广州市普通高中学生学业水平测试

年广州市普通高中学生学业水平测试

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秘密★启用前

2007年广州市普通高中学生学业水平测试

数 学（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分100分. 考试用时120分钟. 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+

第一部分 选择题（共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的．

（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5,A = 则C U

A =

（A ）{}2,4 （B ）{}1,3,5 （C ） {}1,2,3,4,5 （D ）?

（2）函数()1ln 2y x x =-+-的定义域是

（A ）[)1,+∞ （B ）(),2-∞

（C ）()1,2

（D ）[)1,2

（3）已知m +i 1n =-i ，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m n +=

（A ）-1 （B ）0

（C ）1

（D ）2

（4）已知3,,sin ,25πθπθ??

∈= ???

则tan θ=

（A ）34-

（B ）43- （C ）34 （D ）4

3

（5）已知向量a 表示“向东航行1km”，向量b 表示“向南航行1km”，则向量a +b 表示 （A ）向东南航行2km （B ）向东南航行2km

（C ）向东北航行2km （D ）向东北航行2km

（6）在下列命题中, 错误的是 （A ）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （B ）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行 （C ）如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直

（D ）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行

（7）直线34140x y +-=与圆()()2

2

114x y -++=的位置关系是

（A ）相交且直线过圆心 （B ）相切

（C ）相交但直线不过圆心 （D ）相离

（8）已知命题p ∶x ≥1，命题q ∶x 2

≥x ，则p 是q 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（9）不等式x 2

– y 2

≥0所表示的平面区域（阴影部分）是

（A ） （B ） （C ） （D ）

（10）已知空间直角坐标系O xyz -中有一点()1,1,2A --，点B 是xOy 平面内的直线 1x y +=上的动点，则,A B 两点的最短距离是

（A ）6 （B ）

342 （C ）3 （D ）172

第二部分 非选择题（共70分）

二、填空题：本大题共5小题，其中（11）～（13）是必做题，（14）～（15）是选做题，

要求每位考生只从（14）、（15）题中任选一题作答. 每小题3分，满分12分. 第（13）小题的第一个空1分、第二个空2分．

(11) 已知向量a (),1m =，向量b ()1,2=-，若a ⊥b ，则实数m 的值是 . (12) 某班50名学生的一次数学质量测验成绩的

频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分

的学生人数是 .

（13） 已知函数 则()1f = ，()32log 2f += .

（14）如图,平行四边形ABCD 中, ::AE EB m n =,

若AEF ?的面积等于a cm 2

,则CDF ?的面积 等于 cm 2

. （15）把参数方程sin cos sin 2x y θθ

θ

=-??

=?(θ为参数)化为普通方程是 .

三、解答题：本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. （16）（本小题满分8分）

已知函数()31

sin cos 22

f x x x =

+(x ∈R ). （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期; （Ⅱ）求函数()f x 的最大值和最小值.

（17）（本小题满分10分）

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 已知335,9a S ==. （Ⅰ）求首项1a 和公差d 的值; （Ⅱ）若100n S =，求n 的值.

E

B

C

D F

A

频率组距

成绩

O 0.0100.012

0.0360.024

0.018

1009080706050

（18）（本小题满分10分）

同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)， 两颗骰子向上的点数之和记为ξ. （Ⅰ）求5ξ=的概率()5P ξ=;

（Ⅱ）求5ξ<的概率()5P ξ<.

（19）（本小题满分10分）

如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形, PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点. （Ⅰ）求证://PA 平面BDF ; （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF .

（20）（本小题满分10分） 已知a ∈R ,函数()32

11232

f x x ax ax =-

++(x ∈R ). （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;

（Ⅱ）函数()f x 是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由;

（Ⅲ）若函数()f x 在[]1,1-上单调递增，求a 的取值范围.

（21）（本小题满分10分）

如图，已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为4

5

，左、右焦点分别为1F 和2F ，

椭圆C 与x 轴的两交点分别为A 、B ，点P 是椭圆上一点（不与点A 、B 重合），且∠APB =2α，∠F 1PF 22β=.

（Ⅰ）若45β=，三角形F 1PF 2的面积 为36，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当点P 在椭圆C 上运动时，试证明 tan tan 2βα?是定值.

A

F P

D

C

B

2007年广州市普通高中学生学业水平测试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题3分，满分30分．

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案

A

D

B

A

B

C

D

A

C

B

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，其中（11）～（13）

是必做题，（14）～（15）是选做题，要求每位考生只从（14）、（15）题中任选一题作答.每小题3分，满分12分. 第（13）小题的第一个空1分、第二个空2分．

（11）2 （12）35 （13）3；6 （14）2

1n a m ??+ ???

（15）2

1,2,2x y x ??=-∈-??

三、解答题

(16)(本小题满分8分) 解：(Ⅰ) ()31

sin cos 22

f x x x =

+ sin cos cos sin

6

6

x x π

π

=+

sin()6

x π

=+

. …… 2分

∴函数()f x 的最小正周期为2π. …… 4分

(Ⅱ)当sin()16

x π

+=时，函数()f x 的最大值为1. …… 6分

当sin()16

x π

+

=-时，函数()f x 的最小值为1-. …… 8分

(17) （本小题满分10分） 解: (Ⅰ)

335,9a S ==,

1125,339.

a d a d +=?∴?+=? …… 4分

解得11,

2.

a d =??

