2016-2017学年四川省成都七中高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年四川省成都七中高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合{}2,1,0=A ，{}3,2=B ，则=B A （ ）

A ．{}3,2,1,0

B ．{}3,1,0

C ．{}1,0

D ．{}2

【答案】A

【解析】∵集合{}2,1,0=A ，{}3,2=B ，

=B A {}3,2,1,0

故选：A ． 【考点】并集及其运算． 【难度】★★★

2．下列函数中，为偶函数的是（ ）

A ．2log y x =

B ．12

y x =

C ．2x y -=

D ．2

y x -=

【答案】D

【解析】对于A ，为对数函数，定义域为+R ，为非奇非偶函数；

对于B ．为幂函数，定义域为[)+∞,0，则为非奇非偶函数； 对于C ．定义域为R ，为指数函数，则为非奇非偶函数；

对于D ．定义域为{}

R x x x ∈≠,0，()()x f x f =-，则为偶函数．

故选D ．

【考点】函数奇偶性的判断． 【难度】★★★

3．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

【答案】B

【解析】由弧长公式可得r 36=，解得2=r ．

∴扇形的面积6262

1

=??=s ． 故选B ．

【考点】扇形的弧长和面积公式 【难度】★★★

4．已知点()1,0A ，()1,2-B ，向量()0,1=，则在e 方向上的投影为（ ）

A ．2

B ．1

C ．1-

D ．2-

【答案】D

【解析】解：()0,2-=，

则在方向上的投影.2

1

2

-=-=

= 故选：D ．

【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★

5．设α是第三象限角，化简：=+?αα2tan 1cos （ ）

A ．1

B ．0

C ．1-

D ．2 【答案】C

【解析】解：α 是第三象限角，可得：0cos <α，

cos α∴=

.

1sin cos cos sin cos cos tan cos cos 2

2222

2

2

2

2

=+=?+=+ααα

αααααα

.

1tan 1cos 2-=+?∴αα

故选：C ．

【考点】三角函数的化简求值． 【难度】★★★

6．已知a 为常数，幂函数()a x x f =满足231=??

? ??f ，则()=3f （ ）

A ．2

B ．21

C ．2

1

- D ．2-

【答案】B

【解析】解：a 为常数，幂函数()a

x x f =满足231=??? ??f ，23131=??

? ??=??? ??∴a

f

解得13

log 2a =，所以 13

log 2

()f x x

= ，()13

log 2

133

.2

f ∴== 故选：B ．

【考点】幂函数的概念+解析式+定义域+值域． 【难度】★★★

7．已知()x x f 4cos sin =，则=??

? ??21f （ ）

A ．

2

3 B ．

21 C ．21- D ．2

3- 【答案】C

【解析】解：()x x f 4cos sin = ，()

.2

160cos 120cos 30sin 21-=-===??

?

??∴

f f

故选：C ．

【考点】函数表达式及求值． 【难度】★★★

8．要得到函数()12log 2+=x y 的图象，只需将x y 2log 1+=的图象（ ）

A ．向左移动2

1

个单位 B ．向右移动

2

1

个单位 C ．向左移动1个单位

D ．向右移动1个单位

【答案】A 【解析】解：

()221log 21log 22y x x ?

?=+=+ ??

?，,2log log 122x x y =+=

∴由函数图象的变换可知：将x y 2log 2=向左移动

2

1

个单位即可得 ()??? ?

?

+=+=212log 12log 22x x y 的图象．

故选：A ．

【考点】函数()??+=x A y sin 的图象变换． 【难度】★★★

9．向高为h 的水瓶（形状如图）中注水，注满为止，则水深h 与注水量v 的函数关系的大

致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v 随水深h 的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，

那么从函数的图象上看，C 对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；A 、B 对应的图象中间没有变化，只有D 符合条件。故选：D 【考点】函数的图象． 【难度】★★★

10．已知函数()?????<-≥=1

,311,log 21

x x x x x f ，若()[]20-=x f f ，则0x 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2

【答案】A

【解析】解： 函数()?????<-≥=1

,311,log 21

x x x x x f ，()[]20-=x f f ， ∴①当()01f x ≥时，()()()0102

log 2f f x f x ==-????

，

()40=x f ，则当10≥x 时，()0102log 4f x x ==，解得16

1

0=x ，不成立；

当10

②当()10

【难度】★★★★ 11．已知函数()x

x

x f tan 1tan 1log 2

+-=，若

12=???

??+απf ，则=??

?

??-απ2f （ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2-

【答案】C

【解析】解：由已知可得：22

1tan sin cos 2log log =1

2sin cos 1tan 2f παπαααπααα??

-+ ?

--????+== ?-+????++ ?

??

可得：()ααααcos sin 2cos sin +-=--，解得：3tan =α，

则??

? ??-+??? ??-?

??

??--??? ??-=??? ??-+??? ??--=??? ??-απαπαπαπαπαπαπ2sin 2cos 2sin 2cos log 2tan 12tan 1log 22

2f .

