五年级奥数专题-不规则图形面积计算含解析

不规则图形面积计算

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导

例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分

别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：

阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

思路导航：

∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，

∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形

ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，

∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米

和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：

在等腰直角三角形ABC 中

∵AB=10

∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.

求△ABD 及△ACE 的面积.

B

C

思路导航：

取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

二、巩固训练

1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是

，求正方形8平方厘米，它是三角形DEC的面积的4

5

ABCD的面积。

解：过E作BC的垂线交AD于F。

在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.

在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。

BC.求阴影部分的面积。

2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=2

3

解：连结DF。∵AE=ED，

D

∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED

3. 如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG

的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？

解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，

AD=4，DC=4（AD上的高）.

∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，

∴S△AGD=AH×DG÷2，

∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），

∴DE=3.2（厘米）。

4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的

面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.

解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2

即45=（AD+BC）×6÷2，

45=（AD+10）×6÷2，

∴AD=45×2÷6-10=5米。

∴△ADE的高是2米。

△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，

5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.

证明：连结CE，

ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，

而DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。

∴ABCD的面积与

DEFG的面积相等。

（一）不规则图形面积计算（2）

不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时

＝S A＋S b-S A 还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S A

∪B

）合并使用才能解决。

∩B

一、例题与方法指导

例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。

解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状

完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面

积等于正方形面积的一半。

解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一

半。

解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.

例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD

例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。

例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。

分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就

是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径

AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就

可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.

二、巩固训练

1. 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

分析阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。而（I）的面积等于边长为6的正方形的面积减以6为半径的圆的面积。

去1

4

2. 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.

解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径

的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为

S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两

个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：

3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.

4. 如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆

周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部

分面积（π取3.14）。

解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）。

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.

常用的基本方法有：

一、相加法：

这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.

二、相减法：

这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规

则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.

三、直接求法：

这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来。

四、重新组合法：

这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.

五、辅助线法：

这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，

使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相

减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.

六、割补法：

这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部

分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.

七、平移法：

这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当

位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正

方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个

阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：

这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从

而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面

积减去中间等腰直角三角形的面积.

九、对称添补法：

这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

十、重叠法：

这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.

综合检测

例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。

例2两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

例3 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

例4在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。

例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

2.割补法

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。、

例6求下列各图中阴影部分的面积：

例7如左下图所示，在一个等腰直角三角形

中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5

厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部

分）。求这个梯形的面积。

例8下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

作业：

1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF 为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？

2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。（π=3.14）

4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE 的面积。

5.左下图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。

6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。

影部分的面积和。

的周围，环绕着一条8.如右上图所示，在一个正方形水池

正方形水池的面积宽2米的小路，小路的面积是80米2，

是多少平方米？