数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、基本概念

（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.

（2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列

的通项公式.

注：①并非所有的数列都有通项公式；

②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式.

题型归纳及思路提示

题型1 数列通项公式的求解 思路提示

常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法

根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a

②叠乘法：形如1()n

n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a

③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列

构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法.

利用n S 与n a 的关系求解 形如

1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据

1*

1(1)(2,)

n n n S n a S S n n N -=?

=?-≥∈?，求出n a 观察法

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n

-或者1

(1)

n -- 部分.②考虑各项的变化

规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2

n 、{}2n

与(1)

n

-有

关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式：

（1）325374

,,,,,,;751381911

-

--L

（2）2,22,222，L ，222L ；

（3）数列

{}n a 中各项为：12,1122,111222，L

，{111222n n L L 12

3个

个

，L 分析：通过观察，找出所给数列的特征，求出其通项.

解析：（1）①原数列中的数的符号一正一负，故摆动数列乘以(1)n

-；

②绝对值后分子分母无明显的规律，但通过对偶数各项分子分母同乘以2，可使分子出现规律为3,4,5,6，L ，则2

(1)34

n

n n a n +=-+. 解法一：

121202102102

2(101010)1(110)22(101)

1109

n n n n n n n a ----=?+?++=+++-==--L L g g 解法二：原数列?

2229,99,999999n ???L L 123个

，即2=(10-1)9n

n a （3）1

21

=(10-1)10+

(10-1)=(10-1)(10+2)9

99

n n n n n n a g 变式1 将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第n 行（3n ≥）从左到右的第3个数为__________ 1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

L L L L L L L L L 变式2 观察下列等式：

2111

22

n

i i n n ==

+∑，

2321

111326n

i i n n n ==++∑

3432

1111424

n

i i n n n ==

++∑

4

5431

111152330n

i i n n n n ==++-∑

56542

11151621212n

i i n n n n ==

++-∑

6

76531

11111722642

n

i i

n n n n n ==

++-+∑ L L L L

1111101

n

k k k k k k k i i a n a n a n a n a +-+-==+++++∑L ，可以推测，当*2()k k N ≥∈时，111

k a k +=

+，12k a =，

1_____k a -=，2_____k a -=

利用递推公式求通项公式

叠加法 数列有形如

1()n n a a f n +=+的递推公式，且(1)(2)()

f f f n +++L 的和可求，则变形为

1()n n a a f n +-=，利用叠加法求和

例6.21 已知数列{}n a 满足132n n a a n +=++ *()n N ∈，且12a =，求数列{}n a 的通项公式.

分析：式子1

32n n a a n +=++ *()n N ∈是形如1()n n a a f n +=+的形式，

故利用叠加法求和. 解析：1

32n n a a n +-=+ *()n N ∈可得

131n n a a n --=-，（2n ≥） 1234n n a a n ---=-，

L L L

215a a -=

相加可得：232n n n a +=（2n ≥），且12a =也满足上式，故232

n n n

a +=

*()n N ∈ 变式1 已知数列{}n a 中，12a =，12n n n

a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式

变式2 已知数列{}n a 中，12a =，11

ln(1)n n a a n

+=++ *

()n N ∈，则n a =____

A 、2ln n +

B 、2(1)ln n n +-

C 、2ln n n +

D 、1ln n n ++ 变式3 已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且1

1(1)n n n a q a qa +-=+-，（2n ≥，0q ≠）

（1）设1n n n b a a +=-*

()n N ∈，证明：{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式 变式4 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 为常数）*()n N ∈，且123,,a a a 成公比不为1的等

比数列.

（1）求c 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式

2、叠乘法 数列有形如1()n

n a f n a -=g 的递推公式，且(1)(2)()f f f n g g L g 的积可求，则将递推公式变形为

1

()n

n a f n a -=，利用叠乘法求出通项公式n a 例6.22 已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A 、

2n n B 、1

2n n - C 、21n n - D 、12n n +

分析：数列的递推公式是形如

1

()n

n a f n a -=的形式，故可以利用叠乘法求解. 解析：由12(1)n n na n a +=+变形得

112n n a n a n ++=，从而 12(1)

n n a n

a n -=-，L ， 2122a a =，故1132112211132()212212

n n n n n n a a a a n n n

a a a a n n ------==--g g L g g g g g L g g （2n ≥） 即

112n n a n a -=（2n ≥），所以12n n n a -=（2n ≥，*n N ∈），且11a =满足上式，故12

n n n

a -=（*n N ∈），选B

变式1 已知数列{}n a 中，11a =，12

n n a n a n

++=，求数列{}n a 的通项公式 3、构造辅助数列法 （1）待定系数法

形如1n n a pa q +=+（,p q 为常数，0pq ≠且1p ≠）的递推式，可构造1()n n a p a λλ++=+，转化为等比数列求解.也可以与类比式1n n a pa q -=+作差，由11()n n n n a a p a a +--=-，构造{}1n n a a +-为等比数列，然后利用叠加法求通项.

