固体物理基础课后1到10题答案

一．本章习题

P272习题

1.试证理想六方密堆结构中c/a=.

一． 说明：

C 是上下底面距离，a 是六边形边长。

二． 分析：

首先看是怎样密堆的。

如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。

（同一面上有6个，上下各有3个）

上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。

中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。

三． 证明：

如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点

3

3

'a AB AO =

=

∴

（由余弦定理

)

330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο

ο

633.13

22384132)2()2()3

()2(2

22

222

22

2

2'

'≈===∴+=+=+

=a c c a a

c a a

c OA AO OO

2．若晶胞基矢c b a ρ

ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。

一、分析：

我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ

2=。

倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ

++=

写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ

ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。进而求

得此面间距d 。

二、解：

c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ

===,,

晶胞体积abc c b a v =??=)(ρ

ρρ

倒格子基矢：

k

c

j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i

a k c j

b ab

c c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?=

而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2

22321)()()(2)

(2c

l b k a h G k c

l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ

故（hkl ） 晶面族的面间距

2222

22)()()(1)()()(222c

l b k a h c

l b k a h G d ++=

++=

=ππ

π

ρ

3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？

1．分析：

考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）

（1）体积最小的重复结构单元

（2）只包含一个格点

（3）能反映晶格的周期性

应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。

原胞反映周期性，在空间无空隙无交叠排列成晶格。

我们不容易看出哪几个原子组合成一个格点。

我们可先分析晶胞是否组成复式格子？何种格子组成的复式格子？是由几层套构而成的？

我们知道如果是体心立方，将是两个简立方套构而成的二重复式格子。

如果是面心立方，将有对面面心处的原子构成三重简立方格子；加上顶点处是四重简立方格子。

这样，我们的题中是体心加面心，面心的四重格子加上体心处的原子构成的一重格子，故应是五重简立方的复式格子。所以布拉菲晶格是简单立方格子。

这样可将体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为一个组合形成一个格点，即由5个原子形成一个格点，亦即基元是选这样的原子组合。最后格点的原胞是简立方，每个原胞含一个格点，每个格点含五个原子。故每个原胞含有5个原子。

2．答：

通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。

体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。

4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 一．（111）面

（1） 分析：

先分析有几个原子？ 如图（书图，P10）。

（111）面由3顶点连线组成的面。3个顶点原子，每个贡献1/6，3个面心原子，每个贡献1/2，共6原子，每个（111）面有22

1

3613=?+?

个原子。 求出（111）面面积可得原子面密度。

（2） 解：

平均每个（111）面有22

1

3613=?+?个原子。 （111）面面积

()222232

322)2

2(

)2(22

1

a a a a a a =?=

-? 所以原子面密度2

2)111(34

2

32a

a =

=σ

二．（110）面

（1） 分析：

如图（书图，P10）。

（110）面是四顶点组成的面。 分析有几个原子？

4个顶点原子，每个贡献1/4（上下两层，每层两个单胞中的（110）共用一个顶点）；

2个面心原子，每个贡献1/2。

共6个原子，平均每个（110）面有22

1

2414=?+?

原子。再求出（110）面积即可。

（2） 解：

平均每个（110）面有22

1

2414=?+?个原子。 （110）面面积2

22a a a =?

所以（110）面原子面密度22

)110(2

22a a

==σ

5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a ρρρρ

2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。

解：

倒格子基矢：

j

b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a

x i a x a a a a v b ρρρρρρρρρρρρρρρ113233212

12212222)(2)

(2222)(2===??=?===??=?=πππππππ

所以倒格子也是二维矩形格子。2b ρ

方向短一半。

最近邻;,22b b ρρ-

次近邻;2,2,,2211b b b b ρρρρ--

再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b ρ

ρρρρρρρ---+-

再再次近邻;3,322b b ρ

ρ-

做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：

第一布里渊区是一个扁长方形；

第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；

第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。

6．六方密堆结构的原胞基矢为：

k

c a j a i a a j

a i a a ρρ

ρρρρρρ=+-=+=32123212321

试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。

1． 分析：

从前面的学习我们已经知道，六方密堆结构是两个简单六方格子复合成的二重复式格子。所以原胞为简单六方结构。

1． 解：

原胞为简单六方结构。原胞体积：

c a j i j i c a i j ac j i a k c j i a j i a a a a v 223212

3)3()3(41)]3(2

1[)3(21])3(2

1[)3(21)

