备战2019高考数学选择题专题04不等式的证明理
专题04 不等式的证明
知识通关
1．基本不等式
（1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么
2
a b
ab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么
3
3
a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即
12123n
n n a a a a a a a n
++
+≥??，当且仅当
a 1=a 2=···=a n 时，等号成立.
2．柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则2
2
2
2
2
()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当
ad=bc 时，等号成立.
（2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||?≥?αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立.
（3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22
221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+-
（4）一般形式的柯西不等式：设1212,,
,,,,
,n n a a a b b b 是实数,则
(22212n a a a ++
+)(222
12n b b b +
++)
≥()2
1122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得
a i =k
b i (i=1,2,···,n )时，等号成立.
3．不等式证明的方法 （1）比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.
名称作差比较法作商比较法
理论依据a＞b?a－b＞0
a＜b?a－b＜0
a＝b?a－b＝0
b＞0，
a
b
＞1?a＞b
b＜0，
a
b
＞1?a＜b
（2）综合法与分析法
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综
合法．即“由因导果”的方法．
②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些
充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫分析法．即“执果索因”的方法．
（3）反证法和放缩法
①反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后
得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
②放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到到证
明的目的.我们把这种方法称为放缩法.
基础通关
1．比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.
2．综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A?B1?B2?…?B n?B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“?”．解题时，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．
3．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
题组一比较法证明不等式
作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号． 【例1】已知函数11
()2
2
f x x
x
，M 为不等式()2f x 的解集.
（1）求M ；
（2）证明：当a ，b M 时，1a
b ab .
【解析】（1）12,,21
1()1,,2212,.2x x f x x x x ?
-≤-??
?=-<
当1
2
x ≤-
时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当11
22
x -
<<时，()2f x <； 当1
2
x ≥
时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（2）由（1）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<， 从而2
2
2
2
22
2
2
()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+ 题组二 分析法证明不等式
分析法证明的思路是“执果索因”，具体过程如下：1Q P ?→12P P ?→23P P ?→···→得到一个明显成立的条件.
【例2】已知函数()|23||1|f x x x =-++. （1）求不等式()4f x <的解集A ；
（2）若,m n A ∈，试证明：|4|2||mn m n +>+.
【解析】（1）若1x <-，则3214x x ---<，解得2
3
x >-
，无解； 若312x -≤≤
，则3214x x -++<，解得0x >，故302
x <≤； 若32x >
，则2314x x -++<，解得2x <，故3
22
x <<. 综上所述，不等式()4f x <的解集A 为(0,2).
题组三 反证法证明不等式
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的． 【例3】设a >0，b >0，且a ＋b ＝11
a b
+.证明： （1）a ＋b ≥2；
（2）a 2
＋a <2与b 2
＋b <2不可能同时成立． 【解析】由a ＋b ＝
11a b +＝a b ab