例6.23 已知数列{}n a 中，11a =，11

12

n n a a +=+，求{}n a 的通项公式. 分析：式子11

12

n n a a +=+

形如1n n a pa q +=+（,p q 为常数，0pq ≠且1p ≠）

，故利用构造法转化. 解析：解法一、设1112n n a a +=+等价于11

()2

n n a a λλ++=+，得到

11122n n a a λ+=-，对应11

12

n n a a +=+，得到2λ=-

故原递推式等价于11

2(2)2

n n a a +-=-，因此数列{}2n a -为首

项为1-，公比为12的等比数列，所以11

2()2

n n a --=-，

故112()2

n n a -=- 解法二、由1112n n a a +=+得 11

12

n n a a -=+（2n ≥，*n N ∈）

， 因此111

()2n n n n a a a a +--=

-（2n ≥，*n N ∈）

，所以数列{}1n n a a -- 是首项为2112

a a -=，公比为1

2的等比数列.

2112111

()()()22n n n n a a a a ----=-=

2121

()2

n n n a a ----=

L L L L

1211

()2

a a -= 叠加得到：

211111()

111122()()1()1222212

n n n n a a ----=+++==--L 故11

2()2n n a -=- （*n N ∈）

变式1 已知11a =，132n n a a -=+（2n ≥，*n N ∈），求{}n a 的通项公式.

例6.24 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+ （*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.

分析：将原递推公式转化为1(1)4()n n a a n a an λλ++++=++，即1433n n a a an a λ+=++-，比较

1431n n a a n +=-+，得1a =-，0λ=，所以数列{}n a n -是首项为1，公比为4的等比数列，故14n n a n --=，即14n n a n -=+ （*n N ∈）

2、同除以指数

形如 1n

n n a pa d +=+ (0p ≠且1p ≠，1d ≠）

的递推式，当p d =时，两边同除以1n d +转化为关于n n a d ??

????

的等差数列；当p d ≠时，两边人可以同除以1n d +得111n n n n a a p d d d d ++=+g ，转化为11

n n

p b b d d

+=+g ，同类型（1）.

例6.25 已知数列{}n a 中，11a =-，1132n n n a a --=+（2n ≥，*

n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.

解析：解法一、将1132n n n a a --=+两边同除以3n

得1

1112()3333

n n n n

n a a ---=+?， 则1111

121212()()()3

3333333

n n n

n

a a -=

+?++?=-L ，则132n n

n a -=- 解法二、将1

132n n n a a --=+两边同除以2n

得11312222

n n n n a a --=+g ，

令2

n

n

n

a b =

，得13122n n b b -=+，构造13()2n n b b λλ-+=+，得1λ=，因此数列{}1n b +为等比数列，且1

11331(1)()22n n n n b b --+=+=，则1312n n n b -=- （*n N ∈）

， 故13122

n n n n a -=-，进而得到132n n

n a -=- 评注：一般地，对于形如 1n

n n a pa d +=+ (0p ≠且1p ≠，1d ≠）的数列求通项公式，两边同除以1

n d +转化为待定系数法求解；两边同除以1

n p

+转化为叠加法求解.

变式1 在数列{}n a 中，11a =，122n

n n a a +=+

（1）设12

n

n

n a b -=

，试证明：数列{}n b 是等差数列. （2）求数列{}n a 的前n 项的和n S

取倒数法 对于1

(0)n n n aa a ac b ca +=

≠+，取倒数得111n n n n b ca b c

a aa a a a

++==+g .

当a b =时，数列1n a ??

????

是等差数列；

当a b ≠时，令1n

n

b a =

，则1

n n b c b b a a

+=+g ，可用待定系数法求解. 例6.26 在数列{}n a 中，11a =，122n

n n

a a a +=

+，求数列{}n a 的通项公式. 分析：式中含有形如1n a +和n a 的分式形式，故考虑利用倒数变换求其通项公式. 解析：因为

1121122

n n n n a a a a ++==+，所以

1111

2

n n a a +-=，即数列

1n a ??????