1131

3log 1tan 1tan log cos sin cos sin log 222-=+-=+-=+-=αααααα 故选：C ．

【考点】运用诱导公式化简求值． 【难度】★★★★

12．已知平面向量a ，b ，c 满足3a b ?=，2a b -=，且()()0a c b c --=，则c 的取值范围是（ ）

A ．[]0,2

B ．[]1,3

C ．[]2,4

D ．[]3,5

【答案】B

【解析】解：∵3a b ?=，2a b -=，∴4a b +=．

∵()()0a c b c --=，∴()

2

-cos 3c a b c a b a b c α=+?=+-，设α为a b +与

c 的夹角．∴[]2

3cos 1,14c c

α+=

∈-，解得[]1,3c ∈．故选：B ．

【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★★★

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡相应横线上） 13．设向量1e ，2e 不共线，若1212(2)//(4)e e e e λ-+，则实数λ的值为 ． 【答案】2-．

【解析】解：

∵1212(2)//(4)e e e e λ-+，则存在实数k 使得12122(4)e e k e e λ-=+，

∴12(1)(24)0k e k e --+=， ∵向量1e ，2e 不共线，

∴10k λ-=，(24)0k -+=，解得2λ=-． 故答案为：2-．

【考点】平行向量与共线向量． 【难度】★★★ 14．函数2tan 2y x x x π=+-的定义域是 ．

【答案】0,

2π??

????

． 【解析】解：2220x k x x πππ?

≠+???-≥?

，可得0,2x π??∈????故定义域为0,2π??

????．

【考点】函数的定义域及其求法． 【难度】★★★

15．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象（如图所示），则()f x 的解析式为 ．

【答案】()2sin(2)6

f x x π

=+

．

【解析】解：由题意可知2A =，54(

)126

T ππ

π=-=，可得：2ω=，

由于：当6

x π=

时取得最大值2，

所以：2sin(2)26

π

φ?

+=，且可得φπ<：所以6

πφ=

，

函数()f x 的解析式：()2sin(2)6

f x x π

=+

．

【考点】由()sin()f x A x ωφ=+的部分图象确定其解析式． 【难度】★★★★

16．设e 为自然对数的底数，若函数2

()(2)(2)1x x x f x e e a e a =-++?--存在三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]1,2

【解析】令1x t e =-，1x e t =+，22

()1(2)f t t a t a =-++?-，

令1x

m t e ==-，则22

()(2)1f m m a m a =-+++-，

∵()f x 有3个零点，

∴根据1x

m t e ==-，可得()f m 的一根在(0,1)，另一根在(1,)+∞，

∴(0)0

(1)0

f f

≥?

∴(]1,2a ∈．

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【难度】★★★★★

三、解析题（本大题共6小题，共70分.解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设向量(,4)a x =，(7,1)b =-，已知a b a +=． （I ）求实数x 的值；

（II ）求a 与b 的夹角的大小． 【答案】（I ）3x =- （II ）a 与b 夹角为

34

π 【解析】解：（Ⅰ）∵a b a +=．

∴2222a b ab a ++=，即220b ab +=, ∴2(74)500x -+=，解得3x =-;

（Ⅱ）设a 与b 的夹角为θ，(3,4)a =-，(7,1)b =-，∴25a b ?=- 且5a =，52b =, ∴2cos 2

a b a b

θ?=

=-

． ∵[]0,θπ∈，∴34πθ=

，即a 与b 夹角为

34

π

【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★

18．（12分）已知

sin 4cos 22sin cos αα

αα

-=+．

（I ）求tan α的值；

（II ）若0πα-<<，求sin cos αα+的值． 【答案】（I ）tan 2α=-

（II ）sin cos αα+=【解析】解：（I ）∵已知

sin 4cos 22sin cos αα

αα

-=+，可得3sin 6cos αα=-，∴tan 2α=-．

（Ⅱ）∵(,0)απ∈-，且tan 2α=-，sin 0α<，22sin cos 1αα+=，

∴sin 5α=-

∴cos 5α=，∴sin cos 5

αα+=- 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【难度】★★★

19．（12分）如图，在ABC ?中，M 为BC 的中点，3AB NB =． （I ）以CA ，CB 为基底表示AM 和CN ；

（II ）若0120ABC ∠=，4CB =，且AM CN ⊥，求CA 的长．

【答案】（Ⅰ）12AM CA CB =+，13

44

CN CA CB =+； （Ⅱ）8CA =

【解析】解：（Ⅰ）1

2

AM AC CM CA CB =+=-+

； 3313

()4444

CN CA AN CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，

（Ⅱ）由已知AM CN ⊥，得0AM CN ?=，即

113

()()0248CA CB CA CB -+?+=，

展开得22

1530488

CA CA CB CB --?+=，

又∵0120ABC ∠=，4CB =， ∴2

5240CA CA --=， 即(8)(3)0CA CA -+=， 解得8CA =，即8CA =为所求

【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★

20．（12分）某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形（由地形限制边长不超过10m ）的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量

为3800m ．已知底面造价为2160m 元，侧面造价为2

100m 元．

（I ）将蓄水池总造价()f x （单位：元）表示为底面边长x （单位：m ）的函数； （II ）运用函数的单调性定义及相关知识，求蓄水池总造价()f x 的最小值． 【答案】（I ）2

2000

()160()(010)f x x x x

=+

<≤ （II ）()(10)48000min f x f ==

【解析】解：（Ⅰ）设蓄水池高为h ，则2

800

h x =

，… ∴2

2

2800

()16010041601004f x x x h x x x

=+??=+??

