高考数学不等式专题
基本不等式专题 一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ （2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若*
,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2
2?
?
? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
5、常用结论
（1）若0x >，则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
（2）若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
（3）若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2
)2(222b a b a ab +≤
+≤ （5）若*,R b a ∈，则22111
22b a b a ab b
a +≤+≤≤+ （6），、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
（7）)(333
3+
∈??
? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,
“
=”号成立.
（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有
22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 注意：
1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正—
—各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2
≥2ab 逆用就是ab ≤
a 2＋
b 22
；a ＋b 2
≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤?
?
? ??+22
b a (a ，
b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x
(m >0)的单调性．
4．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
三、用均值不等式求最值的常见的技巧
1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数
的最小值.
分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而
可与相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即
，
再用均值不等式.
2216
32y x x =+
+221632x x ++2
1
2x +2
2x +22
16
3662y x x =++
-+
当且仅当
，即时,等号成立. 所以的最小值是
.
评注： 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了
保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项）
例2 已知，且满足，求的最大值. 分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式
是否定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为
，再用均值不等式.
当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 评注： 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用
来解决. 3、 裂项
例3 已知，求函数
的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题
.
222
22
1620,3216
3(2)6266x y x x x x +>=++=++
-+≥=解：22
163(2)2x x +=
+2
23x =-
y 6-0,0x y >>3212x y +=lg lg x y +lg lg lg()x y xy +=xy x y
+3x 2y 12xy 326x y
?220,0
32lg lg lg()lg
6
132112lg lg 6262lg 6
x y x y x y xy x y >>?+==????+????≤=????
? ?????????????=解：32x y =2,3x y ==lg lg x y +lg 62
2a b ab +??≤ ?
??1x >-()()
521
x x y x ++=
+1x +
当且仅当
，即时，取等号. 所以.
4、 取倒数
例4 已知，求函数的最小值.
分析 分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由
，得，.
取倒数，得
当且仅当，即时，取等号. 故的最小值是. 5、 平方
例5 已知且求的最大值.
分析 条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁
然开朗，即可利用均值不等式来解决.
()(
)141110,14(1)5519x x x y x x x ++++?????
???+>=+=++
+≥+=解：4
11x x +=
+1x =min 9y =102x <<
2(1)(12)x y x x +=-x (12)x -(1)x +1
02x <<
10x +>120x ->22
1(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x
x x x x --==??+++-??
+
??++≤=??????31211x x x x -=++15x =
y 120,0x y >>2
2
283y x +
=x y x
y
当且仅当，即，时，等号成立. 故
评注：本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式.
6、
换元（整体思想，换元）
例6 求函数
的最大值.
分析
，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
7、
逆用条件
例7 已知,则
的最小值是（ ） . 分析
直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求
的最小值.这
时可逆用条件，即由
，得，然后展开即可解决问题
.
2
2
2
2
2
2
222((62)32(1)
3
2(1)9333()
22y x y x y x =+=?+??++??≤=????????
解：2
2
2(1)3y x =+32x =2y =x y =
t =22,0,2,(0)
21
00;101212=.
3,24t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=
≤
=+
==-则
当时，当时，当且仅当，即所以时19
1(0,0)
x y x y +=>>x y +xy x y +191x y =
+19
()()x y x y x y +=++
评注：若已知 (或其他定值)，要求的最大值，则
同样可运用此法.
8、 巧组合
例8 若且,求的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b 来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.
9. 消元
例9、设为正实数，，则的最小值是.
分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得
，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题
.
0,0,
1199()()10
10169,4,12.16.
x y x y y x
x y x y x y x y
y x x y x y
x y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当
即时，等号成立故的最小值是0,0,x y >>1x y +=19
x y +
,,0a b c
>()4a a b c bc +++=-2a b c +
+a b +≥2a b c ++()()a b a c +++()()a b a c +
+4
-,,0,2()()2,,1.2 2.
a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为,,x y z 230x y z -+=2
y xz 32x z y +=
2y xz ,x z
三．典型例题
【题型一】利用拼凑法构造不等关系
1、求几个正数和的最小值。 例1求函数2
1
(1)2(1)y x x x =+
>-的最小值。
解析：
21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)x x x x --=+++>-
1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5
2
。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23
(32)(0)2
y x x x =-<<
②2sin cos (0)2
y x x x π
=<<
解析： ①
30,3202x x <<
->∴，∴23(32)(0)(32)2
y x x x x x x =-<<=??- 3
(32)[
]13
x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，
“=”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin 0,cos 02
x x x π
<<
>>∴，
则0y >，欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。
242sin cos y x x =?222sin sin cos x x x =??2221
(sin sin 2cos )2
x x x =??