是等差数列，

11111(1)22n n n n a a ++=+-=

，故21

n a n =+（*

n N ∈） 变式1 已知数列{}n a 中首项135

a =

，1312n n n a a a +=+（*

n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.

变式2 已知数列{}n a 中首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足1

1

12n n n S S S --=+（2n ≥，*n N ∈），求

数列{}n a 的通项公式. 取对数法 形如1

(0,0)k n n n a ca c a +=>>的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.

例6.27 已知数列{}n a 中首项13a =，且3

1

n n

a a += （*n N ∈），则数列的通项n a =_______ 分析：取对数时，常用以1a 为底的对数，便于计算. 解析：因为13a =，所以对3

1

n n

a a +=两边取以3为底的对数，得到313log 2log n n a a +=，故{}3log n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以1

3log 2

n n a -=，所以1

23

n n

a -=（*n N ∈）

变式1 已知数列{}n a 中首项110a =，且2

1

10n n

a a +=g （*n N ∈），求数列的通项n a 已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题

对于给出关于n a 与n S 的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向是转化n S 为n a 的形式，手段是使用类比作差法，使n

S 1n S --=n a （2n ≥，*n N ∈），故得到数列{}n a 的

相关结论，这种方法适用于数列的前n 项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将n a 转化为

n S 1n S --（2n ≥，*n N ∈），先考虑n S 与1n S -的关系式，继而得到数列{}n S 的相关结论，然后使用

代入法或者其他方法求解{}n a 的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前n 项和的形式不够独立的情况.

简而言之，求解n a 与n S 的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化n S 的形式为n a 的形式，适用于n S 的形式独立的情形，如已知142n

n S a -=+（2n ≥，*n N ∈）；其二称为转化法，实质是转

化n a 的形式为n S 的形式，适用于n S 的形式不够独立的情形，如已知2

221

n n n S a S =-（2n ≥，*

n N ∈）；

不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对n 的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注n 的范围.

例6.28 已知正项数列{}n a 中，前n 项的和n S

，且满足1n a =+，求数列{}n a 的通项公式.

解析：由已知，可得24(1)n n S a =+ ①

类比得到21

14(1)n n S a --=+（2n ≥，*n N ∈）②

式①-式②得 22

1114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-

即

1112()()()

n n n n n n a a a a a a ---+=+-所以

11()(2)0

n n n n a a a a --+--=，又因为

10n n a a -+>，故120n n a a ---=（2n ≥，*n N ∈），因此数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公

比为2 故21n

a n =- （*n N ∈）

评注：本题是关于n a 与n S 的关系式问题中第一个方向的典型题目，本题的闪光点是未给出n S 的直接形式，需要考生稍加变形，转化为24(1)n

n S a =+后，才可使求解方向变得更为明朗.

变式1 已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，11a =，142n n S a +=+（*n N ∈）

（1）设12n n n b a a +=-，求n b ；

（2）设11

2n

n n

c a a +=

-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；

（3）设2n n

n

a d =

，求2010d

例6.29 已知数列{}n a 中，0n a >，且对于任意正整数n 有11

()2n n n

S a a =+，求数列{}n a 的通项公

式

分析：已知n a 与n S 的关系，求数列的通项公式利用n a =n S 1n S --（2n ≥，*n N ∈）求解，将试题右

边的含n a 的式子换成n S 1n S --来处理.

解析：当1n =时，1

111

11

()2S a a a ==+，及0n a >，解得 11a =

当2n ≥时，由11()2n n n S a a =+得11

11

()2n n n n n S S S S S --=-+-，

变形整理得

22

1

1n n S S --=，数列{}2n S 是等差数列，首项为1， 公差为1 故2

1(1)1n

S n n =+-?=

，所以n S =1n =

适合上式，故n S =（*n N ∈）

故当2n ≥时，n a =n S 1n S -

-= 1n =适合上式，

故n

a =*n N ∈）

变式1 已知数列{}n a 中，0n a ≠(1)n ≥，11

2

a =，前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-（2n ≥，*n N ∈）

（1）求证：数列1n S ??

?

???

是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式

变式2 设数列{}n a

是正数组成的数列，且有*2)n a n N +=∈，求数列{}n a 的通项公式.

