离散数学练习题(含答案)
离散数学试题
第一部分选择题
一、单项选择题
1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）
A．p∧┐p∧q B．┐p∨q
C．┐p∧q D．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐q
C．p∧q D．p∧┐q
3．下列语句中是命题的只有（ A ）
A．1+1=10 B．x+y=10
C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2
4．下列等值式不正确的是（ C ）
A．┐(?x)A?(?x)┐A
B．(?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x)
C．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)
D．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?(?x)A(x)→(?y)B(y)
5．谓词公式(?x)P(x,y)∧(?x)(Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)中量词?x的辖域是（ C ）
A．(?x)Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z))
B．Q(x,z)→(?y)R(x,y,z)
C．Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)
D．Q(x,z)
6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={
A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}
7．设A={?}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）
A．{?,{?}}∈B B．{{?,?}}∈B
C．{{?},{{?}}}∈B D．{?,{{?}}}∈B
8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）
A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）
A．a*b=min(a,b)
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B ．a*b=a+b
C ．a*b=GCD(a,b)(a,b 的最大公约数)
D ．a*b=a(mod b)
10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系
11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ?R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系
第二部分 非选择题
二、填空题
1．设论域是{a,b,c}，则(?x)S(x)等价于命题公式S(a)∧S(b)∧S(c)；(x ?)S(x)等价于
命题公式S(a)∨S(b) ∨S(c)。 2．设R 为A 上的关系，则R 的自反闭包r(R)=_R ∪A I _，对称闭包s(R)=_R ∪R ~
。 3．某集合A 上的二元关系R 具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R 是A I _，其关系矩阵是只有主对角线上元素为1 。 三、计算题 1．（4分）如果论域是集合{a,b,c}，试消去给定公式中的量词：)0y x )(x )(y (=+??。
2．用等值演算求下面公式的主析取式。)()(P Q Q P ∨?→→?
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3．用等值演算法求公式)()(Q P Q P ?→?→?的主合取式。
4．（6分）在偏序集
合D={2,3,4,6}的极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。
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5．设集合A={1,2,3,4,5},A 上的划分为π＝{{1,2,3},{4,5}},试求：
1)
写出划分
π诱导的等价关系
R ；
2) 写出关系矩阵R M ； 3) 画出关系图。
6. 设A ＝{a ，b ，c ，d }，R 是A 上的二元关系，且R ＝{，，，
解 r (R )＝R ∪I A ＝{，，， d >} s (R )＝R ∪R -1＝{，，， 02324# 离散数学试题 第 5 页 共4页 R 2＝{，，，} R 3＝{，，，} R 4＝{，，，}＝R 2 t (R )＝i i R ∞ =1 ＝{，，， d >} 四、证明题 1．设R 和S 是二元关系，证明1 11)(---=S R S R 2．设A={a,b,c},R={(a,a),(a,b),(b,c)},验证rs(R)=sr(R)。 3．设R 是A 上的二元关系，试证：R 是传递的当且仅当 R R ?2，其中2R 表示R R ?。 4．证明下列结论： （1）R ∧ ? → P→ ∨ Q P R Q （2）D → →), ( ∧ ) ? ( ( ), B C D A C A ∨ A? B ∧ 解：（1）1 P∧Q P附加前提 2 P T，1，I 2 3 P∨Q T，2，I 1 4 P∨Q→R P 5 R T，3，4，I 3 6 P∧Q→R CP （2）1 ?D P假设前提 2 D∨A P 3 A T，1，2，I 5 4 (A→B)∧(A→C) P 5 A→B T，4，I 2 6 B T，3，5，I 3 7 A→C T，4，I 2 8 C T，3，7，I 3 9 B∧C T，6，8 ，合取式 10 ?（B∧C）P 11 （B∧C）∧?（B∧C） T，9，10，合取式，矛盾 5.已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A， [a]R∩S=[a]R∩[a]S。 解：?x∈A，因为R和S是自反关系，所以 ?x、y∈A，若 ?x、y、z∈A，若 02324# 离散数学试题第6 页共4页