上海交通大学版大学物理学习题答案之4动量和角动量习题思考题

习题

4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

（1）质点所受合外力的冲量I ；

（2）质点所受张力T 的冲量I T 。

解：

（1）根据冲量定理：???==t

t P P d dt 00

P P F 其中动量的变化：0v v m m -

在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I 为零

（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。

重力产生的冲量=mgT=2πmg /ω；所以拉力产生的冲量=2πmg /ω，方向为竖直向上。

4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s 。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

（1）力F 在1s 到3s 间所做的功；

（2）其他力在1s 到s 间所做的功。

解：

（1）由做功的定义可知：

J S v Fdt v Fvdt Fdx W x 6.1253

131x 21=?====???椭圆 （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。

4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为j i r t b t a ωωsin cos +=，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j

（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。

4-4.质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。求：

（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；

（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。

解：

（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： 10Mv mv mv +=

代入数据 123002.060002.0v +?=? 可得：s m v /7.51=

根据圆周运动的规律：T-G=2v M R 2184.6v T M g M N R

=+= （2）根据冲量定理可得： s N mv mv I ?-=?-=-=4.1157002.00

4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m/s kg 102.122??-，中微子的动量为236.410kg m/s -??，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

kg 108.526-?，求其反冲动能。

由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：

ααcos sin 21m m =

ααsin cos 21m m P +=

所以221.410/P kg m s -=??

9.151=-=απθ （2）反冲的动能为：2180.17102k P E J m

-==?

4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为3/1044005

t F ?-=，子弹从枪口射出时的速率为m/s 300。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；

（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ；

（3）子弹的质量。

解：（1）由3/1044005t F ?-=和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：03/1044005=?-=t F 算出t=0.003s 。

（2）由冲量定义： 0.0030.0030.003552000400410/3400210/30.6I Fdt t dt t t N s

==-?=-?=??

?（）

（3）由动量定理：0.003

00.60.6/3000.002I Fdt P mv N s m kg =

=?==?==?所以： 4-7. 有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。

解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为x c 。

112212c m x m x x m m +=+ 因为12m m m ==，12

c x x =

故 2223,c c c mx mx x x x +=

= 4-8. 两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A 紧靠墙。今用力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。（已知m m =

1，m m 32=）求：

（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时

速度的大小；

（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。

2

020222

121kx v m = v v 2）（2102m m m += 所以m

k x v 3430= （2）

221220222

12121v m m kx v m ）（++= 那么计算可得：021x x = 4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数5.0=e .

解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得

（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv mv 20=

所以：02

1v v = （2）假设碰撞是完全弹性的，

210mv mv mv +=

2221202

12121mv mv mv += 两球交换速度， 01=v 02v v =

（3）假设碰撞的恢复系数5.0=e ，也就是

210mv mv mv +=

5.020

1012=--v v v v 所以：0141v v = ， 024

3v v = 4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为 30=α，轻质弹簧上端固定．今在

弹簧的另一端轻轻地挂上质量为kg 0.1=M 的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑cm 30=x 时，恰好有一质量

kg 01.0=m 的子弹，沿水平方向以速度m/s

200=v 射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为

N /m 25=k 。求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：

22111sin 22

Mv kx Mgx α+= 10.83v ?= (碰撞前木快的速度) 1cos Mv mv m M v α'-=+（） 0.89v '?=-

4-11. 水平路面上有一质量kg 51=m 的无动力小车以匀速率0m/s 2=运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为kg 252=m 的车厢连接，车厢前端有一质量为kg 203=m 的物体，物体与车厢间摩擦系数为2.0=μ。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：

(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；

(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s 2)

解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得

v m m m v m '++=）（32101 2.0='?v m s

v m m v m )(2101+= s m v m m m v 31255250211=+?=+= 2321221321)(21

v m m m v m m gs m '++-+=）（μ

m g m v m m m v m m s 60

121)(2

13321221='++-+=μ）（ （2）t g m μv m 33=' s g μv t 1.010

2.02.0=?='=

4-12. 一质量为M 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k .一质量为m 的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L .

(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s ，求子弹所受的平均阻力。 解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒

条件可得，

v M m mv '+=）（0

222

121kL v M m ='+）（ 计算得到：）（M m k m

L v +=0 （2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s ，所以：

）（22

02

1v v m fx '-=

221v M x f '=' 其中s x x ='- 所以：m s

MkL f 22

= 4-13. 质量为M 、长为l 的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m 的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u 从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即kv f -=.求在整个过程中船的位移x ?.

4-14． 以初速度0将质量为m 的质点以倾角θ从坐标原点处抛出。设质点在Oxy 平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：

（1）作用在质点上的力矩M ；

（2）质点的角动量L 解：（1）k t mgv F r M

θcos 0-=?=

（2）k t mgv dt M v m r L t 200cos 2

θ-==?=?

4-15． 人造地球卫星近地点离地心r 1=2R ，（R 为地球半径），远地点离地心r 2=4R 。

求：

（1）卫星在近地点及远地点处的速率1和2（用地球半径R 以及地球表面附近的重力加速度g 来表示）；

（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。

解：利用角动量守恒：2211mv r mv r L == 2142v v =?

同时利用卫星的机械能守恒，所以：

R

Mm G mv R Mm G mv 421221022021-=- mg R Mm G =2

0 所以： 3

21Rg v = 62Rg v = （2）ρρ220v m Mm G = 可得到：R 38=

ρ

4-16火箭以第二宇宙速度2v =离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R 的A 处的速度。

解：第二宇宙速度0E =，由机械

能守恒:

21024A Mm mv G R

=-

A v == 24sin A mv R mv R θ=

2v =30θ?=

思考题4

4-1. 一α粒子初时沿x 轴负向以速度v 运动，后被位于坐标原点的金核所散

射，使其沿与x 轴成 120的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出α粒

子所受到的冲量I 的大小和方向。

见图4-25。

4-2. 试用所学的力学原理解释

逆风行舟的现象。

可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，m Δ表示这块空气的质量，1v 和2v 分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于m Δ的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，m Δ必然对帆有一个反作用力f '，此力的方向偏向船前进的方向，将f '分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。

4-3. 两个有相互作用的质点1m 和2m （2

12m m =），已知在不受外力时它们的总动量为零，1m 的轨迹如图，试画出2m 质点的运动轨迹。

见图4-26。

4-4. 当质量为m 的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：

1

e 212e 222121r m Gm mv r m Gm mv -=- 1122sin sin θθmv mv =

2

e 2r m Gm r m v = 试分析上述三个方程各在什么条件下成立。

4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？

对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；

4-6. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：

（A ）甲先到达；（B ）乙先到达；（C ）同时到达；（D ）谁先到达不能确定。 答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.

当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.

选择C 。