向量代数与空间解析几何练习题讲课教案

向量代数与空间解析几何练习题

第4章向量代数与空间解析几何练习题

习题4.1

一、选择题

1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )

（A ）直线；（B ）线段；（C ）圆；（D ）球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )

（A ）a 与b 的内积等于零；（B ）a 与b 的外积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ；（D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为

, 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ；（B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为

),,(z y x ；

（C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ）向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．

4．行列式2

131323

21的值为( )

（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 18 ；（D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )

（A ）||||a a -=；（B ）||||||b a b a +>+；（C ） ||||||b a b a ?≥?；（D ）

||||||b a b a ?≥?．

二、填空题

1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，

q =，则BC =_______________，CD =__________________．

2．已知ABC

?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________．

3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是

_______________________________________．

4．设力k

=, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(,

B所做的功为

____________________________．

?_____________________;

5．已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2(

C, 则=

?____________________;ABC

?的面积为_________________．

三、计算题与证明题

1．已知1

c, 并且0

b, 5

a, 4

?．

a．计算a 2．已知3

a?．

a, 求|

a, 4

3．设力k

=作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2

,7,1(,-

B的力矩的大小．

4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ

ρ, 求向量x 的坐标．

5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．

6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．

7．向量a , b , c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．

8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ，

(1) 求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ?的面积．

(4)

求点A 到平面BCD 的距离．

习题4.2

一、选择题

1．下列平面方程中与向量)5,3,2(a 垂直的平面是（）

（A ） 1532=++z y x ；（B ） 0532=++z

y x ；

（C ） 30532=++z

y x ；（D ） 1532=++z y x ．

2．下列向量中与平面1543=-+x y x 平行的是（）

（A ）)4,5,0(-C ；（B ）)5,4,3(-C ；（C ）)4,5,0(C ；（D ）)5,4,3(--C ． 3．下列叙述中错误的是（）

（A ）若已知平面α的一个法向量)4,2,1(-a 与α上一点)1,5,3(A , 就能确定平面α的方程；（B ）若向量)4,2,1(-a 平行于平面α且点)1,5,3(A , )7,6,2(B 在α上, 则能确定平面α的方程；

（C ）若已知点)3,2,1(A , )0,5,2(-B , )9,,4,7(-C 在平面α上, 则能确定平面α的方程；（D ）若已知平面α与三条坐标轴的交点分别为)0,0,3(X , )0,2,0(-Y , )5,0,0(-Z , 则能确定平面α的方程．

4．下列两平面垂直的是( )

（A ）632=-+z y x 与1642=-+z y x ；（B ） 632=-+z y x 与12642=-+z y x ；（C ）632=-+z y x 与

21=+-+-z y x ；（D ） 632=-+z y x 与12=++-z y x ． 5．原点)0,0,0(O 到平面632=++z y x 的距离是( ) （A ）

；（B ） 7143；（C ） 6；（D ） 1．

二、填空题

1．垂直于向量)0,5,2(-a 且到点)0,5,2(-A 的距离为5的平面的方程是______________________或者__________________________．

2．经过原点)0,0,0(O 与)0,5,2(-B 且平行于向量)1,4,2(a 的平面的方程是_________________．

3．平面035x 3y 2x =++与三坐标轴分别交于点（A ）、（B ）、（C ），则Δ（A ）（B ）（C ）的面积为_________________．

4．一动点移动时与)0,4,4(A 及坐标平面xOy 等距离，则该点的轨迹方程为________________．

5．通过Z 轴和点)22,13,9(A 的平面的方程是________________________．三、计算题与证明题

1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．

2．求到两平面0623:=-+-z y x α和11

52:=+-+

y x β距离相等的点的轨迹方程．

3．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α的方程．

4．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．

5．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．

6．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高．

α的距离为7, 求点A的坐标．7．已知点A在z轴上且到平面0

-z

4:=

α的距离相等, 求点A的8．已知点．A在z轴上且到点)1,2

,0(-

-z

B与到平面9

6:=

坐标．

习题4.3

一、选择题

1．下列直线中与直线???-=+-=+-1320

532z y x z y x 平行的是( )

（A ）

151-=

-=-z y x ；（B ） ???=--+=-++0

272082z y x z y x ；（C ） 31321z

y x =--=-；（D ） ??