22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=,当且仅当22sin 2cos x x
=(0)2
x π<
x arc =时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是9 。 2222 ,0,,2 9666=3,443,,=3 3.x z y y x z xz xz xz xz xz xz y x z x y z y xz >=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”. 故的最小值为 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y +∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ f x ax a b x =+>、图象及性质知，当(0,1] x ∈时，函数4 ()f x x x =+是减函数。 证明： 任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则121212 44 ()()()()f x f x x x x x -=-+- 211212()4x x x x x x -=-+?121212 4 ()x x x x x x -=-?， ∵1201x x <<≤，∴12 1212 4 0,0x x x x x x --<<， 则1212()()0()()f x f x f x f x ->?>，即4 ()f x x x =+在(0,1]上是减函数。 故当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因01x <≤，则有4 ()f x x x = +24=+，易知当01 x <≤时， 0μ 且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即 4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24 ()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时， 24()10f x x '=-<，则函数4 ()f x x x =+在(0,1]上是减函数。故当1x =时， 4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法四：（拆分法）4 ()f x x x =+)10(≤ +31≥5=，当且仅 当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 练习题 1、若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得 2 1 4-+ b a 取得最小值的实数a = 。 .93 7 ,32时取到最小值解析：当==b a 3、（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且 7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1 log 2 a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b = ，即2a b =．211 1111 a a b a +=-++-- 13≥=． 4、（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足， 且，则的最小值为 ． 解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么= =（x －y ）+≥ 2=4，当且仅当（x －y ）=， 即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4． 5.若实数,x y 满足1 33(0)2 xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 解析：代入即可由已知可得,33 +=y x .84,73 时取到最小值当==y x 6、已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则 2ac c c b ab +-的最小值为 . 解析：2 2211222ab ac c c a c c b ab b ab ab a +-?? +-++-+= ??? =()252 222 2 -+ ??? ???? ?-++c ab ab c b a a =2 5 2125222-+??????+c ab c b a 2525-+≥c c ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-y x y x -+2 2y x xy y x -+-2)(2y x -4y x y x -?-4)(y x -4 33y x y x -+2 2 5 10+≥ 51022,53,15++=-=-=时取到最小值当c b a 7、已知x ，y 为正实数，则 4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =) )(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=222 25484y xy x y xy x ++++ =1+ 22543y xy x xy ++=1+345x y y x ?++≤1+5 423 +?x y y x =43， 当且仅当4 y x =x y ，即y=2x 时等号成立． 【题型二】1的灵活代换 例1．（1） 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1 x ＋2 y 的最小值是_____________． 注释：可利用公式秒杀 时等号成立。 即当且仅当得21 ,411 22828 121221,411,0,0==???=+==+≥???? ??+=++≥+>>y x y x y x y x y x y x y x y x y x （2）．（2012·浙江）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.24 5 B.285 C ．5 D ． 6 注释：例1是均值不等式的两种典型问题，已知和求倒数和，或者已知倒数和求和。 练习1、已知x ，y 为正实数，且32=+y x 。则 xy y x +3的最小值为 ； 则)1(2+y x 的最大值为 。 注释：()()2 5 2222212=++≤ +=+y x y x y x 跟踪练习：已知正数满足，则 的最小值为 ． ,x y 22x y +=8x y xy + 解析： ，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 练习2．若正实数x ，y 满足 19 11x y +=+，则x +y 的最小值是（ D ） （A ）15 （B ）16 （C ）18 （D ）19 注释：已知倒数和求和 3.（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则 1 1 24+++y x 的最小值为 解析：注释已知和求倒数和 .4 931,32时取到最小值当==y x 练习4．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足 11 1=+y x ，则1 914-+-y y x x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于 x 1+y 1 =1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（1 4-x x + 14-y y ）（1+1－x 1 －y 1）=（14-x x +14-y y ）（x x 1-+y y 1-）≥（x x x x 1 14-?