分） 五．解：由零点定理，cos 0x x -=在(0, )2 π 内有根。 （2分） 由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n n n n x x x x n x +-=-=+ （4分） 取04 x π = 得， 12340.73936133; 0.739085178 0.7390851330.739085133 x x x x ==== （3分） 故取*40.739085133x x ≈= （1分） 六．解：对系数矩阵做三角分解： 1112 1321222331323325610 0413********u u u l u u l l u -?????? ??????-=????????????---?????? （2分） 125621373414A LU -???? ????=-=????????-???? （4分） 若Ly b =，则12310,1,4y y y ==-=； （2分） 若Ux y =，则(3,2,1)T x =。 （2分） 七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 00.50.51010.50.50B -????=--?????? （2分） 其特征多项式为() 2 det() 1.25I B λλλ-=+，且特征值为 1230, 1.25, 1.25i i λλλ===- （2分） 故有() 1.251B ρ=>，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分） （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.500.50.5000.5B -????=--????-?? （2分） 其特征值为1230,0.5λλλ=== （2分） 故有()0.51B ρ=<，因而雅可比迭代法收敛。 （1分） 八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 1. 证：该问题的精确解为0()x y x y e λ= （2分） 欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ （2分） 对任意固定的i x x ih ==， 有/1/00(1)[(1)]i i x h x h i y y h y h λλλλ=+=+， （2分） 则0()i x i y e y x λ= （1分） 2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,66n n n x a x n x += += （3分） 因迭代函数为()25,66x a x x ?=+而()35,63a x x ?'=+又*3x a =， （2分） 则 ()() 3 3 3 51 06 2 3 a a a ?' =+= ≠。 故此迭代格式是线性收敛的。 （2分） 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 现代汉语试题库 现代汉语试题库（绪论·试题） 一、填空题. 1．“现代汉语”通常有两种解释，狭义的解释指的是现代汉民族共同语——（），广义的解释还兼指现代汉民族使用的（）和（），我们这里讲述的是（）。 2．汉语做为一种语言，具有一切语言共有的性质。即从结构上说，它是一种（）；从功能上说，它是（）。 3．现代汉语有（）和（）两种不同的形式。（）是民族共同语的高级形式。 4．现代汉语民族共同语又叫（），它是以（）为（），以（）为（），以（）为（）的。 5．民族共同语是在一种（）的基础上形成的。汉族早在先秦时代就存在着古代民族共同语，在春秋时代，这种共同语被称为（），从汉代起被称为（），明代改称为（）。到了现代，即辛亥革命后又称为（），新中国成立以后则称为（）。 6．现代汉语的地域分支是（）。 7．共同语是（）的语言，方言是（）的语言。 8．现代汉民族共同语是在（）的基础上形成的。在形成过程中，（）有着特殊的地位。 9．汉语方言可以分为七大方言区，即（）、（）、（）、（）、（）、（）（）和（）。 10．我们了解和研究汉语方言，其目的之一就是要找出方言与普通话的（），有效地（）。 11．现代汉语的特点：语音方面（1）（）（2）（）（3）（）；词汇方面（1）（）（2）（）（3）（）；语法方面（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）。 12．（）语、（）语、（）语同汉语关系尤为特殊，它们都吸收过汉语大量的词，甚至在汉语的基础上产生了很多新词。 