2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5

2．ydy x xdy ydx 2=- 。

解：

2x ，得：

ydy x xdy

ydx =-2

c y x y

d +-=221

即c y x y =+2

1 4．

x y

dx dy -=

解：两边同除以x ，得

y x y dx

dy -

令u x y

= 则dx

du x u dx dy += 即

dx du

x u dx dy +=u

u -=1 得到

()2ln 2

1y c u -=，

即2

ln 21??

? ??-=y c y x

另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx

x d x y

x d y

y d x -=-2

得到c x y x d +-=???

??2

即

c x y x =+2

1 另外0=y 也是方程的解。

y x y dx dy += 解：令

u x

= 则：

21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2

1u x dx du x

= 得到22x dx

u du =

故c x

u +-=-11 即

x c y += 另外0=y 也是方程的解。

10． 2

1??

??+=dx dy dx dy x

解：令

p dx

= 即p

p x 2

1+=

而

p dx dy

=故两边积分得到 c p p y +-=ln 2

因此原方程的解为p

p x 21+=，c p p y +-=ln 212

。

12.x y xe dx dy e =??

??+-1 解：

y x xe dx

+=+1

令 u y x =+

则 dx du dx dy =+1

11-=-=u xe dx du dx dy 即xdx e

u =

c x e u

+=--22

故方程的解为

c x e

x =++2

1 14．

1++=y x dx

解：令u y x =++1

则dx du dx dy =+

1 那么

u dx du dx dy =-=1

dx u du

=+1

求得： ()c x u +=+1ln

故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写为x

ce y x =++1 16．()

y e dx

x -=++211 解：令u e y

=- 则u y ln -= ()

1211-=+-u dx

u x ()dx x du u u 11

121+-=-

c x u u ++=-`

12 即方程的解为()c x y x e y

+=+2

18．(

)

01243

2=-+dy y x dx y x 解：将方程变形后得

243

22-=y x y x dx dy 2

2223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2

x 得：232

412y

y x dy dx x -=

令3x z = 则

24323y

y z dy dz -= 23

cy y z +=

即原方程的解为23

cy y x +=

19.X(

04)(2)2=+-x dx

y dx dy 解：方程可化为2y(

)(24)(

,4)()2

2dx

dy x dx dy x y x dx

x dx dy +=+= 令

[]

e t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dx

c x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y y

y x dy

y y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y y

x y d y x d dy y x y

dx xy y e y xy x xy x

y M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x c

ye x c e y

y c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dz

y z dy dx yz x z y x dy y

e dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y c

x p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t t

t dx dy

dy y y x

y x

z z z z z z z z z z z y

x y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=?-=-=-??-??-=??=??=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-

++±==++=+?=+??=+?

?=??=

????=?==?==?-?===??????

-+=+=+?===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==???----)1(,0

.25.2,0

)(.240),()11

1,1,)1(0

)1(.231

01,0)3(24282,6,20

)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,

)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1

)(1.20.

42,2424,,

0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22

2222

223232422

224

2232

222222

2222222

222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

另外即（所以方程的解为得两边同除以解：即所以方程的解为所以方程有积分因子解：所以方程的解为方程为则解：令也得另外由（所以方程的解为，）则解：令时当时当或求导得两边对则

y e y x e y de y x e d e e y x x N

y M x x N y x x y M dy y x dx y y x xy c

e t e t c dt e t y e t x c

e t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dx dy x e dx

x x x x x x t t t

t t t t

t dx dy

=+=+=+??-

??=??++=??=+++++-+=++=+=+-+=++==+====-+??32322

2222232

223031,2,20

)()3

2.262

)1(2

)1(0.25所以方程的解为：得方程两边同乘所以方程有积分因子解：（，所以方程的解为：得由则解：令

27.

234465

dy x y dx x y ++=++ 解：令23u x y =+，

4232325

du dy u dx dx u +=+=++，则 72225du u dx u +=+，

722u du dx u +=+，

9171=22142

dx u -+，两边积分得 223

9ln 2314(3)72

x y y x c ++=-+ 即为方程的通解。

另外，7220u +=，即22

2307

x y ++=也是方程的解。 28. 2222()dy

y x y y x dx

-=- 解：两边同除以x ，方程可化为： 222()dy y

xy y x dx x

=+- 令

u x

=，则 22222()du

u u ux u x x dx

+=+-

即

332()du

x u u dx =-， 3

2du x dx u u

=- 3111

(

)22(1)2(1)du x dx u u u

+-=+-

两边积分得 4

211x ce u

即 4

222x x y cy e -= 为方程的解。 29.