?=-+=-+01205z x y x ． 2．下列平面中与直线

1232-=

-+=-z

y x 垂直的是( ) （A ） 01245=-+-z y x ；（B ） 062=---z y x ；（C ） 01123=+--z y x ；（D ） 01723=-++z y x ． 3．直线:

1l 21232-=-+=-z y x 与直线3

13162:2-+=

--=-z y x l 的位置关系是( ) （A ）重合；（B ）平行；（C ）相交；（D ）异面． 4．与平面0105:=-+-z y x α垂直且经过点)1,2,1(--A 的直线的方程是( )

（A ） ???=+-+=-+-03320105z y x z y x ；（B ） ???=+-+-=-+-02021020

105z y x z y x ；

（C ） 115211+=-+=-z y x ；（D ） 5

1251-+=

+=--z y x ． 5．与直线11

1211:+=

+=-z y x l 平行且经过点)2,5,2(A 的直线是( ) （A ） 121512+=+=+z y x ；（B ） 12

1512-=

-=-z y x ；（C ） 327512+=+=+z y x ；（D ） 32

7512-=

-=-z y x ．二、填空题

1．直线0

1243:

y x l =-=+与平面011:=-+-z y x α的夹角是_________________． 2．经过)1,2,3(-P 且平行于z 轴的直线方程是___________________________________． 3．已知ΔABC 三顶点的坐标分别为2,0,2(-A , )6,2,2(-B ，（C ）(0，8，6)，则平行于BC 的中位线的直线方程为_____________________________________________．

4．经过直线???=+-+=-+-01720

103z y x z y x 与点)1,0,2(-A 的平面的方程是__________________．

5．经过原点)0,0,0(O 且与直线

12111-+==-z y x 和0

111+=

--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．三、计算题与证明题

1．求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0

11+=

-=z y x 都平行的平面的方程．

2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线1

2341z

y x =--=-相交的直线的方程．

3．求通过点)0,0,0(A )与直线1

1423-=

+=-z y x 的平面的方程．

4．求点)0,1,1(-P 到直线0

112+=

-=-z y x 的距离．

5．λ取何值时直线???=--+=-+-01540

623z y x z y x λ与z 轴相交?

6．平面01=+++z y x 上的直线l 通过直线1l ：???=++=+010

2z y z x 与此平面的交点且与 1l 垂直,

求l 的方程．

7．求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 和13=+-z y x 平行直线方程．

8．一平面经过直线（即直线在平面上）l ：

1235z

y x =-=+，且垂直于平面015=+-+z y x ，求该平面的方程．

习题4.4

一、选择题

1．下列曲面中不是关于原点中心对称的是（）

（A ）椭球面: 1222222=++c z b x a y ；（B ）单叶双曲面: 122

2222=-+c z b x a y ；

（C ）双叶双曲面: 122

2222=--c

z b x a y ；（D ）椭圆抛物面: pz b x a y 22222=+．

2．母线平行于z 轴，准线为曲线?

??==++325

34222z z y x 的柱面的方程是( )

（A ）16342

=+y x ；（B ）25342

=++z y x ；

（C ）434=+y x ；（D ）22234z y x =+．

3．将坐标平面xOy 上的曲线363222=-y x 绕y 轴旋转得到的旋转面的方程是( ) （A ） 36232222=+-z y x ；（B ）36332222=+-z y x ；（C ） 36332222=--z y x ；（D ）36332222=++z y x ．

4．曲线15

4322

2222=-+z y x 与平面4=y 相交,得到的图形是( )

（A ）一个椭圆．；（B ）一条双曲线；（C ）两条相交直线；（D ）一条抛物线． 5．下列曲面中与一条直线相交, 最多只有两个交点的图形是( ) （A ）椭球面；（B ）单叶双曲面；（C ）柱面；（D ）锥面．二、填空题

1．经过原点与(4，0，0)，(1，3，0)，(0，0，-4)的球面的方程为__________________________．

2．坐标平面xoz 上的曲线091022=+-+z z x 绕坐标轴z 轴旋转一周得到的曲面的方程是___________________________________________．

3．母线平行于z 轴, 准线为???==+25422z z

y x 的柱面的方程是_____________________．

4．顶点在原点且经过圆???==+14

22z y x 的圆锥面的方程是________________________．

5．经过轴z , 且与曲面4)5(222=+-+z y x 相切的平面的方程是____________．三、计算题与证明题

1．一动点P 到定点)0,0,4(-A 的距离是它到)0,0,2(B 的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程．

2．已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy 面和xOz 面是它的两个对称面，且过点(6，1，2)与(1，1/3，-1), 求该椭圆抛物面的方程．

3．求顶点为)0,0,0(o ，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程．

4．已知平面α过z 轴, 且与球面0411086222=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程．

5．求以轴为母线z , 直线???==11

y x 为中心轴的圆柱面的方程．

6．求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程

7．根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(222=-+-+-z k y k x k 表示的各是什么图形．

8．已知椭球面12

=++Z z Y y X x 经过椭圆??

