走进美妙的数学世界(含答案)

1.走进美妙的数学世界

知识纵横

从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,?人类任何时候都受到数学的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数、?量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系.

走进美妙的数学世界,我们将一起走进崭新的“代数”世界，?不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念；

走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；

走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；

走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知。

诺贝尔奖获得者、著名物理学家振宇说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。”

例题求解

【例1】(1)我们平常用的数是十进制数,如2639=2×103+6×102+3×10+9,表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字):0,1,2,3……9,在电子计算机中用的是二进制,只要两个数码0和1,如二进制中101=1×22+0×21+1等于十进制的数5,?那么二进制中的1101等于十进制的数_________. (2001年省市中考题)

(2)探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，?吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个３的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上数字再立方、求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=__________,?我们称之为数字“黑洞”。(2003年市中考题)

思路点拨 (1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、?进制值有关联的和的形式;(2)从一个具体的数操作,发现规律.

解：(1)13;(2)153.

【例2】A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，?统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B?队比赛的球队是( )

A.C队

B.D队

C.E队

D.F队 (第18届省竞赛题)

思路点拨: 用算术或代数方法解,易陷入困境.用6个点表示A、B、C、D、E、?F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线，?这样用图来辅助解题，形象而直观。

解：选C.

【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、?平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中７块，恰好拼成了一个矩形(如图①)。后来，又用它们分别标出Ｘ、Ｙ、Ｚ等字母模型(如图②，图③，图④)，如果每块塑料板保持图①的标号不变，请你参与：

(1)将图②中每块塑料板对应的标号填上去;

(2)图③中,只画出了标号7的塑料板位置,请你适当画线,找出其他6块塑料板,?并填上标号;

(3)在图④中,请你适当画线,找出7块塑料板,并填上标号.(2002年市中考题)

思路点拨动手实验、操作，从对图形分割入手。

解：

【例4】根据图①和图②回答问题：

图①1997年高新技术产业工业图②2000年高新技术产业工业总产值的分布情况总产值的分布情况

(1)1997年与2000年相比,产值比重减少最多的是哪个产业?

(2)假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍,那么2000?年高新技术产业工业总产值比1997年增长率是多少?

(3)2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业?

(2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨从给定的扇形统计图表中获取信息,?须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重),因此,需要引入字母表示某种产值的具体数额,计算推理判断.

解:(1)生物及医药制品.

(2)设1997年的总产值为x,则2000年的总产值比1997年的增长率为

(2x·11.94%÷14.59%-x)÷x·100%=64%

(3)假设1997年和2000年的总产值分别为a和b,某种产业的产值在这两年中的比重分别为全年的x%和y%,则这种产品的产值额的增加量可表示为

b·y%-a·x%=(b-a)y%+a(y%-x%),

将每种产业相应的x和y代入式中可得电子信息产业的产值增加最多.

【例5】一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和是1999,求这个四位数,并说明理由. (市竞赛题)

思路点拨设所求的四位数为abcd,由题意可得关于a、b、c、d的一个等式,运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出a、b、c、d的值。

解:提示:设这个四位数为abcd,依题意得:

1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=1999,即1001a+101b+11c+2d=1999.

(1)显然a=1,否则,1001a>2000,得101b+11c+2d=998

(2)因为11c+2d的最大值为99+18=117,故101b≥998-117=881,有b=9,

则11c+2d=998-909=89.

(3)由于0≤2d≤18,则89-18=71≤11c≤89,故c=7或c=8.

当c=7时,11c+2d=77+2d=89,有d=6;

当c=8时,11c+2d=88+2d=89,有d=1

2

(舍去)

故这个四位数是1976.

学力训练

一、基础夯实：

1.观察下列顺序排列的等式:

9×0+1=1, 9×1+2=11

9×2+3=21, 9×3+4=31

9×4+5=41, …

猜想:第n个等式应为___________. (2003年市中考题)

2.如图,是用火柴棍摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,?当每边上摆20(即n=20

时),需要的火柴棍总数为_______根. (2003年省中考题)

3.世界杯中,中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎加队同分在Ｃ组.赛前,50?名球迷就C组

哪支球队将以小组第二名进入十六强进行竞赛,统计结果如图,?认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的百分比为_______.(?第十四届“希望杯”邀请赛试题)

4.自然数a、b、c、d、e都大于1,其乘积abcde=2000,则其和a+b+c+d+e?的最大值为________,最小值为________.

5.若一个正整数a被2,3…,9这八个自然数除,所得的余数都为1,则a的最小值是________,a的一般表达式为_________.

6.3个质数p、q、r满足p+q=r,且P

A.2

B.3

C.7

D.13

7.如果有2003名学生排成一列,按

1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,…的规律报数,那么第2003

名学生所报的数是( ).

A.1

B.2

C.3

D.4

8.如图,有两形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个

直角三角形的两条直角边不相等),把两个三角形相等的

边靠在一起(两纸片不重叠),?可以拼出若干种图形,其中,

形状不同的四边形有( ).

A.3种

B.4种

C.5种

D.6种 9.下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成,折叠后能围成正方体的是( )

10.设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，?用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为( ).

A.■、●、▲

B.■、▲、●

C.▲、●、■

D.▲、■、●

二、能力拓展：

11.用一个两位数去除2003,余数是8,这样的两位数共有________个,?其中最大的两位数是_______.