例6.30 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知111,42n n a S a +==+. （1）设12n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.

解析 （1）在142n n S a +=+中，令1n =，得2142S a =+，即12142a a a +=+，故25a =，由142n n S a +=+知2142n n S a ++=+，两式相减得2144n n n a a a ++=-，即211224n n n n a a a a +++-=-，故12n n b b +=，且121230b a a =-=≠，即{}n b 是以2为公比的等比数列.

（2）由2142S a =+且11a =知26S =，故2215a S a =-=，所以212523a a -=-=，即有111232n n n b b --==g g ，所以11232n n n a a -+-=g ，于是

113224n n n n a a ++-=，因此数列{}

2n n

a 是首项为12，公差为3

4的等差数列.所以1331

(1)22444

n n

a n n =+-?=-，故2(31)2n n a n -=-g . 变式1 已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且*585()n n S n a n N =--∈. （1）证明：数列{1}n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，请指出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由.

变式2 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2*24()n n S a n n n N =+-∈. （1）写出数列{}n a 的前3项123,,a a a ； （2）求证：数列{21}n a n -+为等比数列； （3）求n S .

变式3 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2*11212

1,()33

n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.

题型2 数列的求和 思路提示

求数列前n 项和的常见方法如下： （1）通项分析法.

（2）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前n 项和公式.

（3）错位相减法：数列的通项公式为n n a b g 或n n

a

b 的形式，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列.

（4）分组求和法：数列的通项公式为n n a b +的形式，其中{}n a 和{}n b 满足不同的求和公式.常见于{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列或者{}n a 与{}n b 分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律. （5）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项. （6）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和. 一、通项分析法

例6.31 求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++L L L 的前n 项的和. 解析 数列的通项21122221n n n a -=++++=-L ，即*21()n n a n N =-∈， 所以数列的前n 项的和为

1

2

1

2

12(12)

(21)(21)(21)(222)2212

n n

n

n n S n n n +-=-+-++-=+++-=-=---L L

即1*22()n n S n n N +=--∈.

评注 先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前n 项和问题应该强化的意识. 变式1 求数列9，99，999，L ，999n

L 12

3的前n 项和. 二、公式法

利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.

例6.32 已知等差数列{}n a 中，259,21,2n a n a a b ===，求数列{}n b 的前n 项和n S .

分析 根据数列{}n a 为等差数列，259,21a a ==，求出数列{}n a 的通项， 从而知数列{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式求n S .

解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意得11

9421a d a d +=??+=?，解得15

4a d =??=?.

数列{}n a 的通项公式为41n a n =+，由2n

a n

b =得41

2

n n b +=，因为45

4141222

n n n n b b +++==，所以数列{}n b 是首项为

512b =，公比为42q =的等比数列.

于是得数列{}n b 的前n 项和5444

2[1(2)]32(21)

1215

n n n S --==

-. 评注 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解.

变式1 如图6-4所示，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线x

y e =于点1(0,1)Q ，曲线在点1Q 处的切线与x 轴

交于点2P .再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,;;,n n P Q P Q P Q L ，记点k P 的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =L .

（1）试求k x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤； （2）求1122||||||n n PQ P Q P Q +++L .

三、错位相减法 求数列{n n a b g }和{

n

n

a b }的前n 项和，数列{}n a ， {}n b 分别为等差与等比数列.求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q 后，与原数列的和作差，即n n S qS -，然后求n S 即可.

例6.33 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上.

（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；

（2）设n n n c a b =g ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T . 解析 （1）22n n S a =-，*1122(2,)n n S a n n N --=-≥∈

上两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，得122n n n a a a -=-，故12n n a a -=， 令1*11111,22,2,2()n n n n a a a a a q n N -==-===∈.

点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，则120n n b b +-+=，12n n b b +=+， 则{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，*1(1)221()n b b n n n N =+-?=-∈.

（2）(21)2n n n n c a b n ==-g

g ， 121232(21)2(1)n n T n =?+?++-?L 23`

21232(21)2(2)n n T n +=?+?++-?L

由（1）-(2)得11

2

1

18(12)

22222(21)2

2(21)212

n n

n n n T n n -++--=+?++?--?=+--?-L

12(32)6n n +=--，故1(23)26n n T n +=-+.