???==+

0,11692

2z y x 与点)23,2,1(A , 试确定Z Y X ,,的

值．

复习题四

一、选择题

1．将下列列向量的起点移到同一点, 终点构成一个球面的是 ( ) （A ）平行于同一平面的单位向量；（B ）平行于同一直线的单位向量；（C ）平行于同一平面的向量；（D ）空间中的所有单位向量． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充分条件的是 ( ) （A ）0||||=?b a ；（B ）a 与b 的内积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ；（D ）a 与b 的坐标对应成比例．

3．行列式9638527

41的值为 ( )

（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 3 ；（D ） 3-．

4．下列向量中与平面0112=-+-z y x 平行的是（）（A ）)2,1,1(-C ；（B ）)2,1,1(--C ；（C ） )2,5,1(C ；（D ）)2,5,1(--C 5．下列两平面垂直的是 ( ) （A ） 063=---z y x 与012622=+--z y x ；（B ） 063=---z y x 与018=++-z y x ；（C ） 063=---z y x 与012=++-z y x ；

（D ） 063=---z y x 与12

66=--z

y x ．

6．原点)0,0,0(o 到平面2=x 的距离是 ( )

（A ）2；（B ）4；（C ）22 ；（D ） 2

．

7．下列平面中与直线

1231--=-+=+z y x 垂直的是 ( ) （A ）01245=-+-z y x ；（B ）062=---z y x ；

（C ） 13

62=--z

y x ；（D ）01723=-++z y x ．

8．直线???=--+=+-+01711801153:1z y x z y x l 与直线326:2-=

-=z

y x l 的位置关系是 ( ) （A ）重合；（B ）平行；（C ）相交；（D ）异面． 9．下列曲面中不是关于原点中心对称的是（）

（A ）长型型旋转椭球面: )(1222222b a b z b x a y >=++；（B ）单叶旋转双曲面: 122

2222=-+b z a x a y ；

（C ）双叶旋转双曲面: 1222222=--b z b x a y ；（D ）椭圆抛物面: z y x =+2

2．

10．曲线13

5222

2222=-+z y x 与平面3=z 相交,得到的图形是 ( )

（A ）一个椭圆；（B ）一条双曲线；（C ）两条相交直线；（D ）一条抛物线．二、填空题

1．设在平行四边形ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，且p =，q BO =，则

AB =_______________，=__________________．

2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上高的长为______________________．

3．设力k j i F ++-=32, 则F 将一个质点从)3,1,1(-A 移到)1,0,3(-B 所做的功为____________________________．

4．平面632+--z x 与三坐标轴分别交于点A 、B 、C ，则三棱锥ABC O -的体积为_________________

5 ．通过x 轴且到点)4,1,3(,-P 的距离为2的平面的方程是________________________． 6．经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与平面xoz 垂直的平面的方程．为_________________

7．经过直线?

??=++=-+-0140

632y x z y x 与点)1,1,1-A 的平面的方程是__________________．

8．经过原点)0,0,0(o 且与直线

12111-+==--z y x 和0

111+=

--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．

9．球面010*******=---+++z y x z y x 的半径是__________________________．

10．母线平行于y 轴, 准线为???==+222y z

y x 的柱面的方程是______________________．

三、计算题与证明题

1．已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．

2．设力k j i F 23-+-=作用在原点点, 求力F 对点)1,0,2(-B 的力矩的大小．

3．已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程．

4．已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程．

5．已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值．

6．λ取何值时直线???=+++=-+-01320

12z y x z y x λ与x 轴相交?

