数据模型期末考试复习要点(运筹和统计已完整)

数据、模型与决策期末考试复习要点

管理统计学部分（四道大题）

一、 描述性统计量

对应教材P53,1。详细步骤参见统计学作业解析. 给出一组数据，大约在20个左右。

1. 求样本均值、中位数、极差、众数。样本方差写出表达式，不需要计算结果。

2. 把样本分为若干组，且组距相同，作出列表数据和直方图。 二、 区间估计 对应教材P147,1. 查表294页最后一行。

注: μ的(1-α)×100%区间估计为

无论总体分布是什么,只要总体方差σ2 已知，并且n 充分大(通常n>30)。 例（P110）调查某大学教师家庭每月水电、煤气和电话费的支出情况，随机抽取100户，发现每月平均帐单为253元。设帐单上的付款数X 服从N(μ,σ2), σ=70元。求平均付款额μ的置信水平为95%的区间估计。

解：n=100, =253,σ=70,α=0.05, u 0.05/2=1.96, 故μ的置信水平为95%的区间

样本均值的抽样分布

x

x 2

()u n

αμ∈2

u

α

σd =

可由正态分布表查得

2

()

x u ασ

μ∈±

x

估计是[253±

±13.72 即

假设检验 对应教材P53,4

只考双侧检验，都是大样本。

? 如果提出一种想法，我们希望检验这种想法是否正确，这种想法或假设称为“原假设”（也称为零假设），记为H 0.

? 如果H 0被否定，我们准备接受什么假设，这应该预先提出来。这种假设称为对立假设（也称为备择假设），记为H 1.

（1）把经过长期检验认为是正确或者是不能轻易否定的结论的放在H 0 （2）把新的结果放在H 1

? 例：微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质量指标，某厂该指标服从正态分布，长期以来σ=0.1，且均值都符合要求不超过0.12。为检查近期产品的质量，抽查了25台，得其炉门关闭时辐射量的均值 =0.1203。试问在α=0.05水平上该厂微波炉炉门关闭时辐射量是否升高了？

双侧检验

临界值u α/2

临界值-u α /2

拒绝域

239.28266.72

μ≤≤

解：1）构造原假设和对立假设

H 0：μ≤0.12 ? H 1：μ>0.12 2)给定显著性水平α=0.05，故u α=1.645 3)计算

4）比较

三、 解释因子和趋势都有哪些成分。 答:因子成分：

1.长期趋势因子trend （T ）

指时间序列在较长持续期内展现出来的总态势。具体表现为不断增加或不断减少的基本趋势，也可以表现为只围绕某一常数值波动而无明显增减变化的水平趋势。

2.季节因子 seasonal factor （S ）

由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯季节因素（节假日）的印象，时间序列随季节更替而呈现的周期性变动。周期长度有一年、一月、一周等。

3.循环因子 cyclical factor （C ）

时间序列中出现以若干时段为周期上升与下降交替出现的循环往复运动，且周期长度可变。

4.随机因子

除去前述三种变动之后所剩余的一种变动，往往指那些事前无法预料的，由偶然因素或突发事件引起的不规则变动。

趋势成分：

0x =

=

.015

00.645,95%x u H αα=<.015=1故接受。

即在水平=0.05（置信度）下，该厂微波炉炉门关闭时辐射量没有增加。

1.线性趋势：用一元线性回归来描述。

2.非线性趋势，用滑动平均法来描述，其原理是用相对小的一段数据，找出平均值，以光滑原始序列的波动，然后滑到另一段上，每一小段的长短与观察的数据类型有关。

运筹学部分（四道大题）

一、线性规划模型建立

对应P2，例1.

将一个实际问题转化为线性规划模型有以下步骤：

1. 确定决策变量：决策变量是未知量，也是模型最重要的参数。

2. 确定目标函数：目标函数决定线性规划问题的优化方向，是线性规划

模型的重要组成部分。

3. 确定约束方程。

4. 变量取值限制，一般情况下，决策变量只取正值（非负值）。

二、线性规划综合运用

对应P90,11.以书上P1，2为例，最优单纯形表为

注：红字为对应的检验数。此最优表中非基变量检验数均小于0，故最优解唯一。

由来：前两个0：基变量的检验数为0

-5=0-（30*1+50*（-1/2））

-15=0-(30*(-2)+50*(3/2))

给出最优求解结果，解释经济意义。回答下列问题

1．影子价格是多少，为什么。

影子价格看单纯形法最后一行。影子价格代表对应的资源的边际贡献。表明某种资源每增加单位数量，最后效益所增加的数值。老师以课本中P2为例，单纯形法最后一行为对应检验数，其中最优解最后一行分别对应-5，-15，表明木工和油漆工对应的影子价格分别为5和15.其中-5和-15为所求最优解的检验数。