xy dy y

e dx x

+= 解：令xy

e u =，则 ln u

y x

， 2

ln x du

dy u dx

dx x -=

，那么

221ln ln du u u

u ux dx x x

-+= 即 2du

xdx u

两边积分得 212

x e c -+=

即为方程的解。

30. 332252

422363dy x xy x dx x y y y -+=

-+ 解：

方程

52(422)(363)0x x y x d x x y y y d y -+--

42322363()()()0d x x y dx x dy d y y +-++-=

两边积分得 4

x x y y x y c ++--= 即 4

(1)(1)x x c x y ++=+- 为方程的解。

31. 2

()()0y xdx ydy x ydx xdy ++-=

解：方程可化为 2

0y xdx y dy xydx x dy ++-=

两边同除以2

y ，得 2

()

0x ydx xdy xdx ydx y -++

即

221()02dx d x y x dy

++= 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，则

cos 0d dctg ρρρθθ+=

即 2sin 0sin d d θ

ρρθ-=

两边积分得 1

sin c ρθ

=-+ 将

1sin y

ρθ=代入得， c y ρρ=-+

即

2222(1)y c y ρ+=

故 222222()(1)x y y c y ++=

32. 3

3101dy xy dx x y

++=+

解：方程可化为 3

11dy xy dx x y

--=+ 两边同加上1，得 223

()()

1d x y xy x y dx x y

+-=+ （*）再由()d xy xdy ydx =+，可知

223

()()(1)

1d xy dy x y x y x y dx dx x y

--=+=+ （**）将（*）/（**）得

22()()

()1

d x y xy x y d xy x y ++=-

即 21du uv

dv v =- 整理得

du v dv u v =-

两边积分得

cu =

即 ()c x y +=另外，0x y +=也是方程的解。

33. 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。

解：设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在y 轴上的截距为：

dy y x

dx - 由题意得 dy

y x x dx -= 即

1dy y dx x

=- 也即 ydx xdy dx -+=-

两边同除以2

x ，得

2ydx xdy dx

x x -+=-

即 ()ln y

d d x x

即 ln y cx x x =+

为方程的解。

34. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至13v =米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

解：dv

F ma m

==，又1F k v =，由此 1dv

k v dt = 即 dv

kv dt

= 其中1k

k m

=，解之得

ln v kt c =+ 又0t =时，5v =；2t =时，3v =。故得 13

ln 205

k =

，ln 5c = 从而方程可化为 20

35()5

t v =

当260120t =?=时，有 120

203(20)5()0.233285

v =?=米/秒

即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

35. 一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k 1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速

度成正比（比例系数为k 2）。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：)F (为质点受到的合外力为质点的加速度，其中合合a m

F a =

根据题意：v k t k F 21-=合

故：)0(221>-=k v k t k dt

m 即：

(*))(12t m

k v m k dt dv

+-=

(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

)(2

1c dt e t m

k e

V dt m

dt m

+???=?- )(22222

121c e k mk e t k k e

t m k

t m

k t m

k +-?=-

又当t =0时，V =0，故c =

k m k 因此，此质点的速度与时间的关系为：)(22122

12k m

t k k e k mk V t m k

-+=-

36. 解下列的黎卡提方程（1）x x x e ye y e y 2212-=-+'-

解：原方程可转化为：(*),

2322x x x x e e y e y e y -++-='

观察得到它的一个特解为：x e y =，设它的任意一个解为z e y x +=，

代入（*）式得到：

(**))(2)()

(322x x x x x x x e e z e e z e e dx z e d -++++-=+

由（**）-（*）得：

2z e dx dz

x -= 变量分离得：dx e z dz

x -=2

两边同时积分：c e z

x +-=-1

即：c

e z x +=1

故原方程的解为 x

x e

c e y ++=1

（2）x x x y y y 22sin cos sin 2-=-+'

解：原方程可化为：x x x y y y 22sin cos sin 2-++-='