7．设圆柱面α过直线???==60:1y x l , 210

0082-==+z y x l 以及z 轴, 求α的方程．

8．已知球面面α的方程为0411086222=-+--++z y x z y x , 求α的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程．

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数呼伦贝尔学院计算机科学与技术学院服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员：宋宝文柏杨白鸽李强白坤龙

空间解析几何与向量代数摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。关键词：向量；向量代数；空间几何第一部分：向量代数第一节：向量一.向量的概念：向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。表示法：有向线段a 或a 。向量的模:向量的打小，记作|a |。向径（矢径）：起点为原点的向量。自由向量：与起点无关的向量。单位向量：模为1的向量。零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ；若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量，记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。二.向量的线性运算 1.向量的加法平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b

a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ；三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。规定： a 与a 同向时，|a |=|a |；总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积向量积

第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3．向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为a 。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4

2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ，于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ，于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数 A 一、 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.

3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、

向量代数与空间解析几何练习题讲课教案

向量代数与空间解析几何练习题

第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线；（B ）线段；（C ）圆；（D ）球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零；（B ）a 与b 的外积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ；（D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ；（B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为 ),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ）向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 131323 21的值为( ) （A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 18 ；（D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=；（B ）||||||b a b a +>+；（C ） ||||||b a b a ?≥?；（D ） ||||||b a b a ?≥?．二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =， q =，则BC =_______________，CD =__________________．

2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是 _______________________________________． 4．设力k + 2+ =, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(, B所做的功为 F5 j i 3 ____________________________． ?_____________________; 5．已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2( C, 则= ?____________________;ABC = ?的面积为_________________．三、计算题与证明题 1．已知1 | |= c, 并且0 |= b, 5 | a, 4 |= | a? b + + ?． b ? +c + c b = c a．计算a 2．已知3 ?b || a?． |= |b a, 求| | |= ?b a, 4 | 3．设力k - =作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2 ,7,1(,- + B的力矩的大小． i j F5 3 2+

第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)

第六章要求与练习一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求（1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量；（2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ；（4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求（1）平行于向量a 的单位向量；（2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±；（2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求（1）垂直于a 和b 的单位向量；（2）向量a 在b 上的投影；

空间解析几何与向量代数习题

第七章空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0

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第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4

2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示

空间解析几何答案word

第八章空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=，所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第八章空间解析几何与向量代数一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。（Ｂ）、平行ＯＹ轴（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴（Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。（Ａ）、１／７（Ｂ）、－１／７（Ｃ）、７（Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。（Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３（Ｃ）、π／４（Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。（A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。（A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程为 5 32/1134-=+=-z y x 。三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程解所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为

《空间解析几何2》教学大纲.

《空间解析几何2》教学大纲课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课面向对象：小学教育专业本科学生课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2）一、课程的任务和目的任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。二、课程教学内容与要求（一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容：（1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。（2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。（3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。（5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。（6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。（7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。（8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。（二）特殊曲面（8学时）

(完整版)(整理)第七章空间解析几何

第七章空间解析几何与向量代数内容概要

习题7-1 ★★1．填空：（1）要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥ （2）要使 b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向 ★2．设c b a v c b a u -+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32- 知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=- ★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点 R 在线段PQ 上，且 n m RQ PR = ，证明点R 的向径为 n m m n += +r r r 12 知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ?中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+= n m m n m m ， ∴n m m n n m m PR OP OR ++=-++ =+=22r r r r r 1 11)( ★★4．已知菱形 ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形， ∴ =（自由向量）， ∴222 AB AC BD AB CD DC AB --=-=-?=?=-=-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a a b ∴2b a +==，2 DA +=-u u u r a b ★★5．把ABC ?的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点 A 连接，试以 a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ．设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴

空间解析几何简介

153 自测题七解答一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中，方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面．二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(．提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ．三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程．解因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)．又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?．则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=．四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程．

空间解析几何习题答案解析(20210120005111)

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0．计算 a b b c c a ．解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|．解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2）（1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2）共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2）又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5

6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7．向量 a , b , c 具有相同的模 , 且两两所成的角相等 , 若 a , b 的坐标分别为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标．解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)

空间解析几何与向量代数

第八章空间解析几何与向量代数一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。（Ｂ）、平行ＯＹ轴（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴（Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。（Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。（Ａ）、１／７（Ｂ）、－１／７（Ｃ）、７（Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。（Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３（Ｃ）、π／４（Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。（A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。（A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。二、填空题

1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程为 5 32/1134-=+=-z y x 。三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为