2．最优解是否唯一，依据是什么。

最优解判断标准：所有检验数<=0。非基变量检验数等于0时，解不唯一。老师以课本中P2为例，最优解最后一行对应检验数分别为0,0，-5，-15，所有检验数均<=0,教材中例子检验数<=0.非基变量就是不在最优解表格左边列表内的变量。教材里子中，最优表中，x2,x1为基变量，x3,x4为非基变量，此例中，非基变量检验数分别为-5，-15，不等于0，所以解唯一。

3．原料的利用情况。

资源利用情况看优化解那一行引入松弛变量的值。如果为正，说明有剩余，如果为0说明无剩余。此题中，将最优解代入标准型解得x3=0，x4=0.故资源无剩余。

三、求线性规划的对偶问题

对应P86,1.

1.两个问题中，一个是极大化，另一个是极小化；

2.一个问题的变量数等于另一问题的方程数，反之亦然；

3.一个问题的目标函数系数是另一个问题的约束方程右端常数，反之亦然；

4.两个问题的约束方程系数矩阵互为转置；

5.一个问题第几个变量的约束情况决定另一问题第几个方程不等式方向，反之亦然。

原问题(对偶问题)Max 对偶问题(原问题)Min

变≥0 约≥

≤0 ≤

量无约束束=

约≤变≥0

≥ ≤0

束= 量无约束

参考教材P62.

四、指派问题

对应P248.

第一步：变换系数矩阵，使其各行各列都有0元素，方法是将各行（列）减去其最小元素，再将各列（行）减去其最小元素。

第二步：试指派，试探能否找到n个独立0元素，将符合要求的作标记，方法是：从含0最少的行或列中任选个0加圈，记为◎，划去与◎同行列的其它0，记为Ф。重复这一步骤，直至所有的0都被加圈或划去。若◎的数目m=n，试指派成功，否则，转第三步。

第三步：检查当前系数矩阵中独立0元素是否不够n，若不是，说明试指派有误，重新指派；若是，转第四步。检查方法是作覆盖所有零元素的直线，直线根数就是独立0元素个数。

作最少直线覆盖所有0元素步骤：

1. 对无◎的行打√；

2.对√行中有0的列打√；

3.对√列中有◎的行打√；（从无到有）

4.重复（2）-（3），直至打不出√为止

对无√的行画横线，有√的列画纵线（从无到有），得最少直线。

若最少直线数L=n，返回第二步，否则，转第四步。

第四步：在当前系数矩阵中进一步增加0元素，方法是：从未被直线覆盖部分中找出最小元素，将所有√行减去该元素，所有√列加上该元素，返回第二步。

注：在变换系数矩阵时，先按行还是先按列，过程可能不同，

最后结果写法：

原始矩阵：

14 11 13 17

9 7 2 9

4 9 10 15

15 10 5 13

最优解矩阵：

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

最优(大)值：

Z=13+7+15+15=50

指派问题例题及步骤：

2 15 1

3 4

10 4 14 15

9 14 16 13

7 8 11 9

先做行变换，第1行最小值为2，第一行每个数减去2，

第2行最小值为4，第二行每个数减去4

第3行最小值为9，第三行每个数减去9

第4行最小值为7，第四行每个数减去7

得新矩阵

0 13 11 2

6 0 10 11

0 5 7 4

0 1 4 2

在做列变换，没出现0的列有第3列和第4列。第3列最小值为4，第四列最小值为2，第三列第四列分别减去4和2得：

0 13 7

6 6 9

5 3 2

0 1 0

不同行不同列圈0，同行同列的0划去。的上表。此例中0元素恰好为4，所以即是最优解。

老师上课修改数据，举了下面例题，

8 9 5 √

11 0 4

2 3 4

0 3 8 5 √

√

对无圈0的打钩，所以给第4行打钩。钩行有0列打钩，所以给第1列打钩。对钩列有0行打钩，所以给第一行打钩。至此全部标记完了。

对无√的行画横线，有√的列画纵线（从无到有），得最少直线。此例中无√的行为第2、3行，有√的列为第1列，画出3条线。

从未被直线覆盖的元素中找到最小元素，此题中除去直线覆盖的第2、3行，第1列，剩余数字为8 9 5 3 8 5，最小为3.

将所有√行减去该元素，所有√列加上该元素。

第2 3行各减3，

-3 5 6 2

11 0 0 4

2 3 4 0

-3 0 5 2

第1列各加3得

5 6 2

14 0 4

5 3 4

5 2

此时，不同行不同列被圈的0数量为4。得到最优解矩阵为（把被圈的0替换为1，其余写0）

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

把为1位置上的原始矩阵上的数字相加，即得到指派问题的最优解。