-+y y y y 1 14-? -）2=16，（注释，柯西不等式若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+）当且仅当 14-x x ·y y 1-=14-y y ·x x 1-时等号成立． 5．已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则41 1a b +-的最小值为 . 8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ??++??=+=+?=+++≥+ ? ?????82x y y x = 解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么 14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=2 1（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-?-a b b a +5）=2 9，当且仅当b a 1-=14-a b 时等号成立． 注释：已知和求倒数和的能力题 5．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________． 【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有 =，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）· =（2a+3b ）（+）=++13≥ 2 +13=25，当且仅当=，即a=b=5时等号成立． 注释：已知倒数和求和的能力题 6、常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝1 2 .若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________. 注释：已知倒数和求和。（2,8==b a ） 答案：64 7．设a ．,,,(0,)b R a b x y + ∈≠∈+∞，则222()a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a b x y =时， 上式取等号，利用以上结论，可以得到函数491()((0,))122 f x x x x = +∈-的最60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a 3 -b b ab b a 23+b 3a 2b a 6a b 6a b b a 66?b a 6a b 6 小值为（ ） 8．若实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为________． 【知识点】基本不等式 【解析】：) 22 3323 32 23ab bc c c c ?????-+=+-+ ? ?? ? ?????? 22222 313322222223a b b c c ???? ≤++++ ? ????? ()22233a b c =++= 【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答. 【题型三】求谁保留谁，把不符合的代换掉。构造所求代数式的不等式。 例3、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。 解法一：基本不等式法。 由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ?-=+≥230-≥ 13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2 3()2 x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ?+-+-≥2()6x y x y ?+≤-+≥舍或， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞ 解法二：分离变量法 由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++?-=+知1x ≠， 则31x y x += -，由3 0011 x y x x +>?>?>-，则： 2233(1)5(1)44 (1)51111 x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=?===-++----59≥=，当且仅当4 1(0)31 x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围 是[9,)+∞。 314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+ =+=++=-++≥=----，当且仅当4 1(0)31 x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 练习 1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为 2 最小值 0 解析：因为,a b R +∈,所以由2 2 2 2 2 ()2 a b a b a b a b a b ++=+?+=+≥,2()a b +- 2()0a b +≤,解得02a b ≤+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取 等号). 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足195a b +=，则ab 的最小值为 5、设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是________ 【题型四】消元法转化为一个变量的函数。 例题4、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ． 解析：由x 2 ＋2xy －1＝0可得y=212x x -，那么x 2＋y 2= x 2＋222(1)4x x -=54x 2+214x － 12 ≥12=2－12，当且仅当5 4 x 2=214x ，即x 4=15时等号成立． 练习1、已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ． 解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+ ==（x+1）+﹣3 ，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为 ．故答案为： ． 2、已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ． 解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴11 16 ++= y x ，∴x+y=()81 16 1211 16 =+? +≥+++y y y y ，当且仅当y=3， （x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8． 3、已知R z y x ∈,,，且1=++z y x ，3222=++z y x ，求xyz 的最大值为______ 【题型五】柯西不等式 例题5、设,,x y z R ∈，若2224x y z ++=，则z y x 22+-的最小值为 时， =),,(z y x 析：]2)2(1)[()22(2222222+-+++≤+-z y x z y x 3694=?= ∴z y x 22+-最小值为6- 此时 ()2 2-12 2 2 2 2 2 2 21++++ ==-=z y x z y x — 3 2-= ∴ 32-=x ，34=y ，3 4 -=z 练习1、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求222x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。 () ()()()2 2 2 2 2 2 22 2 2 36 44 24,,3 3 3 12222x y z x y z y x z y x z ??+++ +≥=???? ∴+ +≥==-=- ----此时 2、设,,x y z R ∈，332=+-z y x ，求222)1(z y x +-+之最小值为 ，此时=y （析：0)1(32332=+--?=+-z y x z y x ） 3、（2013年湖南卷（理））已知,,,236,a b c a b c ∈++= 则22249a b c ++ 的最小值是 (12:Ans ) 4、（2013年湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=求z y x ++的值； 5、求φθφθθcos cos sin cos 3sin 2-+ 的最大值与最小值。（Ans ：最大值为22，最小值为 -22） 析：令→ a = (2sin θ，3cos θ，- cos θ)，→ b = (1，sin φ，cos φ) 【题型六】判别式法 【典例6】已知正实数x ，y 满足2 4 310x y x y +++ =，则xy 的取值范围为 ． 【解析】设，则，代入得： ， 由， 解得，即xy 的取值范围为. 练习 1. 若正实数满足，则的最大值 为 ． 【解析】令 ，则 ，因此 ，当 时，，因此的最大值为 2.设R y x ∈,，1322=++xy y x ，则y x +2的最大值为________ 11 20 3．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等 式2 (2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -?+???≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ． 解析：由题意得：22()()(2)()a c b d m ac bd mbc -+--++≥， 2222++()a c b d m ac bd bc +++≥ 2222()+(+)a mc a c b d mbd mbc -+--≥0对任意实数a 都成立，因此 2222()4(+)mc c b d mbd mbc ?=-+--≤0，即2222444()()d mbd c b mbc mc -++--≥0对任 意实数d 都成立，即222221(4)44(444)mb c b mbc m c ?=-?+--≥0， 22222(4)44m b mbc c m c -+-+≤0对任意实数b 都成立，即222222240,(4)(4)(4)m mc m c m c - 26m ≤-，即11m -≤≤-，实数m 1 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0， ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1， 所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ， 因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5， 即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不等式的正误； 2、熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式； 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式； 4、掌握恒成立问题，存在性问题； 5、掌握利用基本不等式求最值的方法； 6、掌握线性规划解决最优化问题； 7、掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C． 2、已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 3、，设，则下列判断中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令，则，故选B 4、若，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（）.从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个，此时从中任取个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取个球是红球的概率记为，则（） A. B. C. D. 【答案】D 6、若，，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，，所以，，故A、B正确；由已知得， ，所以，所以C错误；由，得，，所以 成立，所以D正确．故选C． 考点29 基本不等式 一、选择题 1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3 ）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.2 9 C.3 D. 2 2 3 【解题指南】直接利用基本不等式求解. 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时, 2 9263)6)(3(=++-≤ +-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23 =a 时取等号. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当 xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C. 94 D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x y z +-，进而再利用基本不等式求出2 12x y z +-的最值. 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以 22 14343xy xy x y z x xy y y x ==-++ -1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =z xy . xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2 11122412y y ??+- ? ?≤= ? ??? . 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ， 则当 z xy 取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.9 8 C.2 D.94 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值. 【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以1342344322=-?≥-+=+-=x y y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x = ， 即2x y =时取等号此时22y z =， 所以()2222222422222 22=?? ? ??-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ， 当且仅当y=2-y 时取等号. 4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14 ,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题 5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。 