评注 由于结果的复杂性，自己可以通过代入1,2n =等验证，111222,T a b T a b ==等以确保所求结果的准确性. 变式1 已知数列{}n a 的前n 项和21

(*)2

n S n kn k N =-+∈,且n S 的最大值为8.

（1）确定常数k ，并求n a ； （2）求数列92{

}2

n

n

a -的前n 项和n T . 变式2已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n

b 是等比数列，且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；

（2）记1121(*)n n n n T a b a b a b n N -=+++∈L ，证明：12210(*)n n n T a b n N +=-+∈.

四、分组求和法

对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将数列的项进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然后求和.

例6.34 在数列{}n a 中1111

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++.

（1）设n

n a b n

=

，证明1{}n n b b +-为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 解析 （1）由已知得1111(1)12112n n

n n n n n a a a n b n n n +++++===+++，即112n n n

b b +=+， 故112n n n

b b +-=

，且111(2,*)2n n n n b b n n N b b +--=≥∈-，因此1{}n n b b +-是公比为1

2

的等比数列. （2）由（1）知当2n ≥时，1

121

111

,,22n n n b b b b ---=-=L ，叠加得 1

11221111

22n n n n n b b b b b b -----+-++-=

++

L L ， 所以1111

12211212

n n n b b ---==--，得11

112n n b b -=+-，1n =时也成立，又111b a ==，

所以112(*)2n n b n N -=-

∈，得1

2(*)2n n

n n

a n

b n n N -==-∈. 12123(21)(4)(6)(2)

242

23(2462)(1)

222

n n n n

S n n

n --=-+-+-++-=++++-++++L L L

令21231222

n n n

T -=+

+++L ， 23111231222222

n n n n n

T --=+++++L ， 故

211

1(1)

11112212(1)2122222

222212

n n n n n n n n

T n

n n n --

+=++++-=-=--=--g L ，

故1

242n n n

T -+=-

，又2462(1)n n n ++++=+L ， 所以1

2(1)42

n n n

S n n -+=++

-. 变式 1 已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++=g 的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L .

（1）求1357,,,a a a a ；

（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .

变式2 等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表6-1的同一列.

表6-1

第1列 第2列 第3列 第1行 3 2 10 第2行 6 4 14 第3行 9 8 18

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .

五、裂项相消法

将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项. 常用的裂项相消变换有： 1.分式裂项

1111

()()n n p p n n p

=-++；

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++.

2.根式裂项

1

p

=.

3.对数式裂项

lg lg()lg

n p

n p n

n

+

=+-.

4.指数式裂项

1

()(1)

1

n n n

a

aq q q q

q

+

=-≠

-

；

11

111

()(1)

(1)(1)111

n

n n n n

q

q

q q q q q

++

=-≠

-----

.

使用裂项法，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项；应注意到，由于数列{}

n

a中每一项

n

a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样的多，切不可

漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有“对称剩项”的特征.另外从实质上看，正负项相消是裂项法的根源和目的.

例6.35 求数列

1111

,,,,,

132435(2)

n n

???+

L L的前n项和

n

S.

解析先分析通项公式

1111

()

(2)22

n

a

n n n n

==-

++

，

所以

1111111111311

[(1)()()](1)(*)

23242221242224 n

S n N

n n n n n n

=-+-++-=+--=--∈

+++++

L评注如果数列的通项公式可以写成()()

f n p f n

+-的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如

1

1

{}

n n

a a

+

，

其中{}

n

a是等差数列时，可尝试使用此法.

变式1 已知数列

111

1,,,,,

12123123n

+++++++

L L

L

，求它的前n项和

n

S.

例6.36已知等差数列{}

n

a满足

357

7,26

a a a

=+=，{}

n

a的前n项和

n

S.

（1）求

n

a及

n

S；

（2）令

2

1

(*)

1

n

n

b n N

a

=∈

-

，求数列{}

n

b的前n项和

n

T.

解析（1）设{}

n

a的首项为

1

a，公差为d，由已知可得11

1

273

210262

a d a

a d d

+==

??

?

??

+==

?

?

.

所以

1

(1)21(*)

n

a a n d n n N

=+-=+∈，1

()

(2)(*)

2

n

n

a a n

S n n n N

+

==+∈.

（2）因为21

n

a n

=+，所以214(1)

n

a n n

-=+，因此

1111

()

4(1)41

n

b

n n n n

==-

++

，

故1211111111(1)(1)(*)42231414(1)

n n n

T b b b n N n n n n =+++=-+-++-=-=∈+++L L .