(=+?+=+?+=?+-?+=??=ρρρρ

ρρ?ρ

ρρρρρ

ρρρ 倒格子基矢：

k

c

a a v

b j i a

j i a k c c a a a v

b j i a k

c j i a c a a a v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρππππ

ππππ2)(2)3(2)]3(21[2

32)(2)3(32])3(21

[232)(22132

1322321=?=+-=+?=

?=+=?+-=

?=

由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意：倒格

子是简单六方，而不是六方密堆）

选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。

次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。

再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。

所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。

7．试求金刚石的结构因子并讨论X 射线衍射消失的条件。

解：图见书P7图(a)

金刚石结构的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有两个原子。

将顶角处选为原点，另一原子位置)(4

k j i a r L ρ

ρρρ++=

进而，将面心再看成是四套简立方的复式格子。

简立方每个格点有四个面心立方的格点，而面心立方的格点有2个原子。所以简立方的每个格点就相当于有842=?个原子。

也就是考虑一个金刚石结构单胞中，顶点中的一个原子和6个面心中的3个原子（每对对面中取一个）及4个对角原子作为一个基元。最后可构成简单立方晶格。

这时基矢：k a a j a a i a a ρρρρρρ

===321,,

一个单胞中各原子位矢：

顶点：,01=r ρ

面心：),(2

),(2),(2432k i a r k j a r j i a r ρρρρρρρρρ+=+=+=

对角：

)

33(4

),33(4),

33(4

),(48765k j i a

r k j i a r k j i a r k j i a r ρρρρρρρρρ

ρρρρρρρ++=++=++=++=

因为都是同一原子，故原子散射因子都为f ，

简立方布拉菲晶格的倒格矢)(2321k h j h i h a

a ρρρρ++=π

则结构因子

????

??????????????+++++++==++?++++?++++?++++?+++?+++?+++?++?∑)33()(2)

33()(2)33()(2)(4)(2)()()

()()

()(3213213213213213213211)(k j i k h j h i h i k j i k h j h i h i k j i k h j h i h i k j i a k h j h i h a i k i k h j h i h i k j k h j h i h i j i k h j h i h i j

r G i j e e e e e e e f e

f G S j

ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ

ρρρρρ

ρρρρπππππππ ??

?

???????+++++++=+++++++++++)33(2)33(2)33(2)(2)()()

(3213213213213132211h h h i h h h i h h h i h h h i h h i h h i h h i e e e e e e e f π

πππ

πππ ??

????????+++++++=++++++++]1[1)()()()(2)()()(312132321313221h h i h h i h h i h h h i h h i h h i h h i e e e e e e e f πππππππ

?

?????++++=+++++]1][1[)(2)()()

(321313221h h h i h h i h h i h h i e e e e f π

πππ

故当（1）{}

1)()()

(313221-=+++++h h i h h i h h i e e e πππ 时，S=0，消光；

或当（2）1)(2321-=?

?????++h h h i e π

时，也有S=0，也消光。

为使得（2）成立,需

12)(2

1

321+=++n h h h （奇数）

（n 为整数） 即)12(2321+=++n h h h

即：（b ）密勒指数之和为奇数的2倍时，消光。

为使得（1）成立，需（a ）h 1、h 2、h 3不全为奇或不全为偶。 （奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数） （（1）中左端的3项有2个是-1，能保证（1）式成立）

所以当：

(a)3个密勒指数不全为奇或不全为偶时，消光； 或(b)3个密勒指数之和为奇数的2倍时，消光。

若

（Ⅰ） 密勒指数为全奇，并且三者之和为n n h h h 422321=?=++

即3者之和可被4整除时，0≠S 能看到衍射线。

但因为全奇时，三者之和必为奇数，故肯定不能被4整除，所以此条件不存在。 故只有在下面的条件，能看到衍射线。即仅当

（Ⅱ）密勒指数为全偶并且三者之和可被4整除时，方有0≠S ，才能看到衍射线。

8、证明一维NaCl 晶体的马德隆常数为2ln 2=α

证明：

由马德隆常数的定义有∑≠±

=

N

i j j

a )

(1α 其中异号离子取“+”，同号离子取“-”

一维NaCl 晶体的结构如图，正负离子相间排列。 最近邻离子的距离为a 。

选O 点处离子为参考点，其它离子与它的相对距离为 ,1101?==a aa r ,2202?==a aa r ,3303?==a aa r

,1110?==--a aa r ,2220?==--a aa r ,3330?==--a aa r

2

1

...4131211121 (4)

13121111...11111 (111112)

43212

4321)

(N N a a a a a a a a a a a N

N N

i j j ±

+-+-+±+-+-=±+-+-+±+-+-=±

=

-----≠∑α

)2

1 (4)

