侯风波版高等数学练习答案
第一章 函数
习题 函数
一、填空题：略.
二、略.
三、图略.
四、图略；0，2，6-.
五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同一个函数.
六、3)2(log t y a +=.
七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -===
=x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；
4. 12,ln ,cos ,2
2+-====x x w w v v u u y .
第二章 极限与连续
习题一 极限的概念
一、判断题：略.
二、图略；)(lim 0
x f x →=0. 三、(1))(x f 无定义,2)1(=g ,3)1(=h ；
(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1
=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0
=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1
x f x →不存在； （2）=-
→)(lim 23x f x 49)(lim 23
=
+→x f x ；49)(lim 2
3=→x f x ； （3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2
=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.
习题二 极限的四则运算
一、求下列极限
1. 30；
2. 17；
3. 40；
4. 41
． 二、x x ++210；1．
三、求下列极限
1. 12-；
2. 0；
3. 4；
4. 61
．
四、求下列极限 1. 32
； 2. 32
．
五、1．
六、1-．
习题三 两个重要极限
一、求下列极限
1. 1；
2. 16；
3. 241
；4. 1；5. 1；6. 8．
二、求下列极限
1. 3e ；
2. 2e -；
3. 9e ；
4. 2e 1
．
习题四 无穷小与无穷大
一、1. ∞→x ； 2. -→0x ．
二、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．
三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．
四、求下列极限
1. 0；
2. 0．
五、234sin x x 是比高阶的无穷小．
六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．
习题五 函数的连续与间断
一、选择题：略.
二、2=a .
三、1. 可去间断点是1=x ；
2. 7-=x 为函数的第二类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.
四、求下列极限
1. 0；
2. 21；
3. 2
1； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.
第三章 导数与微分
习题一 导数的定义
一、1. 2)1(='f ；2. 4
3)2(-
='f . 二、a y ='.
三、0)0(='f .
四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.
五、在（1，1）点处切线平行于直线.
习题二 导数的四则运算
一、填空题：略．
二、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +
='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223
351--+-='x x
y ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x x
y ++++='； 5. 2211
sec 3x x y --='；6. 22
1arctan 2x x x x y ++='． 三、① 定义域R 即为函数的连续区间；
② x x x x x y cos sin 5
2d d 52
53+=-；
③ 由定义，0)0(='f ；
④ x x x x x f cos sin 52)(52
5
3+='-．
习题三 复合函数求导
一、填空题：略.
二、求下列函数的导数
1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +?='；
2. ]1
tan 2cos 2)1(1
[sec e 222sin x x x x y x ?+-='； 3. 10199
)1()1(200x x y -+='； 4. ]1
sin 1
1
[cos e 1
cos x x x y x x +='； 5. x x x
y 3cos 3sin 31-+='； 6. )ln(ln ln 21
x x x y ='.
三、)(2sin )(?+=wt w t v ；)(2cos 2)(2?+=wt w t a .
四、)]()e (e )e ([e )(x f f f y x x x x f '+'='.
习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数
一、是非题：略．
二、求下列方程所确定的隐函数)(x f y =的导数
1. ()x x
y y x x -+-='e sin e 1；2. x y y y x y
x --='++e e ．
三、用对数求导法求下列函数的导数
1.41='y 4)
3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x y
x ．
四、切线方程为0=y ．
五、求下列函数的二阶导数
1. )49(1053+=''x x y ；
2. x x y x cos 2
e 1222--=''；
3. 8)21(360x y -=''；
4. =''y x 2sin 4006-．
习题五
微分 一、填空题：略.
二、求下列函数的微分
1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；
2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；
3. x x x
y d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e 1e 3d 261
3+++=.
三、求方程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y x
d cos 2
e d 2--=； 2. x y a x
b y d d 22-=.
四、利用微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.
五、球的体积扩大约为3πcm 1800.
第四章 微分学的应用
习题一 洛必达法则
一、是非题：略.
二、求下列各式的极限
1. 0；
2. 1；
3. 1；
4. 0.
三、求下列各式的极限
1. 0；
2. 0.
四、求下列极限
1. 0；
2. 1；
3. 1；
4.21
e -；5. 3；6. 0.