故数列{}n b 的前n 项和4(1)

n n

T n =

+.

评注 采用裂项相消法求解数列的前n 项和，消项时要注意相消的规律，可将前几项和表示出来，归纳规律.一般来说，先注意项数，如果是每两项作为一组相消，则最终剩余项数为偶数项；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干项，则最后必会保留分母最大的若干项. 变式1 设正项数列{}n a 前n 项和n S 满足21

(1)4

n n S a =+.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

1

n n n b a a +=

g ，求数列{}n b 的前n 项和n T .

变式2 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg ,1n n a T n =≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设1tan tan n n n b a a +=g 求数列{}n b 的前n 项和n S .

六、倒序相加法

将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项和公式的推导即用此方法）.

例6.37

设()f x (7)(6)(5)(0)(8)f f f f f -+-+-++++L L 的值.

解析

因为1()(1)2

2x x

f x f x +-=

=

+

=

+

x =

+

=

=

所以(7)(6)(5)(0)(8)8f f f f f -+-+-++++==L L . 变式1 函数121()(0),,4x

f x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，121

()()2

f x f x +=. （1）求m 的值；

（2）已知数列{}n a 满足121

(0)()()()(1)n n a f f f f f n n n

-=+++++L ，求n a ；

（3）若12n n S a a a =+++L ，求n S .

变式2 已知函数()f x 对任意x R ∈都有1()(1)2

f x f x +-=

.

（1）求1

()2

f 的值；

（2）若数列{}n a 满足121(0)()()()()(*)n n n

a f f f f f n N n n n n

-=+++++∈L ，数列{}n a 是等差数列吗？试证

明之；

（3）设4

(*)41

n n b n N a =∈-，1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .

变式3 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求0121231n n n

n n n n S C a C a C a C a +=++++L .

最有效训练题

1.L ，则 ）

A ．第18项

B ．第19项

C ．第17项

D ．第20项

2.已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,),(,1),*n n n n c a a b n n n N +==+∈u u r u u r

，则下列命题为真命题的是（ ）

A ．若对任意的*n N ∈，总有//n n c b u u r u u r 成立，则数列{}n a 是等差数列

B ．若对任意的*n N ∈，总有//n n c b u u r u u r

成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若对任意的*n N ∈，总有n n c b ⊥u u r u u r

成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，总有n n c b ⊥u u r u u r

成立，则数列{}n a 是等比数列

3.设{}n a 是单调递减的等差数列，前3项的和是15，前3项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n =（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若11

2a =，则2011a =（ ）

A ．

1

2

B ．2

C ．-1

D ．1 5.设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ，若对*n N ?∈，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）

A ．（0，1]

B ．（0，2）

C ．[1，2）

D ．（0）

6.对于数列{}n a ，如果*k N ?∈及12,,,k R λλλ∈L ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++L 成立，其中*n N ∈，则称{}n a 为k 阶递推数列，给出下列三个结论： ①若{}n a 为等比数列，则是1阶递推数列； ②若{}n a 为等差数列，则是2阶递推数列；

③若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则是3阶递推数列. 其中正确结论的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7.根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）-1，7，-13，19，L ，n a =_____________； （2）0.8，0.88，0.888，L ，n a =_____________； （3）115132961

,,,,,,248163264

--L ，n a =_____________；

（4）0，1，0，1，L ，n a =_____________. 8.若数列{}n a 满足

111n n d a a +-=（*n N ∈，d 为常数）

，则称{}n a 为调和数列.已知数列1

{}n

x 为调和数列，且1220200x x x +++=L ，则56x x +=__________.

9.在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，则100S =__________. 10.根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式. （1）已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+； （2）已知数列{}n a 的满足132n n n a a +=++，且12a =； （3）111

1,(2,*)n n n a a a n n N n

--==

≥∈； （4）在数列{}n a 中，111,2(*)n n n a a a n N +==+∈； （5）在数列{}n a 中，113,21(*)n n a a a n N +==+∈；

（6）在数列{}n a 中，2

111,2(*)n n

n a a a a n N +==+∈. 11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)(*)n

S n n N n

∈均在函数32y x =-的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .

12. 已知数列{}n a 的首项1122

,(*)31

n n n a a a n N a +==∈+

（1）证明：数列1

{

1}n

a -是等比数列； （2）求数列{}n

n

a 的前n 项和n S .