示范教案一172平方差公式(二)

第十二课时

●课题

§1.7.2 平方差公式(二)

●教学目标

(一)教学知识点

1.了解平方差公式的几何背景.

2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

3.体会符号运算对证明猜想的作用.

(二)能力训练要求

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.

2.培养学生观察、归纳、概括等能力.

(三)情感与价值观要求

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.

2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.

●教学重点

平方差公式的几何解释和广泛的应用.

●教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.

●教学方法

启发——探究相结合

●教具准备

一块大正方形纸板，剪刀.

投影片四张

第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)

第二张：例3，记作(§1.7.2 B)

第三张：例4，记作(§1.7.2 C)

第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.

这个正方形的面积是多少？

［生］a2.

［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

图1－23

［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).

［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.

(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)

［生］老师，我们拼出来啦.

［师］讲给大伙听一听.

［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和

宽分别为(a +b ),(a －b ),面积为(a +b )(a －b ).

图1－24

［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

［生］这两部分面积应该是相等的，即(a +b )(a －b )=a 2－b 2.

［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.

［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.

［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.

［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.

Ⅱ.讲授新课

［师］出示投影片(§1.7.2 A)

想一想：

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

???=?=?8897 ???=?=?12121311 ???=?=?80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］(1)中算式算出来的结果如下

???=?=?64886397 ???=?=?14412121431311 ?

??=?=?6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.

［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

［生］我猜想是.我又找了几个例子如：

???=?=?422331 ???=?=?10000100100999910199 ?

??=?=?62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a ,与它相邻的两个自然数为a －1,a +1,则有(a +1)(a －1)=a 2－1. ［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.

［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？

(同学们惊讶，然后讨论)

［生］a 可以代表任意一个数.

［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.

［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

(陷入沉思)

［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.

［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.

我们不妨再做几个类似的练习.

出示投影片(§1.7.2 B)

［例3］用平方差公式计算：

(1)103×97 (2)118×122

［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙. ［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！

［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.

118=120－2,122=120+2

118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.

［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.

［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).

［例4］计算：

(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2;

(2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3).

分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.

解：(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2

=a 2(a 2－b 2)+a 2b 2

=a 4－a 2b 2+a 2b 2

=a 4

(2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)

=(2x )2－52－(4x 2－6x )

=4x 2－25－4x 2+6x

=6x －25

注意：在(2)小题中，2x 与2x －3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体. ［例5］公式的逆用

(1)(x +y )2－(x －y )2 (2)252－242

分析：逆用平方差公式可以使运算简便.

解：(1)(x +y )2－(x －y )2

=［(x +y )+(x －y )］［(x +y )－(x －y )］

=2x ·2y

=4xy

(2)252－242

=(25+24)(25－24)

=49

Ⅲ.随堂练习

1.(课本P 32)计算

(1)704×696

(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)

(3)x (x －1)－(x －31)(x +3

1)

(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)

解：(1)704×696=(700+4)(700－4)

=490000－16=489984

(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)

=(x 2－4y 2)+(x 2－1)

=x 2－4y 2+x 2－1

=2x 2－4y 2－1

(3)x (x －1)－(x －31)(x +31)

=(x 2－x )－［x 2－(31)2］

=x 2－x －x 2+91

=

9

1－x

2.(补充练习)

出示投影片(§1.7.2 D)

解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)

(先由学生试着完成)

解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)

=(7x+1)(x－1)

(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1

4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1

6x=12

x=2

Ⅳ.课时小结

［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.

［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.

［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.

［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.

……

Ⅴ.课后作业

课本P32、习题1.12.

Ⅵ.活动与探究

计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.

［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.

［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)

=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)

=1990+1989+1988+1987+…+2+1

=

2)1

1990

(

1990+

?

=1981045

●板书设计

§1.7.2 平方差公式(二)

一、平方差公式的几何解释：

二、想一想

特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1

三、例题讲解：例3 例4

四、练习

●备课资料

参考练习

1.选择题

(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )

A.(－a－b)(a－b)

B.(c2－d2)(d2+c2)

C.(x3－y3)(x3+y3)

D.(m－n)(－m+n)

(2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是( )

A.x 4－1

B.x 4+1

C.(x －1)4

D.(x +1)4

(3)下列各式中，结果是a 2－36b 2的是( )

A.(－6b +a )(－6b －a )

B.(－6b +a )(6b －a )

C.(a +4b )(a －4b )

D.(－6b －a )(6b －a )

2.填空题

(4)(5x +3y )·( )=25x 2－9y 2

(5)(－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 2

(6)(－23

x －11y )( )=－49x 2+121y 2 (7)若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2,则A = ，B = .

3.计算

(8)(2x 2+3y )(3y －2x 2).

(9)(p －5)(p －2)(p +2)(p +5).

(10)(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).

4.求值

(11)(2003年上海市中考题)已知x 2－2x =2,将下式先化简，再求值 (x －1)2+(x +3)(x －3)+(x －3)(x －1)

5.探索规律

(12)(2003年北京市中考)观察下列顺序排列的等式：

9×0+1=1

9×1+2=11

9×2+3=21

9×3+4=31

9×4+5=41

……

猜想：第n 个等式(n 为正整数)应为 .

答案：1.(1)D (2)A (3)D

2.(4)(5x －3y ) (5)(0.2x －0.4y ) (6)(2

3x －11y ) (7)A =4n ,B =7m

3.(8)9y 2－4x 4 (9)p 4－29p 2+100

(10)x 2y －10

4.(11)原式=3(x 2－2x )－5=3×2－5=1

5.(12)9×(n －1)+n =(n －1)×10+1(n 为正整数).