习题二 函数的单调性
一、单项选择题：略．
二、求下列函数的单调区间
1. 单增区间),2()0,(+∞-∞ ，单减区间)2,0(；
2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；
3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21
,0(；
4. 单增区间),0()1,(+∞--∞ ，单减区间)0,1(-．
三、提示：利用函数单调性证明． 四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)21
,(-∞.
习题三 函数的极值
一、单项选择题：略．
二、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极小值； 4. 3)1(=f ．
三、最大值为10)1(=-f ，最小值为22)3(-=f ．
四、极大值为0)0(=f ，极小值为41)2
2()22
(-==-f f ． 五、当直径r 2与高h 之比为11∶时，所用的材料最少．
习题四 曲线的凹凸性与拐点
一、填空题：略．
二、曲线在)332,(--∞及),332(+∞上凹,在)332,332(-下凹，拐点为)910,332(--和)9
10,332(-． 三、函数在)2,0(上的极大值为27
23)31
(-=f ，极小值为1)1(-=f ；最大值为1)2(=f ，最小值为1)1(-=f ；拐点为)27
2532(-，. 四、示意图:
第五章 不定积分
习题一 不定积分的概念与基本公式
一、填空题：略.
二、选择题：略.
三、计算下列不定积分
1. C x +313
133；
2. C x x x
+-5
3
ln 533； 3. C x x x ++--ln 2sin 31
；
4. C x x x +++-πarcsin 2cos .
四、求解下列各题
1. C x x f x +='?2e 2d )(；
2. x x f x 2sec e )(+=；
3. 所求函数为233+-=x x y .
习题二 不定积分的换元积分法
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、多步填空题：略．
四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2. C x +2arcsin 21
； 3. C x x +++24arctan )1ln(41
； 4. C x x ++3tan 31
tan ； 5. ()()C x x ++-+12132
23
； 6. C x x +--3
arccos 392．
习题三 分部积分法 简单有理函数的积分
一、填空题：略.
二、多步填空题：略.
三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4ln )2(2
2
；
3. C x x x ++-e )22(2；
4. C x x x +-+21
2)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3)2(ln 2
.
四、?''x f x x d )e (e 2C f f x x x +-'=)e ()e (e ．
第六章 定积分
习题一 定积分的概念 微积分基本公式
一、选择题：略.
二、求下列定积分 1. 43
433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 61
.
三、解答下列各题
1. x x x f 2sin )(4?='；
2. 23d )(lim 200=?→x t
t f x
x ； 3. 67d )(2
1=?-x x f .
习题二 定积分的换元积分法与分部积分法
一、 填空题：略.
二、 求下列定积分
1. )e 2(2-；
2. 32π2；
3. )1e (412+；
4. 123
12π
-+； 5. 49
ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π
； 8. 321
2ln -+.
习题三 定积分的应用 一、32
=S . 二、h r V 23π
=.
三、（1）2=S ；（2）2π2
=V .
四、两部分面积比为 )34
π2(+:)34
π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4π4
r W ?=ρ.
六、g P ρ18=.
习题四 反常积分
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、计算下列广义积分
1. 21
； 2. 2π
． 四、?∞+∞-+x x x
d 12发散．
第七章 常微分方程
习题一 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、判断正误：略.
二、填空题：略.
三、多步填空题：略.
四、求解下列各题 1.C x y +=-31
12（其中1C C -=为任意常数）；
2. 冷却规律为kt t T -+=e 3020)(.
习题二 一阶线性微分方程
一、填空题：略．
二、多步填空题：略．
三、通解为2e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．
习题三 二阶常系数齐次线性微分方程
一、填空题：略．
二、多步填空题：略．
三、求下列微分方程的通解
1. =y x
x C C -+e e 261；
2. =y x
x C C 521e )(+；
3. =y )23
sin 23cos (e 2121
x C x C x +；
4. =y x C 25e -．
四、1e 2)(-==x y x f ．
习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程
一、填空题：略．
二、多步填空题：略．
三、x x x y e )98
34
(e 3613
45
4+-++-=．
四、求下列微分方程满足初始条件的特解
（1）x x x y 22e )(-+=；
（2）x y sin =．
第八章 空间解析几何
习题一 空间直角坐标系与向量的概念
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、求解下列问题 1. k j i AC AB 3223-+-=-；
2. ()14=AB d ；
3. ??????939393,, 和 ?
??
???