22000

160()(010)x x x

=+

<≤； （Ⅱ）任取(]12,0,10x x ∈，且12x x <，则

22121212

20002000

()()160[()160()]f x f x x x x x -=+

-+ []

12121112

160()()2000x x x x x x x x -+-=

∵12010x x <<≤，∴120x x >，120x x -<， 1212()2000x x x x +<，

∴12()()y f x f x =-，即12()()f x f x >，∴()y f x =在(]0,10x ∈上单调递减， 故10x =当时，min ()(10)48000f x f ==（11分）

答：当底面边长为10m 时，蓄水池最低造价为48000元…（12分）

【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【难度】★★★

21．（12分）已知函数()2sin()13

f x x π

ω=-+，其中0ω>．

（I ）若对任意x R ∈都有5()()12

f x f π

≤，求ω的最小值； （II ）若函数lg ()y f x =在区间,42ππ??

?

???

上单调递增，求ω的取值范围? 【答案】（Ⅰ）ω的最小值为2， （Ⅱ）ω的取值范围是25,33??

???

【解析】解：（Ⅰ）由已知()f x 在512

x π

=

处取得最大值， ∴

521232

k πππ

ωπ-=+，k Z ∈ 解得24

25

k ω=+，k Z ∈ 又∵0ω>，∴当0k =时，ω的最小值为2；…

（Ⅱ）∵,42x ππ??

∈????

，0ω> ∴

4

3

3

2

3

x π

π

π

π

π

ωωω-

≤-

≤

-

又∵lg ()y f x =在,42x ππ??

∈?

???

内单增，且()0f x >， ∴24362232k k π

ππωππππωπ?->-+????-≤+??，k Z ∈…（8分）

解得：

25

8433k k ω+<≤+．k Z ∈…（10分） ∵258433k k +<+，∴1

4

k <且k Z ∈，…（11分） 又∵0ω>，∴0k =， 故ω的取值范围是25,33??

???

．…（12分） 【考点】正弦函数的图象；复合函数的单调性． 【难度】★★★★

22．定义函数()4(1)2x

x

a f x a a =-+?+，其中x 为自变量，a 为常数． （I ）若当[]0,2x ∈时，函数()a f x 的最小值为1-，求a 的值；

（II ）设全集U R =，集合{}

3()(0)a A x f x f =≥，{}

2()(2)(2)a a B x f x f x f =+-=，且

()

U C A B φ≠中，求a 的取值范围．

【答案】（I ）a 之值为3； （II ）a 的取值范围是[)1,2-

【解析】解：（Ⅰ）令2x t =，∵[]0,2x ∈，∴[]1,4t ∈，

设2

()(1)t t a t a ?=-++，[]1,4t ∈，

1°当

1

12

a +≤，即1a ≤时，min ()(1)0f x ?==，与已知矛盾；

2°当1

142

a +<

<，即17a <<，min 1()()12a f x ?+==-， 解得3a =或1a =-（舍）

3°当

1

42a +≥，即7a ≥，min ()(4)1f x ?==， 解得13

3

a =，但与7a ≥矛盾，故舍去

综上所述，a 之值为3

（Ⅱ）因为{

}3()(0)a A x f x f =≥{}

442331(1)x x x a a =-?+≥≥-++

{}

2321x x x =≥≤或

所以{}{

}

3

21230log x

U C A x x x =<<=<<

{}2()(2)(2)a a B x f x f x f =+-=

{}

224(1)24(1)26x x x x x a a a a --=-+?++-+?+=

164(4)(1)(2)26042x x x x x a a ??=+-+?++-=????

由()

U C A B φ≠可知，方程164(4)(1)(2)26042x x

x x a a +

-+?++-=在32(0,log )x ∈内有解，令422x x t =+则[4,5)t ∈且216484

x

x

t +=- 所以原命题等价于方程2

(8)(1)260t a t a --+?+-=在[4,5)t ∈上有解，

将a 用含t 的式子表示，即214

2

t t a t --=-。

设函数21412

()122

t t h t t t t --==+-

--，[4,5)t ∈。 令1245t t ≤<<，12

2121()()12(2)(2)

t t h t h t t t --=-?--

因为1245t t ≤<<， 所以210t t ->，12

21120(2)(2)

t t t t --?

>--

所以21()()0h t h t ->，即函数(t)h 在[4,5)t ∈上单调递增。

所以(4)()(5)h h t h ≤<， 所以()[1,2)h t ∈-， 故的取值范围为[1,2)-。

【考点】函数的最值及其几何意义；交集及其运算． 【难度】★★★★★