《空间解析几何》教学大纲

《空间解析几何》教学大纲课程代码：090532001 课程英文名称：Analytic Geometry 课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《空间解析几何》是应用统计学专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，高等代数，数学分析等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。通过本课程的教学，使学生受到几何直观化及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养抽象的空间想象能力，运算能力和逻辑思维能力，能运用解析方法研究几何图形的性质，并对解析表达式予以几何解释，为进一步学习基础课程打下坚实基础。同时通过学习，进一步提高学生对中学几何理论与方法的理解，联系中学数学的教学，充分利用矢量工具注意矢量法与坐标的联系，从而获得高观点下处理中学几何问题的能力，以及画图能力。（二）知识、能力及技能方面的基本要求基本知识：通过本课程的学习，要求学生掌握矢量的概念；矢量的运算及矢量的坐标法；平面与空间直线方程；空间中的点、直线、平面两两之间的相互关系的代数形式的联系；曲线与曲面的一般方程；参数方程、球面和旋转面、柱面和锥面、二次曲面（十七种）、直纹面、曲面的交线和曲面所围区域；平面仿射坐标变换平面直角坐标变换空间坐标变换；二次曲线（二次曲面）方程的化；二次曲线（二次曲面）的不变量等。基本能力：培养学生空间想象能力和运用解析方法研究几何问题以及在实际中应用这一方法的能力；严密的科学思维及分析问题解决问题的能力；用空间的观点和结构的观点解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。基本技能：使学生获得空间解析几何的基本运算技能；运用数学软件进行具有一定难度和复杂度的空间解析几何运算技能。（三）实施说明 1.本大纲主要依据应用统计学专业2017版教学计划、应用统计学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《空间解析几何教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。 2.课程学时总体分配表中的章节序号在授课过程中可酌情调整顺序，课时分配仅供参考，打“*”号的章节可删去或选学。 3.教学方法：建议本课程采用课堂讲授与讨论相结合的方法，通过习题课和讨论等方式强化重点，通过分散难点，使学生循序渐进的掌握难点。 4.教学手段：建议采用多媒体等现代化手段开展教学。（四）对先修课的要求本课程的先修课：初等数学行列式矩阵。（五）对习题课、实验环节的要求习题课不单独安排。教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学们在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。

空间解析几何习题答案解析

一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101

2016空间解析几何教学大纲

黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业《空间解析几何》课程教学大纲执笔人：审定人：批准人：

2．课程的目的和任务通过本课程的学习，使学生熟悉向量代数这个基本的数学工具，全面掌握平面与空间直线各种位置关系的解析条件及几种典型二次曲面的几何性质,同时注重培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力．（二）总学时与学分数总学时数：72，学分数：4. （三）课程基本内容、要求、重难点、教学建议第一章：直线与平面 1.1 向量代数 1.1.1向量的概念理解向量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分哪些是向量,哪些是数量。§1.1.2 向量的加法 §1.1.3 数量乘向量掌握向量的运算与向量乘法的定义与性质。 §1.1.4 向量的线性关系与向量的分解熟练掌握向量共线、共面的充要条件以及三点共线、四点共面的充要条件。§1.1.5标架与坐标理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行失量的运算方法。 §1.1.6向量在轴上的射影 §1.1.7两向量的数性积

§1.1.8两向量的矢性积 §1.1.9三向量的混合积 §1.1.10三向量的双重矢性积掌握两向量数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处。会用向量法进行有关的几何证明问题。教学重点：向量的线性运算和三种积运算的定义、运算规律及分量表示；教学难点：向量各种运算规律的论证及应用； 1.2 直线与平面 §1.2.1平面方程理解法向量，点法式方程，单位法向量，法式方程，会求平面法式方程，坐标式参数方程，截距式方程，一般方程。 §1. 2.2平面与点的位置关系理解离差的定义，掌握求点与平面的离差的方法。 §1. 2.3两平面的相关位置掌握两平面相交，平行，重合的条件，以及求平面交角的方法。 §1. 2.4空间直线的方程理解直线的方向向量，方向角，方向余弦，方向数的定义。会求直线的坐标式参数方程，对称方程，一般方程，一般方程化为对称方程。 §1.2.5直线与平面的相关位置掌握直线与平面相交，平行以及直线在平面上的条件。会求直线与平面的交角。 §1.2.6空间两直线的相关位置