12.如果a 、b 是任意2个不等于零的数,定义运算○＋如下(其余符号意义如常):?a ○＋b=2

a b

，那么[1○＋(2○＋3)]－[(1○＋2)○＋3]的值是_________.

13.如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

12的矩形,按着把面积为12的矩形等分成两个面积为14

的矩形,再把面积为14的矩形等分成两个面积为18

的矩形,?如此进行下去.试利用图形揭示的规律计算:

12+14+18+116+ 132+164+1128+1256

=___________. (2002年市中考题)

14.观察下图,三菱柱有5个面6个顶点9条棱,四棱柱有6个面8个顶点12条棱,?五棱柱有7个面10个顶点15条棱…由此可推测n 棱柱有(n+2)个面______个顶点_____条棱.

15.某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( ) (2003年省中考题)

A.增加10%

B.减少10%

C.不增不减

D.减少1%

16.三进位制数201可用十进位制数表示为2×32+0×31+1=2×9+0+1=19;二进位制数1011可用十进位制数表示为1×23+0×22+1×2+1=8+0+2+1=?11.?现有三进位制数a=221,二进位制数b=10111,则a与b的大小关系为( )

A.a>b

B.a=b

C.a

D.不能确定 (市竞赛题)

17.某学生骑自行车上学,开始以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车

耽误了几分钟.为了按时到校,他加快了速度,但仍然保持匀速行进,?结果准时到校.他骑自行车行进的路程s与行进的时间t的关系有如下四种示意图,其中正确的是( )

18.把14个棱长为1的正方体,在地面上叠成如图所示的立体,然后将露出的表面部分染成

红色,那么红色部分的面积为( )

A.21

B.24

C.33

D.37

19.如图,有两个正方形的花坛,准备把每个花坛都分成形状相同的四块,种不同的花草.下面左边的两个图案是设计示例,请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案.

(2003年市中考题) 请你设计:

20.根据图a和图b回答问题:

国生产总值变动图(单位:万亿元) 国家财政支出变动图(单位:千亿元)

(1)1998年我国国生产总值比1995年大约增加了多少?

(2)1998年我国财政支出规模(财政支出/国生产总值)大约是多少?

(3)已知1999年国生产总值为8.5万亿元,?在这几年中国生产总值增长最快的是哪一年度?

(2002年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题)

三、综合创新：

21.有一批影碟机(VCD)原售价:800元/台.甲商场用如下办法促销:

购买台数1～5台6～10台11～15台16～20 20台以上

每台价格760元720元680元640元600元

乙商场用如下办法促销:每次购买1～8台,每台打九折;每次购买9～16台,?每台打八五折;每次购买17～24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折:

(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD?的购买台数与每台价格的对照表;

(2)现在有A、B、C三个单位,A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD,问他们到哪家商场购买花费较少? (第14届“希望杯”邀请赛试题)

22.如图是一“3×5”(表示边长分别为3和5)的长方形,现要把它分成若干边长为整数的长方形(包括正方形)纸片,并要求分得的任何两纸片都不完全相同.

(1)能否分成5满足上述条件的纸片?

(2)能否分成6满足上述条件的纸片?

若能分,用“a×b”的形式分别表示出各纸片的边长,并画出分割的示意图;?若不能分,请说明理由. (第17届省竞赛题)

【学力训练】(答案)

1.9(n-1)+n=10n-9

2.630

3.18

50

=36% 4.133,23 2000=24?×53 ?

5.?2520,?a=2520n+1

6.A

7.C

8.B

9.C 10.C

11.6个,95 这个两位数一定是2003-8=1995的约数,而1995=3×5×7×19

12. 23 13. 255256

14.观察图形数据,归纳其中规律得:n 棱柱有(n+2)个面,2n 个顶点,3n?条棱.? ?

15.D 16.A 17.C S 不会随t 的增大则减小,修车所耽误的几分钟,路程不变,?修完车后继续匀速行进,路程应增加.

18.C 9+3×4+2×4+1×4=33. 19.略

20.(1)(80-59)÷59×100%≈36% (2)13÷80×100%≈16% ?

(3)?1995?年～1996年的增长率为(68-59)÷59×100%≈15%,

同样的方法可得其他年度的增长率,增长率最高的是1995年～1996年度.

21.(1)乙商场的促销办法列表如下:

(2)比较两商场的促销办法,可知:

因为到甲商场买21台VCD 时共需600×21=12600元,而到乙商场买20?台VCD?共需640×20=12800元,12800>12600,

所以购买20台VCD 时应去甲商场购买.

所以A 单位应到乙商场购买,B 单位应到甲商场购买,C 单位应到甲商场购买.

22.(1)把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列,有

1×1,1×2,1×3,1×4,2×2,1×5,2×3,2×4,3×3,2×5,3×4,3×5.

若能分成5满足条件的纸片,因为其面积之和应为15,所以满足条件的有

1×1,1×2,1×3,1×4,1×5(如图①)或1×1,1×2,1×3,2×2,1×5(如图②

)

图① 图②

(2)若能分成6满足条件的纸片,则其面积之和仍应为15,?但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15.所以分成6?满足条件的纸片是不可能的.