由观察得，它的一个特解为x y sin =，设它的任意一个解为z x y +=sin ，故

22)sin 2sin 2(z z z x x dx

-=-+-= 变量分离再两边同时积分得：c x z +=1即c x z +=1

故原方程的解为c

x x y ++=1

sin

（3）1222++='xy y x y x 解：原方程可化为：2211x

y x y y ++

=' 由观察得到，它的一个特解为x y 1-=，设它的任一个解为z x

y +-=1

，故

z z x

dx dz +-=，该式是一个2=n 的伯努利方程两边同除以2z 得到：11

112

+?-=z x dx

dz z 即：11

11-=z

x dx z d

，令u z =1，

则：

-=u x

dx du ，根据一阶非齐线性方程的求解公式得： ?-=+-=?-?|)|()(11x en c x c dx e

u dx x

dx x

故：|)

|(1

x en c x z -=

因此：原方程的解为：1|

--=

x en c xy

（4）1)(422=-'y y x 解：原方程可化为：2

241x

y y +

=' 由观察得到，它的一个特解为x y 21-=，设它的任一个解为z x

y +-

=21

，于是

z z x

dx dz +-=，这是2=n 的伯努利方程

两边同除以2z 得到：

112+?-=z x dx

dz z

即：11

11-?=z

x dx z d

则：?-=+-=?-?|)|()(1

x en c x c e e z

dx x dx x

即：|)

|(1

x en c x z -=

故：原方程的解为：1|

2--=

x en c xy

（5）2)(22=+'y y x

解：原方程可化为：222x

y y +

-=' 由观察得，它的一个特解为x y 1-=，故设它的任一个解为z x

y +-=1

，于是

z z x

dx dz -=，这是2=n 的伯努利方程两边同除以2z 得到：11

212

-?=z x dx dz z 即：11

21+?-=z

x dx z d

则：?+=+=??-)3

(1)(13

c x

x c dx e e z dx x dx x

故：原方程的解为：x c x x y 1332-+=，即3

32x

c c

x xy +-=. （6）0)2(22=-+'xy y x 解：原方程可化为：224

y x y y -+

-=' 由观察得到它的一个特解为x

y 1=，设它的任一个解为z x y +=1

，于是

z z x

dx dz -=，这是2=n 的伯努利方程两边同除以2z 得到：11

212

-?=z

x dx dz z

即：11

+?-=z

x dx z d

则：?+=+=??-)3(1)(13

2c x x c dx e e z dx x

dx x

从而：?+=??-)(1

2c dx e e z dx x dx x )3

(13

2c x x +=

故原方程的解为：)

(4313

332c x x c

x c x x x y ++=++= 即：)

(433c x x c

x xy ++=

（7）x y x y x y +-+-=')21()1(2

解：由观察得到它的一个特解为1=y ，故设它的任一个解为z y +=1，于是

2)1(z x z dx

-+-=，这是n =2的佰努利方程，两边同除以2z 得：)1(1

-+-=x z dx

dz z 即：)1(1

1x z

dx z d

-+=

从而：))1((1

c dx e x e z

dx dx +?-?=?-

x x x ce x c xe e +=+=-)(

故原方程的解为：x

x z y ++

=+=1

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=，即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程教案(王高雄)第二章

第二章目录内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)

内容提要及其它授课题目（章、节）第二章：一阶微分方程的初等解法教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求：掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法．能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：教学内容：第1节变量分离方程与变量变换；第2节线性方程与常数变易法；第3节恰当方程与积分因子；第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时教学方法：讲解方法教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。教学重点分析：熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。教学难点分析：本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程第三版答案2.1

常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 22 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程课后答案

习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而312 3y 在y 0φσ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*）将 x y u =带入（*）中得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

《常微分方程》第三版答案

《常微分方程》第三版答案习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +-

令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：

x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

常微分方程第三版的课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程王高雄第三版答案3.1

习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题求初值问题： ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而312 3y 在y 0 σ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程(第三版)(王高雄周之铭朱思铭)高等教育出版社课后答案

常微分方程习题答案 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== , 0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程第三版课后习题答案#(精选.)

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y

常微分方程第三版课后习题答案

习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

常微分方程第三版答案2.2[1]1

习题2.2 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = d x d y =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

常微分方程习题及答案

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

常微分方程第三版答案

常微分方程教案(王高雄)第二章

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

常微分方程第三版答案2.1

常微分方程课后答案

常微分方程王高雄第三版答案

《常微分方程》第三版答案

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程第三版的课后答案

最新常微分方程(第三版)答案

常微分方程王高雄第三版答案3.1

常微分方程(第三版)(王高雄周之铭朱思铭)高等教育出版社课后答案

常微分方程第三版课后习题答案#(精选.)

常微分方程第三版课后习题答案

常微分方程第三版答案2.2[1]1