【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可. 【解析】由题()4(0,0)a f x x x a x =+>>，根据基本不等式4a x x +≥ 高考数学不等式解题方法 技巧 Newly compiled on November 23, 2020 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或 >4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答： 137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2??-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2 1log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题23 基本不等式（学生版） 一．选择题（共10小题） 1．（2015?湖南）若实数a ，b 满足12 a b +=，则ab 的最小值为( ) A B ．2 C ． D ．4 2．（2015?上海）已知0a >，0b >，若4a b +=，则( ) A ．22a b +有最小值 B C ． 11 a b +有最大值 D 有最大值 3．（2015?福建）若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．（2014?重庆）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( ) A ．6+ B ．7+ C ．6+ D ．7+5．（2013?山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当 xy z 取得最大值时，212 x y z +-的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ． 94 D ．3 6．（2013?福建）若221x y +=，则x y +的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[2-，0] C ．[2-，)+∞ D ．(-∞，2]- 7．（2012?浙江）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ． 24 5 B ． 285 C ．5 D ．6 8．（2010?四川）设0a b c >>>，则2211 21025() a ac c a b a a b ++-+-的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ． D ．5 9．（2010?四川）设0a b >>，则211 () a a b a a b ++-的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．（2010?重庆）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是( ) 高考数学不等式专题测试试卷 班级 .姓名 .得分 . 一、填空题：（每小题5分，共70分） 1.不等式242x x ->+的解集是 . 2.设A ={x |x 2－2x －3＞0},B ={x |x 2+5x ≤0}，则A B I 等于 . 3. 若0 二、解答题：（6小题，共90分） 15.（14分）解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++> 16．（14分）二次函数2()f x ax bx c =++的图象开口向下，且满足,,a b c -是等差数列，(),,a b a c -是等比数列，试求不等式()0f x ≥的解集。 2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围． 3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，33 2a b +=，证明： (1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围． 高三数学一轮复习——10.4 基本不等式 一、 课标要求： 1.解基本不等式及成立条件. 2.能应用基本不等式判断大小求最值. 3.应用基本不等式解决实际问题和综合问题. 二、 重难点: 1. 重点:正确应用基本不等式进行判断和计算. 2. 难点:基本不等式的变形应用. 三、 教学方法: 以启发引导,探索发现为主导.讲解练习为主线.用一题多解,一题多变突出重点,突破难点.以综合应用提高分析解 决问题的能力,培养创新能力. 四、 教学过程: (一)、学情评估,导入新课: 1.下列不等式中不一定成立的是( ) A . 222a b ab +≥ B.222()a b a b +≥- C.12a a +≥ D.2212a a +≥ 2.0,0,2m n m n >>+=，则mn 的最大值为 。 3.0,0x y >>，且191x y +=，则x y +最小值是 。 (二)、探求、归纳知识体系： 1. 基本不等式：① 222a b ab +≥（,a b R ∈x y =） ②a b +≥(0,0)a b >> ③2b a a b +≥ (0)ab > 变形：①222()22a b a b ab ++≤≤ 2a b +≤≤(,)a b R ∈ 2.基本不等式与最值：若,x y R +∈ ①和定积最大：若x y s +=，则2 4 s xy ≤ （当且仅当x y =时“=”成立） ②积定和最小：若xy p =，则x y +≥（当且仅当x y =时“=”成立） 注意一：要用此结论需满足三个条件：① ② ③ 简称：一正二定三相等 注意二：条件不足时可通过拆分与配凑创设条件。 （三）基本不等式的应用： 例一：设0,0x y >>，且440x y +=，求lg lg x y +的最值 变式训练①.若221x y +=，求(1)(1)xy xy -+的最小值。 （变形应用）②.函数y =的最大值为 。 例二：①若0x >，求12()3f x x x = +的最小值。 ②若0x <，求12()3f x x x = +的最大值。 归纳：1(0)y x x x =+≠的值域是什么？ 变式训练二:①求4()3lg lg f x x x =++ ，(1)x >的最小值。 （变形应用）②求14245y x x =-+ -，5()4 x <的最小值。 （对比应用）③若12x ≤≤，则1x x - 的最大值为 。 高考数学 不等式的证明 专题 一.选择题 (1) 已知R c b a ∈,,，那么下列命题中正确的是 （ ） A ．若b a >，则2 2 bc ac > B ．若 c b c a >，则b a > C ．若03 3 <>ab b a 且，则 b a 11> D ．若022>>ab b a 且，则b a 11< (2) 设a >1，0< b <1，则a b b a log log +的取值范围为 （ ） A ．[)+∞,2 B ．),2(+∞ C ．)2,(--∞ D ．(]2,-∞- (3) 设x ＞0，P ＝2x +2－ x ，Q ＝(sin x +cos x )2，则 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P ＞Q D ．P ＜Q (4)命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件. 命题 q:函数 y= 21--x 的定义域是(-∞,-1][?3,+∞).则 ( ) A ． “p 或q”为假 B ． “p 且q”为真 C ． p 真q 假 D ． p 假q 真 (5)如果a ，b ，c 满足c高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
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