13．汉语是联合国的六种工作语言之一，另外五种是（）语、（）语、（）语、（）语和（）语。汉语在国际交往中发挥着日益重要的作用。 14．在当前语言文字工作的主要任务中，最重要的两项工作是（）和（）。 15．现代汉语规范化的标准是：语音方面以（）为（），词汇方面以（）为（），语法方面以（）为（）。 16．推广普通话并不是要人为地消灭（），主要是为了消除（），以利社会交际。 17．50年代初制定的推广普通话的工作方针是：（），（），（）。这个方针是正确的，今后仍然适用。 18．新时期推普工作应努力做好以下四点：第一，各级各类学校使用普通话进行教学，使之成为（）。第二，各级各类机关工作时一般使用普通话，使之成为。第三，广播、电视、电影、话剧使用普通话，使之成为（）。第四，不同方言区的人在公众场合交往时，基本使用普通话，使之成为（）。 19．现代汉语课程的主体由（），（），（），（）和（）几部分构成， 二、单项选择题（将正确答案的序号填在题后的括号里） 1．现代汉民族共同语和方言的关系是（） A．互相排斥 B．互相依存，方言从属于汉民族共同语 C．方言是从民族共同语中分化出来的 2．对普通话而言，汉语方言是一种（） A．地域分支 B．并立的独立语言 C．民族共同语的高级形式 D．对立的独立语言 3．汉语方言之间的差异，突出表现在（）方面。 A．语音 B．词汇 C．语法 D．词汇和语法 4．现代汉语书面形式的源头是（） A．文言文 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 大一现代汉语试题 一、填空题（每题1分，共10分） 1．现代汉民族共同语是（1.以北京语音为标准音，以北方话为基础方言，以典范的现代白话文著作为语法规范的普通话。。．）。2.据阻碍方式普通话声母可以分为(2．塞音、擦音、塞擦音、鼻音、边音。)。 3．后鼻韵母有( 3．iɑ、ie、uɑ、uo、üe。 )。4．普通话声调的四种调值是( 4．55、35、214、51)5.传统的“六书”是指（5．象形、指事、会意、形声、转注和假借。）。6．汉字标准化的四定是指(6. 定量、定形、定音、定序。)。7．合成词是由（7.合成词是由两个或两个以上语素构成的词。）的词，包括（复合式、附加式、重叠式。）三类。8.语义场的类型有（8．类属义场、顺序义场、关系义场、同义义场、反义义场。）。9．成语的特征是（9意义的整体性，结构的凝固性。）。10．词汇的发展变化主要表现在10．新词不断地产生，旧词的逐渐消失和变化，词的语义内容和语音形式也不断地发生变化。 。 二、名词解释（每题1分，共6分） 1．音素：音素是构成音节的最小单位。 2．单元音：发音时舌位、唇形及开口度始终不变的元音。 3．音位：一个语音系统中能够区别意义的最小语音单位。 4．词：词是最小的能够独立运用的语言单位。 5．义项：是词的理性意义的分项说明。 6．歇后语：是由近乎谜面和谜底两部分组成的带有隐语性质的口头用语。 三、语音题（共20分） 1．写出声母的发音部位和发音方法。（每题1分，共5分） 1）m 双唇、浊、鼻音（2）b 双唇、不送气、清、塞音 （3）ch 舌尖后、送气、清、塞擦音（4）k 舌根（舌面后）、送气、清、塞音 （5）x 舌面（前）、清、擦音 2．比较各组声母、韵母发音上的异同。（每题2分，共10分） （1）1）z — zh 相同点：发音方法相同都是不送气、清、塞擦音。不同点：发音部位不同，z 舌尖前音，zh舌尖后音。 （2）f—h 相同点：发音方法相同都清、擦音。不同点：发音部位不同，f唇齿音，h舌根（舌面后）。 （3）ɑo — iɑ相同点：都是复韵母。不同点：ɑo 前响复韵母，iɑ后响复韵母。 （4）onɡ—ionɡ相同点：都是后鼻韵母。不同点：韵腹不同（onɡ是u,ionɡ是ü）。（5）en — in 相同点：都是前鼻韵母。不同点：韵腹不同en是e，in是i。四、分析题（共20分） 1．分析词的结构类型。（每题1分，共10分） 倾销、利害、房间、老乡、吩咐、年轻、仅仅、皑皑、提高、地震、 倾销（偏正）利害（联合）房间（补充）老乡（附加） 吩咐（联绵）年轻（主谓）仅仅（重叠）皑皑（叠音） 提高（补充）地震（主谓） 2．辨析下列各组同义词（共10分） （1）持续——继续（2分）（2）愿望——希望（2分） 问题1：20.给定数据如下表： 试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。 分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。边界条件有两种，（1）是 已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。 