1312111(2N ±+-+-=

由泰勒公式展开)()1(...2)1ln(12x R n

x x x x n n

n +-++-=+-（高数第一册P161例2） 当x=1时，有)1(1)1(...2112ln 1n n R n

+-++-=- 上面的,2

n N =N 很大，n 大，余项R n (1)很小，舍去。

故有2ln 2=α

问题得证。

9、若离子间的排斥势用ρλr

e -来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。

解：

（1） 一般情况：

第j 个与第i 个离子间的库仑势为ij

r e 024πε±(同号取“+”，异号取“-”)

排斥势为ρ

λij

r e

-

第j 个与第i 个的相互作用势为ρ

λπεij

r ij

ij e r e r u -

+±=024)(

所有离子对 第i 个离子的总相互作用为

ρ

λπεij

r ij

N

i j e

r e -≠+±

∑

02

)

(4

因为表面离子数相对总数少，忽略晶体表面离子与内部的差异。

设最近邻离子间距为r ，则r ij =ra j 故有晶体内离子间总的相互作用为：

)4(2

02)

(ρ

λπεij

r ij

N

i j e

r e N U -

≠+±

=

∑

]1

4[

2)()(02

ρλπεj ra N i j N

i j j e a r e N -≠≠∑∑-±-= （此时，j

a 1

±

中的 “+” 表示异号离子之间， “-”表示 同号离子之间） 如果只考虑最近邻的排斥，且设有Z 个最近邻离子

则)4(202

ρλαπεr Ze r

e N U ---=

α是马德隆常数。 结合能U E C -=

（2） 平衡时结合能的表达式：

设r=r 0是平衡时的最近邻距离。则U （r 0）取得极小值。 即

0)

(0=??=r r r r U

则有

)(r r r

r U =??0))1

(4[202

002=----=-ρλρ

απεr Ze r e N 解得ρ

περαλ0

2

0024r e Z

r e = 平衡时，晶体相互作用能 )1(8)(0

0020r r e N r U ρ

πεα--=

平衡时结合能的表达式)(0r U E C -=

（3） 确定参数λ和ρ

为了能求出λ和ρ，可建立与宏观测量量间的关系，如体弹模量或压缩系数。

按定义：压缩系数T P

V

V k )(1??-=表示温度一定时，加单位压强时，晶体体积的相对改变量。

体弹模量0

221V V U V k K ??==（此由V U

P ??-

=得出。V 0是平衡时晶体体积）

以类似于NaCl 晶体结构为例：

2

2

23

033131

,3,0

Nr Nr V

r

Nr r V Nr V Nr V r r =

=

??=??==

)42(200

23

022

2ρρλπεαr r e Z r e N r U --±-=?? 0

00

00

00

222

2

2

220

22)31

()()()()()()()(r r r V r

U V V r V V V r U

Nr r

U

V r V

r r U r V r r U V V r r U V V r V r V r

U V r r U V V U V V U

r ??=?????=??????????=??????????????+?????

??=

???????=????=

??=

=??

2

20222

2

3

02

291)31

(r r V r U

Nr r U

Nr Nr V U V

K ??=

??=??=

)]42(2[910230020ρρ

λπεαr e Z r e N Nr ---=

类似于NaCl 结构（3

Nr V = ）的晶体都有0

2

2091r r U Nr K ??=

将ρ

περαλ0

2

0024r e Z

r e =代入得 2

72)2(7272362

4

000

04

002

30024002+=

∴-=+-=e K

r r r r e r e r e K απερρ

πεαρπεαπεα

所以由实验测得K 后就可求出ρ，再由ρ

περαλ0

2

0024r e Z

r e =得λ。

10、如果NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。

解：

结合能)4(2)(,02n C r B

r e N r U U E --=-=πεα

)4(20

0020n r B

r e N U --=∴πεα

排斥势不变，即B 、n 不变， 电荷增加一倍即,2e e →

则)4)2((202n r B

r e N U '

-'-='πεα

平

衡

时

,41002-=n r n e B πεαn r e r B n 0020

4πεα=)11(42)44(20020020020n r e N n r e r e N U --=--=∴πεαπεαπεα

,2e e →则,4)2(1002-'='n r n e B πεα)1

1(4)2(20020n

r e N U -'-='∴πεα

B 不变，则011

011

00)4

1

(,)41(r r r r B B n n --='∴='∴'=

平衡距离是原来的n n --=11

114)4

1

(倍。

可见后来的平衡距离00r r <'

C

n n C C C

n n

n n n E E U E U E U U r r

U U 1

00010

11100004,44444----='∴-='-='='∴=?='=' 结合能是原来的1

4

-n n

倍。可见C C

E E >'。 故电荷增加时结合能变大，平衡距离变小。