=? …… 6分

(Ⅱ)由100n S =,得()

121002

n n n -+

?=, …… 8分 解得10n =或10n =-(舍去).

10n ∴=. …… 10分 (18) （本小题满分10分）

解: (Ⅰ) 掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示:

1点 2点 3点 4点 5点 6点 1点 2 3 4 5 6 7 2点 3 4 5 6 7 8 3点 4 5 6 7 8 9 4点 5 6 7 8 9 10 5点 6 7 8 9 10 11 6点

7

8

9

10

11

12

显然，ξ的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. …… 4分

点数和为5出现4次,

∴()41

5369P ξ==

=. 答：5ξ=的概率是1

9

. …… 6分

(Ⅱ)

点数和为2出现1次, 点数和为3出现2次, 点数和为4出现3次,

∴()5P ξ<()()()12312343636366

P P P ξξξ==+=+==

++=. …… 9分

答：5ξ<的概率是

1

6

. …… 10分 （19）（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF . ABCD 是菱形,

O ∴是AC 的中点.

点F 为PC 的中点,

//OF PA ∴. …… 2分

OF ?平面,BDF PA ?平面BDF ,

O

A

F P

D

C

B

∴//PA 平面BDF . …… 4分 (Ⅱ)证明: PA ⊥平面ABCD ,AC ?平面ABCD , PA AC ∴⊥.

//,OF PA OF AC ∴⊥.

ABCD 是菱形,

AC BD ∴⊥. …… 6分 OF BD O =，

AC ∴⊥平面BDF . …… 8分 AC ?平面PAC ,

∴平面PAC ⊥平面BDF . …… 10分 (20) （本小题满分10分） 解: (Ⅰ) 当1a =时,()32

11232

f x x x x =-

++, 2

()2f x x x '∴=-++. …… 2分

令()0f x '>,即2

20x x -++>, 即2

20x x --<，

解得12x -<<.

∴函数()f x 的单调递增区间是()1,2-. …… 4分

(Ⅱ) 若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≤对x ∈R 都成立,

即2

20x ax a -++≤对x ∈R 都成立, 即2

20x ax a --≥对x ∈R 都成立.

280a a ∴?=+≤, …… 6分 解得80a -≤≤.

∴当80a -≤≤时, 函数()f x 在R 上单调递减. (7)

分

(Ⅲ) 解法一：

函数()f x 在[]1,1-上单调递增,

()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立,

∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立.

()22a x x ∴+≥对[]1,1x ∈-都成立,

即2

2

x a x +≥对[]1,1x ∈-都成立. …… 8分

令()2

2x g x x =+, 则()()()()

222

224()22x x x x x g x x x +-+'==++. 当10x -<≤时，()0g x '<；当01x <≤时，()0g x '>.

()g x ∴在[]1,0-上单调递减,在[]0,1上单调递增.

()()111,13

g g -==，

()g x ∴在[]1,1-上的最大值是()11g -=.

1a ∴≥. …… 10分

解法二：

函数()f x 在[]1,1-上单调递增,

()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立,

∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立.

即2

20x ax a --≤对[]1,1x ∈-都成立. …… 8分

令()2

2g x x ax a =--，则

()()1120,1120.g a a g a a =--≤???

-=+-≤?? 解得1,

31.

a a ?≥???≥? 1a ∴≥. …… 10分

（21） (本小题满分10分) 解：（Ⅰ）由于三角形F 1PF 2为直角三角形，

则2

22

1

212PF PF F F +=，

即2

2

121212()2PF PF PF PF F F +-=，

三角形F 1PF 2的面积为36， ∴

121

362

PF PF =，即1272PF PF =， ∴2222722a c -?=（）（），即

22

22272a c -=?（）（）， ∴2

36b =. …… 2分

椭圆C 的离心率为4

5

，则21625c a =2，即22

1625a b a -=2， ∴2

100a =.

∴椭圆C 的方程为

22

110036

x y +=． …… 4分 （Ⅱ）不妨设点P (,)x y 在第一象限，则在三角形12PF F 中，

222

1212122cos2F F PF PF PF PF β=+-， 2

2

2121212()2(1+cos2)F F PF PF PF PF β=+-，

即2

212442(1cos2)c a PF PF β=-+，

∴222

1222

221cos 22cos cos b b b PF PF βββ===+. ∴12F F P

S ?=222122

1sin 2sin sin 2tan 22cos cos b b PF PF b ββββββ

===. 121

22

F F P S c y cy ?=??=，

∴2

tan b cy β=，即2tan cy b

β=. …… 6分

作PC x ⊥轴，垂足为C .

tan AC a x APC PC y +∠=

=，tan CB a x

CPB PC y

-∠==，

∴22222

2

2tan 2tan()1a x a x

ay y y APC CPB a x x y a y α+-+

=∠+∠==-+--

. 22

22

1x y a b +=， ∴22

2

2

2a y x a b

=-.

∴2

22

22

22222tan 2(1)ay

a a

b a x y a

c y y

b

α===+---. …… 8分 ∴22

tan tan 2c e a

βα?=

=

--. 离心率45

e =

， ∴5

tan tan 22

βα?=-.

∴tan tan 2βα?是定值, 其值为5

2

-

. ……10分