对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。 ????????????????=???????? ?? ??? ???????????????????4321043210343 22 110d M M M M M 2000200 00 02 002 2d d d d λμμλμλμλ 其中μj = j 1-j 1-j h h h +，λi= j 1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1 对于第一种边界条件d 0= 0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1 -n h 6 （f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得： 由此得矩阵形式的线性方程组为： ? ? ????????????=???????????????????????? ?????? 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.0000 120 4286.0000 04000.02 6000.0006429.023571.00 012 43210 解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546 S(x)= ??? ????∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384 -x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779 -]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-333 33 33 3），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（ Matlab 程序代码如下： 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 一、选择题（共计40分，每小题2.5分） 1、下列有关声母的选项中，哪一个说法是错误的？ ________。 Ａ、声母是音节开头的辅音 Ｂ、“包（bāo）”这个音节，辅音“b”就是它的声母 Ｃ、辅音中有21个可以在音节中充当声母 Ｄ、声母指音节开头的元音 2、语素是________。 Ａ、最小的语音单位 Ｂ、最小的意义单位 Ｃ、最小的语音语义结合单位 Ｄ、能独立运用的最小的意义单位 3、下列各组词中全部是连绵词的是________。 Ａ、仓促、唐突、栏杆、苗条、蝙蝠 Ｂ、坎坷、蟋蟀、枇杷、卢布、拮据 Ｃ、详细、伶俐、逍遥、葫芦、蒙胧 Ｄ、游弋、叮咛、摩托、喽罗、吩咐 4、下列哪个是虚词________。 Ａ、名词 Ｂ、动词 Ｃ、形容词 Ｄ、叹词 5、“用”一词的韵母是________。 Ａ、y Ｂ、o Ｃ、on Ｄ、ong 6、现代汉语书面形式的源头是_________。 Ａ、文言文 Ｂ、官话 Ｃ、白话 Ｄ、近代汉语 7、下列哪项属于动词________。 Ａ、跑 Ｂ、华罗庚 Ｃ、他们 Ｄ、聪明 8、下列属于多音节语素的是________。 Ａ、书店 Ｂ、树 Ｃ、琵琶 Ｄ、奥林匹克 9、下列属于复指短语的是________。 Ａ、最满意的解决方案 Ｂ、来送两本书 ___ ___ __ __ ___ __ __ _学院__ ___ __ __ _级__ __ ___ __ __ 班 姓名__ __ ___ __ __ ___ _ 学号_ __ ___ __ __ ___ __ ……… … … … … … … … … … （ 密 ） … … … … … … … … … … … … （ 封 ）… … … … … … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … 密 封 线 内 答 题 无 效 数值分析作业一 习题 9： 解：求1 0(arccos )n I x dx =?的稳定递推公式 21/20/2/2 100n 1n 2~00001()/221101221y=x=cosy dx=-sinydy x [0,/2] I siny.cos .n.cosy..(/2)-n(n-1)I =(1)!E (n )(1)(n 1)!E (n n n n n n n n n y dy y y y dy n I E I I E n E πππππ---+∈==-+=-=-=--??