---939393,,；
4. ),,(002-C ．
习题二 向量的点积与叉积
一、是非题：略．
二、填空题：略．
三、选择题：略．
三、求解下列各题 1. ???
???-±837833835
,,；
2. {}4,6,12-±=b ；
3. 213S ABC =?．
习题三 平面和直线
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、求解下列问题
1. 534=++z y x ；
2. 2=-y z ；
3. 2
11211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．
习题四 曲面与空间曲线
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、求解下列问题
1. 方程为x z y 42
2=+，是旋转抛物面； 2. 投影方程为?
??==+;0,52x z y 3. 投影方程为?
??==++．0,0422y z x
第九章 多元函数微分学
习题一 多元函数及其极限
一、填空题：略． 二、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图 三、4142lim 0
0-=+-→→xy xy y x ． 四、表面积rh π2r πS 2?+?=，体积h r πV 2?=．
五、)0,0(),(f y x f -??=22)()()
)((y x y x ?+???．
习题二 偏导数及高阶偏导数
一、是非题：略．
二、填空题：略．
三、解下列各题 1. x x z 4=??，29y y z
=??； 2. 34xy x z =??，226y x y z
=??； 3. y x x z ln 2+=??，y x
y x y z =+=??1
0，
222=??x z ，222y x y z -=??，y x y z
1
2=???； 4. z y x f arctan =??，z x y f
arctan =??，21z xy
z f +=??．
四、略．
习题三 全微分
一、填空题：略．
二、解答下列各题
1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；
2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；
3. 119.0-=?z ；
4. 12
5.0d -=z ．
三、01.003.0cos 01.0sin ≈．
四、对角线变化约为m 045.0．
五、所需水泥的近似值为3m 4.9．
习题四 复合函数的偏导数
一、填空题：略．
二、多步填空题：略．
三、解下列各题 1. 1d d -=t z
； 2. y z x z =??，2)
(y y x z y z +-=??；
3. )cos sin 2(cos 2x x x y xy x z
+=??，)2sin (cos sin 22y y y x x y z
-=??．
习题五 偏导数的几何应用
一、填空题：略．
二、求解下列各题
1. 切线方程为 31
21
11
-=-=-z y x 和2727
2913-=-=-z y x ；
2. 切平面方程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；
3. 切线方程为 11
91
161
--=-=-z y x ，
法平面方程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．
习题六 多元函数的极值
一、判断题：略．
二、选择题：略．
三、计算下列各题
1. 函数在)1,2(点取得极小值24-；
2. 当端面半径与半圆柱高满足2:1:=h r 时，所用材料最省．
第十章 多元函数积分学
习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算
一、判断题：略．
二、填空题：略．
三、计算下列各题
1. 0=I ；
2. ①??==20
202332d d x y y x I ；②332d d 40222==??y x y y I ； 3. 2
1d e d 1
002==
??y y x x y I ．
习题二 极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用
一、填空题：略．
二、多步填空题
提示：y x D y x d d e )(22??+-θr D r d rd e 2??-=??π-=2010
d e d 2r r θr ??π-=201
02)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=?π)e 11(π-=． 三、求解下列各题 1. π2
2d d )cos(22=+??y x y x D ；（提示：化为极坐标下的二重积分）； 2. π32=V ；
3. 薄片的质量为
12
1． 第十一章 级数
习题一 数项级数
一、判断题：略．
二、选择题：略．
三、判断下列级数的敛散性
1. ∑∞=-1)
1(n n 发散； 2. +++++n
21614121发散； 3. ∑∞=+1)1(1n n x 当0>x 或2- 4. ∑∞=+1 221n n n 收敛； 5. ∑∞ =--1 12)1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+1 3)1(2n n n 收敛． 习题二 幂级数 一、填空题：略． 二、求解下列各题 1. 级数∑∞ =+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞ =++012122n n n x n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞ =-02)1(n n n n x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数 ∑∞=-011n n nx 的和函数为2 )1(1)(x x S +=； 5. 级数 +-+++-1 23123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=． 习题三 函数的幂级数展开 一、填空题：略. 二、求解下列各题 1. 展开为 ++-+-+-+=++)1()2()1(3 )2(2)2(22ln )2ln(13 2n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为 +-++?-?=+)! 2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 214 22n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ； 3. x 2= ++++++n x n x x x x n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ； 4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++00 2)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-.