令arccosx ，则有，其中则的误差可以设为，根据误差的传递可得： 其中为偶数；同理，其中22n 2n )n 11I =I +(/2)(n 1)1 n n n π-----为奇数。所以误差随着的变大而逐渐累加，顾不是稳定递推公式。 可求得稳定递推公式为： 习题10： 求 的稳定递推公式： 解： 1n 1011......(1)44c =-(-)44 1)c>4n 41c c 2c<4n c=n n n n n n n c I n c E E I n ---+==+=求的递推公式为I 则有E ，根据误差的传递可得E 讨论：当时，递推公式(1)属于病态问题，即误差随增加而增加，所以递推公式要变为I ）当时，误差随增加而变小，所以递推公式（1）是稳定的 3）当4时，误差不变，递推公式（1）是稳定的。 n n x I dx x c 1 04=+? 实验题 程序： ess=input('Enter the number of ess:'); ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; y=roots(poly(1:20)+ve) plot(y) 1.当ess取值大于0.00000000001时会出现“复数”根。表明有些解对如此扰动敏感性较大。 2.当将方程（1.2）中的扰动项改成18x 或其它形式，实验中不会出现“复数”根，各跟的抗干扰性变强。 思考题一程序如下 ess=input('Enter the number of ess:'); ve=zeros(1,21); ve(3)=ess; y=solve(poly2sym(poly(1:20)+ve),'x') plot(y) 输入不同的ess值发现各根的精确度变高，干扰也变大。 思考题二程序如下： Y=0.1;i=1; n=input('Enter the limit value:'); while i 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( ▆■■■■■■■■■■■■ 福建师范大学网络与继续教育学院 《现代汉语（一）》期末考试A卷 姓名：黄维国 专业：小学教育 学号： 191201812855801 学习中心：安徽含山奥鹏学习中心[22] 一、归类题（20分） （1）刃火川渴休上江磊 答：象形字火川；指事字上刃；会意字休磊；形声字渴江。 （2）把部位相同的字归为一类： 辽刚忝固裨匣思旬 答：左右结构刚裨；上下结构思忝；内外结构辽匣固旬。 （3）把形旁和声旁组合方式相同的形声字归为一类： 花把阔问切盒娩战裳府辨零 答：左形右声把娩；右形左声战切辨；上形下声花零；下形上声盒裳；外形内声府阔；内形外声问。二、分析题（50分） 1.分析下列音节结构（18分） 音节声母 韵母 声调 韵头韵腹韵尾 月y u e 去声 光g u a ng 阴平 球q i o u 阳平 蹦 b e ng 去声 轮l u n 阳平 水sh u i 上声 2.分析下列合成词的结构类型：（12分） 肉麻：偏正云集：联合动员：动宾扩大：补充 船只：偏正月亮：偏正放牧：动宾面熟：主谓 3.分析下列各几组句子中划线的词之间的意义关系，并指出哪些 是多义词，哪些是同音词。（10分） （1）A、他胸前别着校徽。 B、过马路别乱跑。 （2）A、他说话的神气特别认真。 B、少先队员戴着鲜红的领帽，显得很神气。 C、他神气活现。 答：（1）别是多义词 （2）神气是多义词 4.通过下列句子来分析儿化的作用：（10分） （1）我们的头儿不停地摇着自己的头。 （2）校长画了一幅画儿。 （3）人活着就得做活儿。 （4）他瞪大眼盯着那个眼儿。 （5）他在信中给我透了个信儿。 （6）小孩儿长着苹果脸儿，骑着小马儿，拿着鲜花儿。 答：（1 ）我们的头儿不停地摇着自己的头：“ 头” 是人体最上部或动 物最前部长着口、鼻、眼等器官的部分，“ 头儿” 是头目、领导，儿化 有区别词义的作用。 （2 ）校长画了一幅画儿：“ 画” 是动词，“ 画儿” 是名词，儿化有 区别词性的作用。 （3 ）人活着就得做活儿：“ 活” 是动词，“ 活儿” 是名词，儿化起 到区别词性的作用。 （4 ）他瞪大眼盯那个眼儿：“ 眼” 是眼睛，“ 眼儿” 是小孔，儿化 起到区别词义的作用。 （5 ）他在信中给我透了个信儿：“ 信” 是书信，“ 信儿” 是消息， 儿化具有区别词义的作用。 （6 ）小孩儿长着苹果脸儿、骑着小马儿、拿着鲜花儿；这里的儿化有表 示细小、可爱、亲切的修辞效果。 数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
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